二项式定理十大典型问答及例题

学科教师辅导讲义

学员编号： 年 级：高二 课 时 数： 3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 教学内容 1．二项式定理： 0n1n1(ab)nCnaCnabrnrrCnabnnCnb(nN)， 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做(ab)的二项展开式。 n②二项式系数:展开式中各项的系数Cn(r0,1,2,,n). r③项数：共(r1)项，是关于a与b的齐次多项式 ④通项：展开式中的第r1项Cnarnrrnrrab表示。 br叫做二项式展开式的通项。用Tr1Cn3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(n1)项。 ②顺序：注意正确选择a,b,其顺序不能更改。(ab)与(ba)是不同的。 nn③指数：a的指数从n逐项减到0，是降幂排列。b的指数从0逐项减到n，是升幂排列。各项的次数和等于n. ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是Cn,Cn,Cn,,Cn,,Cn.项的系数是a与b的系数012rn（包括二项式系数）。 4．常用的结论： n0122令a1,bx, (1x)CnCnxCnxn0122令a1,bx, (1x)CnCnxCnxrrCnxrrCnxnnCnx(nN) nn(1)nCnx(nN) _ 5．性质： 0nkk1①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即CnCn，·CnCn 012②二项式系数和：令ab1,则二项式系数的和为CnCnCn12 变形式CnCnrCnnCn2n1。 rCnnCn2n， ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 0123在二项式定理中，令a1,b1，则CnCnCnCnn(1)nCn(11)n0， 0242r13从而得到：CnCnCnCnCnCn12r1Cn2n2n1 2④奇数项的系数和与偶数项的系数和： 0n01n12n22(ax)nCnaxCnaxCnax00n122n2(xa)nCnaxCnaxn1Cnaxn0nCnaxa0a1x1a2x2nn0Cnaxanxnanxna2x2a1x1a0 令x1, 则a0a1a2a3令x1,则a0a1a2a3①②得,a0a2a4①②得,a1a3a5an(a1)n①an(a1)n②(a1)n(a1)nan(奇数项的系数和)2(a1)n(a1)nan(偶数项的系数和)2n2n⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n是偶数时，则中间一项的二项式系数C取得最大值。 如果二项式的幂指数n是奇数时，则中间两项的二项式系数Cnn12n,Cn12n同时取得最大值。 ⑥系数的最大项：求(abx)展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别 Ar1Ar为A1,A2,,An1，设第r1项系数最大，应有，从而解出r来。 AAr1r2 _ 专题一 题型一：二项式定理的逆用； 1232例：CnCn6Cn6nCn6n1 . nCn6n与已知的有一些差距， n012233解：(16)CnCn6Cn6Cn6123CnCn6Cn62nCn6n1 1012(CnCn6Cn626112n(Cn6Cn62Cn6n) 611nCn6n1)[(16)n1](7n1) 66123练：Cn3Cn9Cnn3n1Cn . n3n1Cn，则nn012233Cn3CnCn3Cn3Cn3nnCn31(13)n1123解：设SnCn3Cn9Cn122333SnCn3Cn3Cn3(13)n14n1 Sn33题型二：利用通项公式求xn的系数； 例：在二项式(4解：由条件知Cnr10132nx)的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有x3的项的系数？ x245，即Cn45，n2n900，解得n9(舍去)或n10，由 23r10r2r43n2Tr1C(x)1410r(x)Cxr10，由题意10r2r3,解得r6， 436333则含有x的项是第7项T61C10x210x,系数为210。 19)展开式中x9的系数？ 2x111r解：Tr1C9(x2)9r()rC9rx182r()rxrC9r()rx183r，令183r9,则r3 2x22132193故x的系数为C9()。 22练：求(x2 _ 题型三：利用通项公式求常数项； 例：求二项式(x212x)10的展开式中的常数项？ 1解：Tr1C(x)r10210rr451r2055818 ()C()x2，令20r0，得r8，所以T9C10()2225622xrr1016)的展开式中的常数项？ 2x133rr6r1r62r解：Tr1C6，令62r0，得r3，所以T4(1)C620 (2x)6r(1)r()r(1)rC62()x2x21练：若(x2)n的二项展开式中第5项为常数项，则n____. x1442n12解：T5Cn，令2n120，得n6. (x2)n4()4Cnxx练：求二项式(2x题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项； 9例：求二项式(x3x)展开式中的有理项？ 