人教版九年级（上）期末
数学模拟试卷
一．选择题（共 12 小题，满分 36 分，每小题 3 分）
1. 已知 m，n（m＜n）是关于 x 的方程（x﹣a）（x﹣b）＝2 的两根，若 a＜b，则下列判断正确的是（ ）
B．m＜a＜n＜b
C．a＜m＜n＜d
）
D．（x﹣2）2＝11 D．m＜a＜b＜n A．a＜m＜b＜n
2．一元二次方程 x2﹣2x﹣7＝0 用配方法可变形为（ A．（x+1）2＝8
B．（x+2）2＝11
C．（x﹣1）2＝8
3．从生产的一批螺钉中抽取 1000 个进行质量检查，结果发现有 5 个是次品，那么从中任取 1 个是次品概率约为（ A． B． 2
）
C． D．
2
4. 已知关于 x 的一元二次方程 x+（2k+1）x+k＝0①有两个不相等的实数根．则 k 的取值
范围为（ ）
C．k＜﹣1
D．k＜4
）
A．k＞﹣ B．k＞4
5. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠OCB＝40°，则∠A 的大小为（
A．40°
B．50° C．80° D．100°
6. 如图，△BC 的边 AC 与⊙O 相交于 C、D 两点，且经过圆心 O，边 AB 与⊙O 相切，切
点为 B，如果∠C＝26°，那么∠A 等于（ ）
A．26°
B．38° C．48° D．52°
，BC 的中点为 D．将△
7. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝4
ABC 绕点 C 顺时针旋转任意一个角度得到△FEC，EF 的中点为 G，连接 DG．在旋转过程中，DG 的最大值是（ ）
A．4 B．6
2
C．2+2 D．8
）
8. 下列关于抛物线 y＝﹣（x﹣5）+2 有关性质的说法，错误的是（
A．对称轴是直线 x＝5
B．开口向下 D．最小值是 2
C．与 x 轴有交点
9. 对于反比例函数 y＝
，下列说法正确的是（ ）
A．图象经过点（2，﹣1） B．图象位于第二、四象限C．图象是中心对称图形
D．当 x＜0 时，y 随 x 的增大而增大
10. 小兰和小潭分别用掷 A、B 两枚骰子的方法来确定 P（x，y）的位置，她们规定：小兰
掷得的点数为 x，小谭掷得的点数为 y，那么，她们各掷一次所确定的点落在已知直线 y ＝﹣2x+6 上的概率为（ ） A．
B． C． D． ）
D．第四象限
11．当 k＜0，x＞0 时，反比例函数 y＝的图象在（
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
12．如图为二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象，则 ax2+bx+c＞0 的解集为（ ）
A．x＜﹣3
B．﹣3＜x＜1 C．x＞2 D．x＞1
二．填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分）
13. 请构造一个一元二次方程，使它能满足下列条件：①二次项系数不为 1；②有一个根
为﹣2．则你构造的一元二次方程是
14. 已知反比例函数 y＝．
（k≠0），在其图象所在的每个象限内，y 的值随 x 的值增大而减
象限．
2
小，那么它的图象所在的象限是第
15. 在同一平面直角坐标系内，将函数 y＝2x+4x+1 的图象沿 x 轴方向向右平移 2 个单位长
度后再沿 y 轴向下平移 1 个单位长度，得到图象的解析式是 ．
16. 如图，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为 M、N，如果
MN＝1，那么△ABC 的周长为 ．
17. 在半径为 12 的⊙O 中，150°的圆心角所对的弧长等于
．
18. 将一副扑克牌中的两张牌红桃 A 和黑桃 2 都从中间剪开，分成四块，这四块背面完全
一样，将它们洗匀后，背面朝上，任取两张，恰好能拼成一张牌的概率是 三．解答题（共 7 小题，满分 66 分）
．
19. 已知关于 x 的一元二次方程（a+1）x﹣x+a﹣3a﹣3＝0 有一根是 1． （1） 求 a 的值；
22
（2） 求方程的另一根．
20. 如图是一副扑克牌中的三张牌，将它们正面向下洗均匀，甲同学从中随机抽取一张牌后放回，乙同学再从中随机抽取一张牌，用树状图（或列表）的方法，求抽出的两张牌中， 牌面上的数字都是偶数的概率．
21. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为 A（2，﹣（4，﹣4），
（1） 作出△ABC 关于原点 O 对称的△A1B1C1； （2） 写出点 A1、B1、C1 的坐标．
1）、B（1，﹣3）、C
22. 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克 50 元．
