高中数学第十章知识点总结(精华版)——排列组合二项定理

高中数学第十章-排列组合二项定理

考试内容：

分类计数原理与分步计数原理． 排列．排列数公式．

组合．组合数公式．组合数的两个性质． 二项式定理．二项展开式的性质． 考试要求：

（1）掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题． （2）理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题．

（3）理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题．

（4）掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题．

§10. 排列组合二项定理 知识要点

一、两个原理.

1. 乘法原理、加法原理. 2. 可以有重复元素的排列. ．．．．．．．

从m个不同元素中，每次取出n个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m个，所以从m个不同元素中，每次取出n个元素可重复排列数m·m·… m = mn.. 例如：n件物品放入m个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：m种）

二、排列.

1. ⑴对排列定义的理解.

定义：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同．．．．．．元素中取出m个元素的一个排列. ⑵相同排列.

如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同.

⑶排列数.

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的

m一个排列. 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号An表示.

n⑷排列数公式： Amn(n1)(nm1)n!(mn,n,mN)

(nm)!注意：nn!(n1)!n! 规定0! = 1

mmmm1mm110 AnmnAnm 规定CnCnAnn1 1AnAmCnAnmAn12. 含有可重元素的排列问题. ．．．．．．

对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S有k个不同元素a1，a2,…...an其中限重复数

为n1、n2……nk，且n = n1+n2+……nk , 则S的排列个数等于nn!.

n1!n2!...nk!例如：已知数字3、2、2，求其排列个数n(12)!3又例如：数字5、5、5、求其排列个

1!2!数？其排列个数n3!1.

3!三、组合.

1. ⑴组合：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

Amn(n1)(nm1)n!m⑵组合数公式：Cn Cnmm!m!(nm)!Ammn⑶两个公式：①CnCmnmn; ②Cm1mmnCnCn1

①从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素，因此从n个不同元素中取出 n-m个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n个不同元素中取出n-m个元素的唯一的一个组合.

（或者从n+1个编号不同的小球中，n个白球一个红球，任取m个不同小球其不同选法，

m1m1C1分二类，一类是含红球选法有Cmn1Cn一类是不含红球的选法有Cn）

②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时，对于某一元

素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取m-1个元素，所以有C

mm1n，如果不取这一元素，则需从剩余

n个元素中取出m个元素，所以共有

Cn种，依分类原理有Cm1mmCCnnn1.

⑷排列与组合的联系与区别.

联系：都是从n个不同元素中取出m个元素.

区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系. ⑸①几个常用组合数公式

012nCnCnCnn2 n024135CnCnCnCnCnCn2n1mmmm1CmnCm1Cm2CmnCmn1k1kCknCnn1

11k1CkCnn1k1n1②常用的证明组合等式方法例.

123n1n111） 1i. 裂项求和法. 如：（利用n!(n1)!n!2!3!4!(n1)!(n1)!ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.

m1mC3C4C5CnCn1. v. 递推法（即用CmnCnCn1递推）如：

33334vi. 构造二项式. 如：(Cn)(Cn)(Cn)C2n

证明：这里构造二项式(x1)n(1x)n(1x)2n其中xn的系数，左边为

01n12n2n00212n2C2n CnCnnCnCnCnCnCnCn(Cn)(Cn)(Cn)，而右边

0212n2nn四、排列、组合综合.

1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型： ①直接法. ②排除法.

③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，一般地，n个不同元素排成

m1mnm1一列，要求其中某m(mn)个元素必相邻的排列有Annm1Am个.其中Anm1是一个“整体排

列”，而Amm则是“局部排列”.

22又例如①有n个不同座位，A、B两个不能相邻，则有排列法种数为An. An11A212②有n件不同商品，若其中A、B排在一起有An. n1A221③有n件不同商品，若其中有二件要排在一起有An. Ann1注：①③区别在于①是确定的座位，有A2种；而③的商品地位相同，是从n件不同商品任取2的2个，有不确定性.

④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.

mm例如：n个元素全排列，其中m个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？AnnmAnm1（插

空法），当n – m+1≥m, 即m≤n1时有意义.

2⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.

⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n个元素进行全排列有Ann种，m(mn)个元素的全排列有Amm种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，共有

AnnAmm种排列方法.

例如：n个元素全排列，其中m个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？

⑦平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有

nnCknC(k1)nnCnAkk.

C2例如：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有43（平均分组

2!就用不着管组与组之间的顺序问题了）又例如将200名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？ （P82C18C210C20/2!）

注意：分组与插空综合. 例如：n个元素全排列，其中某m个元素互不相邻且顺序不变，共有多少种排法？有AnmAnm1/Am，当n – m+1 ≥m, 即m≤n1时有意义.

nmmm2⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题.

例如：x1x2x3x412的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为x1,x2,x3,x4显然x1x2x3x412，故（x1,x2,x3,x4）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解(y1,y2,y3,y4)，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式（如图

x1x4 x2 x 3 所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板

3的方法数C11.

