Leetcode 1486. XOR Operation in an Array（数组异或操作） （题目 + 详解 + C++代码）

题目描述：

Given an integer n and an integer start.
Define an array nums where nums[i] = start + 2*i (0-indexed) and n == nums.length.
Return the bitwise XOR of all elements of nums.

Input: n = 4, start = 3
Output: 8
Explanation: Array nums is equal to [3, 5, 7, 9] where (3 ^ 5 ^ 7 ^ 9) = 8.

Input: n = 1, start = 7
Output: 7

Input: n = 10, start = 5
Output: 2

Constraints:
1 <= n <= 1000
0 <= start <= 1000
n == nums.length

前置知识

有如下定理成立（想想二进制表示，就知道为什么是0了）：

令 f(n) = 1 ^ 2 ^ 3 ^ 4 ^ 5 ^ …n，求所有的f(n)

• n % 4 == 0 时，n = 4时，f(4) = 4; n = 0时，f(0) = 0； 所以 ans = n
• n % 4 == 1 时，由于(n - 1) % 4 == 0, n为奇数，所以 ans = f(n - 1) ^ n = (n - 1) ^ n = 1
• n % 4 == 2 时，n为偶数，所以 ans = f(n - 1) ^ n = 1 ^ n = n + 1
• n % 4 == 3 时，ans = f(n - 1) ^ n = (n - 1 + 1) ^ n = 0

所以，给定n，我们可以根据 n % 4 的值，求得“异或前缀和”

 int getsum(int x){
        switch(x % 4){
            case 0: return x;
            case 1: return 1;
            case 2: return x + 1;  
        }
        return 0;
    }

回到本题

题目大意是求：st ^ (st + 2) ^ (st + 4) ^ (st + 6) ^ (st + 8) ^ …(st + 2 * (n - 1))

经分析，这n项的奇偶性相同，都等同于st的奇偶

我们先只看最后一位

• st为奇数时，每一项都是奇数
• st为偶数时，最低位的异或结果为0

由上我们可知，当且仅当n & st & 1 == 1时（即n 和 st同奇时），最低位的结果为1，其他情况都是0，因此，我们可以记录一下，最低位的运算结果为b

然后让每一项都右移一位（相当于都除以2），令 s = st / 2 （下取整）
那么问题就转换成了求 s ^ (s + 1) ^ (s + 2) ^ (s + 3) … ^ (s + n - 1)

而上式 = (1 ^ 2 ^ 3 ^ 4 ^ …(s + n - 1)) ^ (1 ^ 2 ^ 3 ^ …(s - 1)) = getsum(s + n - 1) ^ getsum(s - 1)，结果记为sum

那么最终的结果就是 (sum << 1) + b（或者 sum << 1 | b ） (因为sum是原式右移一位之后的异或结果，现在要左移回去)

最终代码

class Solution {
public:
	//计算异或前缀和
    int getsum(int x){
        int t = x % 4;
        switch(t){
            case 0: return x;
            case 1: return 1;
            case 2: return x + 1;  
        }
        return 0;
    }

    int xorOperation(int n, int start) {
        int b = n & start & 1;  //最低位结果
        int s = start >> 1;    
        int sum = getsum(s - 1) ^ getsum(s + n - 1);
        return (sum << 1) + b;
    }
};