解：Tr1C(x)r9129r(x)(1)Cx13rrr927r6，令27rZ,(0r9)得r3或r9， 627r34x84x4， 4，T4(1)3C9627r93xx3。 当r9时，3，T10(1)3C96所以当r3时，题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和； 2例：若(x13x21)n展开式中偶数项系数和为256，求n. 2解：设(x3x2)n展开式中各项系数依次设为a0,a1,an, nn 令x1,则有a0a1an0,①，令x1,则有a0a1a2a3(1)an2,② nn1 将①-②得：2(a1a3a5)2,a1a3a52, 有题意得，2n125628，n9。 _ 练：若(3解：151n)的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项。 xx22r1Cn2n1，2n11024，解得n11 0242r13CnCnCnCnCnCn 所以中间两个项分别为n6,n7，T51题型六：最大系数，最大项； 6116515415C()(2)462x，T61462x xx53n例：已知(2x)n，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？ 解：465CnCn2Cn,n221n980,解出n7或n14，当n7时，展开式中二项式系数最大的项是123531434134T4和T5T4的系数C7()2,，T5的系数C7()270,当n14时，展开式中二项式系数最大2227177的项是T8，T8的系数C14()23432。 2练：在(ab)的展开式中，二项式系数最大的项是多少？ 2n解：二项式的幂指数是偶数2n，则中间一项的二项式系数最大，即T2n21Tn1，也就是第n1项。 练：在(x13)n的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？ 2x解：只有第5项的二项式最大，则7n115，即n8,所以展开式中常数项为第七项等于C86()27 22练：写出在(ab)的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？ 解：因为二项式的幂指数7是奇数，所以中间两项(第4,5项)的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有343434T4C7ab的系数最小，T5C7ab系数最大。 练：若展开式前三项的二项式系数和等于79，求(2x)n的展开式中系数最大的项？ 012解：由CnCnCn79,解出n12,假设Tr1项最大，1211(2x)12()12(14x)12 22rrr1r1Ar1ArC124C124rr，化简得到9.4r10.4，又0r12，r10，展开式中系数最r1r1Ar1Ar2C124C124大的项为T11,有T11()C124x1212101010166x10 _ 练：在(12x)10的展开式中系数最大的项是多少？ rrr解：假设Tr1项最大，Tr1C102x rrr1r1Ar1Ar2(11r)rC102C102，化简得到6.3k7.3，又0r10，rr解得r1r1AAr12(10r)r1r2C102C102,7772x15360x7. r7，展开式中系数最大的项为T8C10题型七：含有三项变两项； 25例：求当(x3x2)的展开式中x的一次项的系数？ r25rr2525解法①：(x3x2)[(x2)3x]，Tr1C5(x2)(3x)，当且仅当r1时，Tr1的展开式中才有x144124的一次项，此时Tr1T2C5(x2)3x，所以x得一次项为C5C423x 144它的系数为C5C423240。 255505145051455解法②：(x3x2)(x1)(x2)(C5xC5xC5)(C5xC5x2C52) 45544 故展开式中含x的项为C5xC52C5x2240x，故展开式中x的系数为240. 练：求式子(x12)3的常数项？ x解：(x11166r62rrr(1)rx()r(1)6C6x，得2)3(x)，设第r1项为常数项，则Tr1C6xxx320. 62r0,r3, T31(1)3C6题型八：两个二项式相乘； 例：求(12x)(1x)展开式中x的系数. 解：mm(12x)3的展开式的通项是C3(2x)mC32mxm, 342nnnn(1x)4的展开式的通项是Cn4(x)C41x,其中m0,1,2,3,n0,1,2,3,4, 令mn2,则m0且n2,m1且n1,m2且n0,因此(12x)3(1x)4 2110的展开式中x2的系数等于C3020C4(1)2C321C4(1)1C3222C4(1)06. _ 练：求(13x)(16110)展开式中的常数项. 4xmn4m3n110m3nmn412)展开式的通项为CxCxCCx解：(1x)(1 6106104x36m0,m3,m6, 其中m0,1,2,,6,n0,1,2,,10,当且仅当4m3n,即或或n0,n4,n8,003468时得展开式中的常数项为C6C10C6C10C6C104246. 练：已知(1xx)(x解：(x21n)的展开式中没有常数项,nN*且2n8,则n______. 