圆锥曲线齐次式与点乘双根法

一，圆锥曲线齐次式与斜率之积（和）为定值

x2y2212Q1,Q2例1：为椭圆2bb上两个动点，且OQ1OQ2，过原点O作直线Q1Q2的垂线OD，

求D的轨迹方程。

解法一（常规方法):设Q1(x1,y1),Q2(x2,y2)，D(x0,y0),设直线Q1Q2方程为ykxm，联立

ykxm2xy22212bb化简可得：

(2b2k2b2)x24kmb2x2b2(m2b2)0,所以

2b2(m2b2)b2(m22b2k2)x1x2,y1y22222bkb2b2k2b2

因为OQ1OQ2所以

2b2(m2b2)b2(m22b2k2)2(m2b2)m22b2k2x1x2y1y2=02b2k2b22b2k2b22k212k21

3m22b2(1k2)

圆锥曲线齐次式与点乘双根法

x0x0x02yy0(xx0)yxy0Q1Q2yyy000又因为直线方程等价于为,即对比于ykxm，

x0ky02x0ym22220xyb00y03则代入中，化简可得：.

解法二（齐次式）：

mxny1mxny12x2y2xy22212210Q1Q2mxny12bb设直线方程为，联立2bb

x2y2x2y222(mxny)02m2x2n2y22mnxy0222bb化简可得:2bb

2222222(22bn)y(12mb)x4mnbxy0,进而两边同时除以x,yx,y整理成关于的齐次式：

x2，则

12m2b2(22bn)k4mnbk12mb0k1k222b2n2

22222212m2b21OQ1OQ2OQ1OQ2k1k2122b2n2因为所以，

32b2(m2n2)

x0x0x02yy0(xx0)yxy0Q1Q2yyy000又因为直线方程等价于为，即对比于mxny1，

圆锥曲线齐次式与点乘双根法

x0x2y2m00y02222n22xyb00x0y03. 则代入中,化简可得：

x2y21例2：已知椭圆4，设直线l不经过点P(0,1)的直线交于A,B两点，若直线PA,PB的斜率之和为1，证明：直线l恒过定点.

解：以点P为坐标原点,建立新的直角坐标系x'py'，如图所示:

旧坐标 新坐标

(x,y)(x',y')

即(0,1)(0,0)

圆锥曲线齐次式与点乘双根法

x'xAA'y'y1BB' 所以原来

kPAkPB1y11y21y1'y2'11x1x2x'x'2则转换到新坐标就成为：1

即k1'k2'1

设直线l方程为:mx'ny'1

2222x4y4x'4(y'1)4 原方程:则转换到新坐标就成为：

22x'4y'8y'0 展开得：

22构造齐次式：x'4y'8y'(mx'ny')0

22(48n)y'8mx'y'x'0 整理为：

22(48n)k'8mk'10 x'两边同时除以，则

所以

k1'k2'8m112m2n1mn48n2 所以

1x'(n)x'ny'1n(x'y')1022而mx'ny'1对于任意n都成立。

圆锥曲线齐次式与点乘双根法

x'y'0x'2x2x'10y'22则：，故对应原坐标为y1所以恒过定点(2,1)。

x2y2182例3：已知椭圆，过其上一定点P(2,1)作倾斜角互补的两条直线，分别交于椭

圆于A,B两点,证明：直线AB斜率为定值.

解：以点P为坐标原点，建立新的直角坐标系x'py',如图所示：

旧坐标 新坐标

(x,y)(x',y')

即(2,1)(0,0)

x'x2AA'所以y'y1BB'

圆锥曲线齐次式与点乘双根法

原来

kPAkPB0y11y21y1'y2'00x12x21x'x'2则转换到新坐标就成为:1

即k1'k2'0

设直线AB方程为：mx'ny'1

2222x4y8(x'2)4(y'1)8 原方程：则转换到新坐标就成为：

22x'4y'4x'8y'0 展开得：

22x'4y'4x'(mx'ny')8y'(mx'ny')0 构造齐次式:

22y'(48n)x'y'(4n8m)(14m)x'0 整理为：

22(48n)k'(4n8m)k'14m0 x'两边同时除以，则

所以

k1'k2'4n8m048n所以n2m

而mx'ny'1mx'(2m)y'1mx2my10。所以

1平移变换，斜率不变,所以直线AB斜率为定值2。

k=12

二，点乘双根法

圆锥曲线齐次式与点乘双根法

例4：设椭圆中心在原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左右顶点分别为F1,F2，线段

OF1,OF2中点分别为B1,B2,且△AB1B2是面积为4的直角三角形。

(1）求其椭圆的方程

(2）过B1作直线l交椭圆于P,Q两点,使PB2QB2，求直线l的方程。

x2y21204解:（1)

（2）易知：直线l不与轴垂直，则设直线l方程为：yk(x2)，P(x1,y1),Q(x2,y2)

因为PB2QB2，则PB2QB2=0,

所以

(x12,y1)(x22,y2)0(x12)(x22)k2(x12)(x22)0

yk(x2)22222x5k(x2)200xy1现联立204

222(15k2)(x1x)(x2x)0x5k(x2)200则方程可以等价转化

圆锥曲线齐次式与点乘双根法

即

x25k2(x2)220(15k2)(x1x)(x2x)

80k2180k20(15k)(x12)(x22)(x12)(x22)x215k2 令,

22令x2,

4020(15k2)(x12)(x22)(x12)(x22)1615k2

结合

(x12)(x22)k2(x12)(x22)080k2161602215k15k化简可得：

1180k216k2160k216k2k42

1y(x2)2所以直线l方程为:.