高三数学培优专题6_向量中的最值问题

向量中的最值问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查学生的思维品质和学习潜能，能综合考察学生分析问题和解决问题的能力，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，是高考的热点，本节举列探求向量中几种形式的最值问题的求解策略

题型一、模的最值 例1．若

AB8,AC5，则BC

的取值范围是 。

分析;利用向量模不等式求解。

解：BCACAB，当AB,AC同向时，BCACABABAC853；当

AB,AC反向时，

BCABAC13；当

A,BA不C共线时

，

ABACBCABAC

练习1、(湖北高考题)已知向量b=

，即3BC13，综上可知：3BC13。

评注：运用向量模不等式求范围时要注意等号成立的条件。

cos,sin，c=1,0.求向量b+c的长度的最大值；

2

解析:b+c=

cos1,sin则|b+c|=cos12sin221cos.

1cos1，0|b+c|24，即0| b+c|≤2所以向量b+c的长度的最大值为2.

评注：运用三角函数的有界性求最值是最常见的方法之一。

例二(2011辽宁卷)若向量a、b、c均为单位向量，且ab＝0，(a-c)(b-c)0，则|a+b-c|的最大值为( ) A．

2-1 B.1 C2 .D。2

解析:由ab＝0，(a-c)(b-c)0，得ac+bcc2=1，( a+b-c)2=1+1+1-2(ac+bc)1.

|a+b-c|1.

变式、已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为( )．

A．答案：C

题型二、数量积的最值

例3、 在正方形ABCD中，已知AB=2，M为BC的中点，若N为正方形内(含边界)任意一点，求的最大值

21 B．2 C．21 D．22

AMAN解析:以AB,AD所在直线为x,y轴，建立直角坐标系，则B（2，0）,D（0，2）,C（2，2）,M（2，1）,设N(x,y)，则0且AM2,1,ANx,y,AMAN2xy知在点(2,2)x2,0y2，

处

AMAN取最大值6.

练习1、 (全国高考题)已知a,b,c为单位向量，ab=0，求(a-c)(b-c) 的最小值。 解析: (a-c)(b-c)= ab- ac- bc+c2=1-(a+b)c=1-| a+b||c|cos=1-

2cos(其中a+b与c的夹角为

)，当cos=1时，(a-c)(b-c)取最小值1-2。

练习2、已知OP2,1，OA1,7，OB5,1且Q是直线OP上的一点(O为原点)，

求

QAQB的最小值。

解析: O,P,Q三点共线，故设OQOP2,,QAQB=12,7

52,1=5220125228，所以当=2时，QAQB取最小值-8.

评注：本题主要考查共线向量，向量数量积等基本知识，利用共线向量设出点Q的坐标是关键，运用二次函数最后求得最值。