（1） 连续两次降价后每千克 32 元，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率；
（2） 这种水果进价为每千克 40 元，若在销售等各个过程中每千克损耗或开支 2.5 元，经一
次降价销售后商场不亏本，求一次下降的百分率的最大值．
23. 如图，已知抛物线 y＝﹣x+bx+c 与 x 轴交于点 A（﹣1，0）和点 B（3，0），与 y 轴交2于点 C，连接 BC 交抛物线的对称轴于点 E，O 是原点，D 是抛物线的顶点．
（1） 求此抛物线的解析式；
（2） 直接写出点 C 和点 D 的坐标；
（3） 若点 P 在第一象限内的抛物线上，连结 OE，且 S△ABP＝2S△BOE，求 P 点坐标．
24. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知正比例函数 y1＝﹣2x 的图象与反比例函数 y2＝
的图象交于 A（﹣1，a），B 两点．
（1） 求出反比例函数的解析式及点 B 的坐标；
（2） 观察图象，请直接写出满足 y≤2 的取值范围；
（3） 点 P 是第四象限内反比例函数的图象上一点，若△POB 的面积为 1，请直接写出点 P
的横坐标．
25. 如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，以 BC 为直径的⊙O 交 AB 于点 D，过点 D 作⊙O
的切线交 CB 的延长线于点 E，交 AC 于点 F．
（1） 求证：点 F 是 AC 中点；
（2） 若∠A＝30°，AF＝
，求图中阴影部分的面积．
参
一．选择题（共 12 小题，满分 36 分，每小题 3 分） 1．【解答】解：∵（x﹣a）（x﹣b）＝2，
∴m、n 可看作抛物线 y＝（x﹣a）（x﹣b）与直线 y＝2 的两交点的横坐标，
∵抛物线 y＝（x﹣a）（x﹣b）与 x 轴的两交点坐标为（a，0），（b，0），如图，
∴m＜a＜b＜n． 故选：D．
.2【解答】解：一元二次方程 x2﹣2x﹣7＝0 用配方法可变形为（x﹣1）2＝
8，故选：C．
.3【解答】解：∵从生产的一批螺钉中抽取 1000 个进行质量检查，结果发现有 5 个是次品，
＝ ∴从中任取 1 个是次品概率约为：
． 故选：B．
.4【解答】解：∵关于 x 的一元二次方程 x2+（2k+1）x+k2＝0 有两个不相等的实数根，
∴△＝（2k+1）2﹣4×1×k2＝4k+1＞0， ∴k＞﹣ ． 故选：A．
.5
【解答】解：∵OB＝OC
∴∠BOC＝180°﹣2∠OCB＝100°， ∴由圆周角定理可知：∠A＝ 故选：B．
.6∠BOC＝50°
【解答】解：
如图，连接 OB， ∵AB 与⊙O 相切， ∴OB⊥AB，
∴∠ABO＝90°，
∵OB＝OC，∠C＝26°，
∴∠OBC＝∠C＝26°，
∴∠COB＝180°﹣26°﹣26°＝128°，
∴∠A＝128°﹣90°＝38°， 故选：B．
7．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝AC÷cos30°＝4 ÷ ＝8，
BC＝AC•tan30°＝4 ×
＝4，
∵BC 的中点为 D， ∴CD＝ BC＝ ×4＝2，
连接 CG，∵△ABC 绕点 C 顺时针旋转任意一个角度得到△FEC，EF 的中点为 G， ∴CG＝ EF＝ AB＝ ×8＝4， 由三角形的三边关系得，CD+CG＞DG，
∴D、C、G 三点共线时 DG 有最大值， 此时 DG＝CD+CG＝2+4＝6． 故选：B．
8．【解答】解：∵y＝﹣（x﹣5）2+2，
∴抛物线对称轴为直线 x＝5，开口向下，顶点坐标为（5，2），
∴抛物线与 x 轴有两个交点，有最大值 2，
∴最小值是 2， 故选：D．
.9
【解答】解：
∵当 x＝2 时，可得 y＝1≠﹣1，
∴图象不经过点（2，﹣1），故 A 不正确； ∵在 y＝中，k＝2＞0，
∴图象位于第一、三象限，且在每个象限内 y 随 x 的增大而减小，故 B、D 不正确； 又双曲线为中心对称图形，故 C 正确， 故选：C．
10【解答】解：列表得：
∴一共有 36 种情况，她们各掷一次所确定的点落在已知直线 y＝﹣2x+6 上的有（1，4），（2，
2）．
∴她们各掷一次所确定的点落在已知直线 y＝﹣2x+6 上的概率为． 故选：B．
11【解答】解：∵在反比例函数 y＝中，k＜0， ∴函数图象分别在二、四象限， 又∵x＞0， ∴函数图象在第四象限． 故选：D．
12【解答】解：由题意二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象与 x 轴交于两点为：（﹣3，0）、（1，0）， ∴由图象可知：当﹣3＜x＜1 时，y＞0， 因此 ax2+bx+c＞0 的解集为：﹣3＜x＜1．
＝ 故选：B．
二．填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分）