注意：若为非负数解的x个数，即用a1,a2,...an中ai等于xi1，有x1x2x3...xnAa11a21...an1A，进而转化为求a的正整数解的个数为

n1CAn .

⑨定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有

rArrAknr.

例如：从n个不同元素中，每次取出m个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固

定在）某一位置上，共有多少种排法？

11m1AnAn1或Anm固定在某一位置上：Am1Am1An1（一类是不取出n1；不在某一位置上：

mm1特殊元素a，有An1，一类是取特殊元素a，有从m-1个位置取一个位置，然后再从n-1个元素中取m-1，这与用插空法解决是一样的）

⑩指定元素排列组合问题.

i. 从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在

krkrkr内 。先C后A策略，排列CrrCnrAk；组合CrCnr.

mii. 从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含

k在内。先C后A策略，排列CnrkAkk；组合Cnr.

iii 从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）

都只包含某r个元素中的s个元素。先C后A策略，排列CrCnrAk；组合CrCnr. II. 排列组合常见解题策略：

①特殊元素优先安排策略；②合理分类与准确分步策略；③排列、组合混合问题先选后排的策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列）；④正难则反，等价转化策略；⑤相邻问题插空处理策略； ⑥不相邻问题插空处理策略；⑦定序问题除法处理策略；⑧分排问题直排处理的策略；⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；⑩构造模型的策略. 2. 组合问题中分组问题和分配问题.

①均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，假定其中r组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为A/Ar（其中A为非均匀不编号分组中分法数）.如果再有K组r均匀分组应再除以Ak. k例：10人分成三组，各组元素个数为2、4、4，其分法种数为C10C8C4/A21575.若分成六组，各组人数分别为1、1、2、2、2、2，其分法种数为C10C9C8C6C4C2/A2A4 ②非均匀编号分组: n个不同元素分组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为AAm m例：10人分成三组，各组人数分别为2、3、5，去参加不同的劳动，其安排方法为：

233C10C8C55A3种.

sksksks244211222224若从10人中选9人分成三组，人数分别为2、3、4，参加不同的劳动，则安排方法有

23C10C83C45A3种

③均匀编号分组：n个不同元素分成m组，其中r组元素个数相同且考虑各组间的顺序，其

m分法种数为A/Ar. rAm244C10C8C43A3 例：10人分成三组，人数分别为2、4、4，参加三种不同劳动，分法种数为2A2④非均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，每组元素数目均不相同，且不考虑各组间顺序，不管是否分尽，其分法种数为Am2mk1CmCC…nn-(m1m2...mk-1) n-m1例：10人分成三组，每组人数分别为2、3、5，其分法种数为C102C83C5若从10人中选525203出6人分成三组，各组人数分别为1、2、3，其分法种数为C101C92C712600.

五、二项式定理.

0n01n1rnrrn0nabCnabCnabCnab. 1. ⑴二项式定理：(ab)nCn展开式具有以下特点：

① 项数：共有n1项；

012r,Cn,Cn,,Cn,,Cn② 系数：依次为组合数Cnn;

③ 每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幕排列，b的升幕排列展开. ⑵二项展开式的通项.

（ab)n展开式中的第r1项为：Tr1Cnarnrrb(0rn,rZ).

⑶二项式系数的性质.

①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等； ②二项展开式的中间项二项式系数最大. ．．．．．nI. 当n是偶数时，中间项是第1项，它的二项式系数C2n最大；

2n1n1II. 当n是奇数时，中间项为两项，即第项和第它们的二项式系数C1项，

22最大.

n1n12C2nnn③系数和：

01nCnCnCnn202413CnCnCnCnCn2n1

附：一般来说(axby)n(a,b为常数）在求系数最大的项或最小的项时均可直接根据性质二求．．．．．．．．．．．

AkAk1,AkAk1或(Ak为Tk1的系数或系数

AAAAk1k1kk解. 当a1或b1时，一般采用解不等式组的绝对值）的办法来求解.

⑷如何来求(abc)n展开式中含apbqcr的系数呢？其中p,q,rN,且pqrn把

r(abc)n[(ab)c]n视为二项式，先找出含有Cr的项Cn(ab)nrCr，另一方面在npqrqnrqqqpq(ab)nr中含有bq的项为CnrabCnrab，故在(abc)中含abc的项为

rqpqrrCnCnrabc.其系数为CnCnqr(nr)!n!n!pqrCnCnpCr.

r!(nr)!q!(nrq)!r!q!p!2. 近似计算的处理方法.

当a的绝对值与1相比很小且n不大时，常用近似公式(1a)n1na，因为这时展开式的后

2233nnaCnaCna很小，可以忽略不计。类似地，有(1a)n1na但使用这两个面部分Cn公式时应注意a的条件，以及对计算精确度的要求.