3x1nrnr3rrn4r)展开式的通项为CxxCx,通项分别与前面的三项相乘可得 nn3xn4rn4r1n4r2Cr,Cr,Cr,展开式中不含常数项,2n8 nxnxnxn4r且n4r1且n4r2，即n4,8且n3,7且n2,6,n5. 题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和； 2006例：在(x2)的二项展开式中,含x的奇次幂的项之和为S,当x2时,S_____. 解：设(x2)2006=a0a1x1a2x2a3x3a2006x2006-------① a2006x2006-------② (x2)2006=a0a1x1a2x2a3x3①②得2(a1xa3x3a5x5a2005x2005)(x2)2006(x2)2006 1(x2)2006展开式的奇次幂项之和为S(x)[(x2)2006(x2)2006] 212当x2时,S(2)[(22)2006(22)2006]22题型十：赋值法； 例：设二项式(33x)n的展开式的各项系数的和为p，所有二项式系数的和为s,若 32006223008 1xps272,则n等于多少？ 0nn解：若(33x)na0a1xa2x2anxn，有Pa0a1an，SCnCn2， 1xn 令x1得P4，又ps272,即42272(217)(216)0解得216或217(舍去)，nnnnnn _ n4. 练：若3x1的展开式中各项系数之和为，则展开式的常数项为多少？ xnn1n解：令x1，则3x的展开式中各项系数之和为2，所以n6，则展开式的常数项为x3C6(3x)3(13)540. x练：若(12x)解：令x2009a0a1x1a2x2a3x3a2009x2009(xR),则aa1a222009的值为 2222009a2009a2009aaa1a21,可得a0120,a0 22009220092222222a2009aa 在令x0可得a01,因而121. 22009222554321练：若(x2)a5xa4xa3xa2xa1xa0,则a1a2a3a4a5____. 解：令x0得a032,令x1得a0a1a2a3a4a51, a1a2a3a4a531. 题型十一：整除性； 例：证明：3证：32n22n28n9(nN*)能被整除 8n99n18n9(81)n18n9 0n11nn12n1n1CnCn1818Cn18Cn18Cn18n9 0n11nn120n11nn12CnCnCn1818Cn188(n1)18n9Cn1818Cn18 由于各项均能被整除32n28n9(nN*)能被整除 _ 1、(x－1)11展开式中x的偶次项系数之和是 1、设f(x)=(x-1)11, 偶次项系数之和是0122nnf(1)f(1)(2)11/21024 22、Cn3Cn3Cn3Cn 2、 2、4n 3、(35120)的展开式中的有理项是展开式的第 项 53、3,9,15,21 4、(2x-1)5展开式中各项系数绝对值之和是 4、(2x-1)5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1)5展开式系数之和，故令x=1，则所求和为35 5、求(1+x+x2)(1-x)10展开式中x4的系数 5、(1xx)(1x)2104(x)4(1x3)(1x)9,要得到含x4的项，必须第一个因式中的1与(1-x)9展开式中的项C9114作积，第一个因式中的－x3与(1-x)9展开式中的项C9(x)作积，故x4的系数是C9C9135 6、求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数 (1x)[1(1x)10](x1)11(x1)（1x）6、(1x)(1x)=，原式中x3实为这分子中的x4，则所1(1x)x210求系数为C11 77、若f(x)(1x)(1x)(mnN)展开式中，x的系数为21，问m、n为何值时，x2的系数最小？ mn227、由条件得m+n=21，x2的项为CmxCnx，则CmCn(n2222212399).因n∈N，故当n=10或11时上24式有最小值，也就是m=11和n=10，或m=10和n=11时，x2的系数最小 8、自然数n为偶数时，求证： _ 12CnCn2CnCn2Cn012n1n1234n1n1Cn n32135n1nn18、原式=(CnCnCnCnCn)(CnCnCnCn)229、求80被9除的余数 3.2n1 119、 80110110(811)11C118111C118110C1181181k1(kZ), ∵k∈Z,∴9k-1∈Z，∴81被9除余8 1110、在(x2+3x+2)5的展开式中，求x的系数 10、(x3x2)(x1)(x2) 114在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x的项为C55x，在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，含x的项为C52x80x

2555 ∴展开式中含x的项为 1(80x)5x(32)240x，此展开式中x的系数为240 11、求(2x+1)12展开式中系数最大的项 11、设Tr+1的系数最大，则Tr+1的系数不小于Tr与Tr+2的系数，即有 rr1r12rr113rC2CC122C2121212 r12rr111rrr1 C2C122CC12121212 311r4,r4 33444∴展开式中系数最大项为第5项，T5=16C12x7920x