13【解答】解：满足二次项系数不为 1，有一个根为﹣2 的一元二次方程可为2x2﹣8＝0．故答案为 2x2﹣8＝0．
14【解答】解：∵反比例函数 y＝（k≠0），在其图象所在的每个象限内，y 的值随 x 的 值增大而减小，
∴它的图象所在的象限是第一、三象限． 故答案为：一、三．
15．【解答】解：y＝2x2+4x+1＝2（x+1）2﹣1，
∵图象沿 x 轴方向向右平移 2 个单位长度后再沿 y 轴向下平移 1 个单位长度，
∴所得新的抛物线解析式为：y＝2（x﹣1）2﹣2， 故答案为：y＝2（x﹣1）2﹣2．
16【解答】解：∵⊙O 是等边△ABC 的外接圆，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为 M、N， ∴M、N 分别是 AC、AB 的中点，
∴MN 是等边△ABC 的中位线，
∵MN＝1，
∴AB＝AC＝BC＝2MN＝2，
∴△ABC 的周长为：3AB＝6． 故答案是：6．
17【解答】解：根据弧长的公式 l＝故答案是：10π．
18【解答】解：将剪开的红桃 A 记为 A、A′，剪开的黑桃 2 记为 2、2′，画树状图如下：
得到： ＝10π．
由树状图知，共有 12 种等可能结果，其中恰好能拼成一张牌的有 4 种结果， 所以恰好能拼成一张牌的概率为 ＝ ，
故答案为： ．
三．解答题（共 7 小题，满分 66 分）
19．【解答】解：（1）将 x＝1 代入方程（a+1）x2﹣x+a2﹣3a﹣3＝0 可得（a+1）﹣1+a2﹣3a ﹣3＝0，
解可得：a＝﹣1，a＝3；
a＝﹣1 时，原方程是一元一次方程，故舍去； 则 a＝3；
（2）由（1）得：a＝3， 则原方程为 4x2﹣x﹣3＝0，
且其中有一根为 1，设另一根是 m， 则 m•1＝m＝﹣， 故 m＝﹣．
20【解答】解：画树状图为：
共有 9 种等可能的结果数，其中两次抽取的牌上的数字都是偶数的结果数为 2， 所以两次抽取的牌上的数字都是偶数的概率＝ ＝ ． 21【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1 即为所求；
（2）由图知点 A1 的坐标为（﹣2，1）、B1 的坐标为（﹣1，3）、C1 的坐标为（﹣4，4）． 22【解答】解：（1）设每次下降的百分率为 a，根据题意，得：
50（1﹣a）2＝32，
解得：a＝1.8（不合题意，舍去）或 a＝0.2． 答：每次下降的百分率为 20%；
（2） 设一次下降的百分率为 b，根据题意，得：
50（1﹣b）﹣2.5≥40， 解得 b≤0.15．
答：一次下降的百分率的最大值为 15%．
23．【解答】解：（1）将 A（﹣1，0）、B（3，0）代入 y＝﹣x2+bx+c，解得：
，，
∴抛物线的解析式为 y＝﹣x2+2x+3； （2）当 x＝0 时，y＝﹣x2+2x+3＝3， ∴点 C 的坐标为（0，3）；
∵抛物线的解析式为 y＝﹣x2+2x+3， ∴顶点 D 的坐标为（1，4）．
（3） 设点 P 的坐标为（m，n）（m＞0，n＞0），设直线 BC 的解析式为：y＝kx+b， ∵B（3，0），C（0，3）， ∴ 解得：
，
∴直线 BC 的解析式为：y＝﹣x+3，
∵点 E 在对称轴上，
∴E（1，2），
∴S△BOE＝ ×2×3＝3，S△ABP＝ 4n＝2n， ∵S△ABP＝2S△BOE， ∴2n＝2×3，
∴n＝3，
∴﹣m2+2m+3＝3，
解得：m1＝0（不合题意，舍去），m2＝2， ∴点 P 的坐标为（2，3）．
24．【解答】解：（1）把 A（﹣1，a）代入 y＝﹣2x，可得 a＝2，
∴A（﹣1，2），
把 A（﹣1，2）代入 y＝，可得 k＝﹣2， ∴反比例函数的表达式为 y＝﹣， ∵点 B 与点 A 关于原点对称，
∴B（1，﹣2）．
（2）∵A（﹣1，2），
∴y≤2 的取值范围是 x＜﹣1 或 x＞0；
（3）作 BM⊥x 轴于 M，PN⊥x 轴于 N，
∵S 梯形 MBPN＝S△POB＝1，
设 P（m，﹣），则（2+）（m﹣1）＝1 或（2+）（1﹣m）＝1整理得，m2﹣m﹣1＝0 或 m2+m+1＝0， 解得 m＝
或 m＝
， ．
为 ∴P 点的横坐标
25．【解答】（1）证明：连接 OD、CD，如图，
∵BC 为直径，
∴∠BDC＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴AC 为⊙O 的切线， ∵EF 为⊙O 的切线， ∴FD＝FC，
∴∠1＝∠2，
∵∠1+∠A＝90°，∠2+∠3＝90°，
∴∠3＝∠A，
∴FD＝FA，
∴FC＝FA，
∴点 F 是 AC 中点；
（2）解：在 Rt△ACB 中，AC＝2AF＝2而∠A＝30°， ∴∠CBA＝60°，BC＝ ∵OB＝OD，
，
AC＝2，
∴△OBD 为等边三角形，
∴∠BOD＝60°，
∵EF 为切线，
∴OD⊥EF， 在 Rt△ODE 中，DE＝
OD＝ ，
﹣
＝
﹣ π．
∴S 阴影部分＝S△ODE﹣S 扇形 BOD＝ ×1×