数列求和7种方法(方法全,例子多)

数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习）

一、总论：数列求和7种方法：

利用等差、等比数列求和公式

错位相减法求和

反序相加法求和

分组相加法求和

裂项消去法求和

分段求和法（合并法求和）

利用数列通项法求和

二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，

三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。

数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.

一、利用常用求和公式求和

1

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.

n(a1an)1、 等差数列求和公式：

Sn2nan(n1)12d

Sna1(q1)na1(1qn)2、等比数列求和公式：1qa1anq1q(q1)

nS1n23、

nkn(n 4、Sk1nn(n1)(2n1)k121) k16

n5、

Sk3[1nn(n1)]2k12

[例1] 已知

log3x1log23，求xx2x3xn的前n项和.

解：由

log3x1loglog13xlog32x232

由等比数列求和公式得

Snxx2x3xn （利用常用公式）1(11nx(1xn)22) ＝1x＝

1112＝1－2n n[例2] 设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求

f(n)S(n32)Sn1的最大值.

2

S11n(n1)S(n1)(n2) 解：由等差数列求和公式得

n2， n2 （利用常用公式）

∴

f(n)Snn(n32)Sn1＝n234n

118 ＝

n34n＝(n)2501n50

8 ∴ 当

n8，即n＝8时，f(n)1max50

题1.等比数列的前ｎ项和Sｎ＝2ｎ－１，则＝

题2．若12+22+…+(n-1)2=an3+bn2+cn，则a= ,b= ,c=

.

解： 原式= 答案：

二、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列.

[例3] 求和：

Sn13x5x27x3(2n1)xn1………………………①

bn}的3

解：由题可知，{(2n1)xn1}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{xn1}的通项之积

设

xSn1x3x25x37x4(2n1)xn………………………. ② （设制错位）

①－②得

(1x)S1n12x2x22x32x42xn(2n1)xn （错位相减）

x)S1xn1(1n12x(2n1)xn再利用等比数列的求和公式得：1x

( ∴ S2n1)xn1(2n1)xn(1x)n(1x)2

2[例4] 求数列2,4622,2n2,3,2n,前n项的和.

2n1解：由题可知，{2n}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{2n}的通项之积

设

S22462nn22232n…………………………………①

12S2462nn2223242n1………………………………② （设制错位）

①－②得

(11222222n2)Sn22223242n2n1 （错位相减） 12n

22n12n1

4

∴

Sn4n22n1

练习题1 已知 ，求数列｛an｝的前n项和Sn.

答案：

练习题2 的前n项和为____

答案：

三、反序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1an).

012nCn3Cn5Cn(2n1)Cn(n1)2n[例5] 求证：

证明： 设

012nSnCn3Cn5Cn(2n1)Cn………………………….. ①

把①式右边倒转过来得

nn110Sn(2n1)Cn(2n1)Cn3CnCn （反序） 又由

mnmCnCn可得

5

01n1nSn(2n1)Cn(2n1)Cn3CnCn…………..…….. ②

①+②得

01n1n2Sn(2n2)(CnCnCnCn)2(n1)2n （反序相加）

∴

Sn(n1)2n

[例6] 求sin21sin22sin23sin288sin2的值

解：设Ssin21sin22sin23sin288sin2…………. ①

将①式右边反序得

Ssin2sin288sin23sin22sin21…………..② 又因为

sinxcos(90x),sin2xcos2x1 ①+②得 2S(sin21cos21)(sin22cos22)(sin2cos2)＝ ∴ S＝44.5

题1 已知函数

（1）证明：；

6

（反序） （反序相加）

（2）求的值.

解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边

（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，

两式相加得：

所以.

练习、求值：

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

7

11,1114,7,,3n2[例7] 求数列的前n项和：

aa2an1，…

解：设S(11)(1a4)(11na27)(an13n2)

将其每一项拆开再重新组合得

S1n(1a1a12an1)(1473n2) 1)n(3n1)n当a＝1时，

Snn(3n2＝2 11Snan(3n1)n当a1时，112aa1na＝a1(3n1)n2

[例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.

解：设akk(k1)(2k1)2k33k2k

n∴

Snk(k1)(2k1)k)k1＝n(2k33k2k1

将其每一项拆开再重新组合得

nnnSn＝

2k33k1k2k1kk1 （分组）

8

（分组） （分组求和）

333222＝2(12n)3(12n)(12n)

n2(n1)2n(n1)(2n1)n(n1)222 （分组求和） ＝

n(n1)2(n2)2 ＝

五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

sin1tan(n1)tann（1）anf(n1)f(n) （2）cosncos(n1)

(2n)2111111an1()an(2n1)(2n1)22n12n1 n(n1)nn1 （4）（3）

（5）

an1111[]n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)

(6)

ann212(n1)n1111nn,则S1nn(n1)2n(n1)2n2n1(n1)2n(n1)2n

（7）

an1111()(AnB)(AnC)CBAnBAnC

（8）

an1nn1n1n 9

1[例9] 求数列12,123,,1nn1,的前n项和.

1解：设

annn1n1n （裂项）

111则

Sn1223nn1 （裂项求和）

＝(21)(32)(n1n)

＝n11

[例10] 在数列{aa12nn}中，nn1n1n1，又b2nanan1，求数列{bn

}的前n项的和. 解： ∵

an1n12n1nn1n2

b2nnn18(11nn1) ∴

22 （裂项）

∴ 数列{bn}的前n项和

S8[(11111112)(23)(34)(n1nn1)] （裂项求和）

18n ＝

8(1n1) ＝ n1

10

111cos1[例11] 求证：

cos0cos1cos1cos2cos88cossin21 解：设

S1cos0cos11cos1cos21cos88cos

sin1∵cosncos(n1)tan(n1)tann （裂项）1∴

Scos0cos11cos1cos21cos88cos （裂项求和）

1 ＝sin1{(tan1tan0)(tan2tan1)(tan3tan2)[tantan88]}

1 ＝sin1(tantan0)1cos1＝sin1cot1＝sin21

∴ 原等式成立

练习题1.

答案：.

练习题2。 =

答案：

11

六、分段求和法（合并法求和）

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.

[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+·+ cos178°+ cos179°的值.

解：设Sn＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+·+ cos178°+ cos179°

∵

cosncos(180n) （找特殊性质项）∴Sn＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+·

+（cos°+ cos91°）+ cos90° （合并求和）

＝ 0

[例13] 数列{an}：a11,a23,a32,an2an1an，求S2002.

解：设S2002＝a1a2a3a2002

由a11,a23,a32,an2an1an可得

a41,a53,a62,

a71,a83,a92,a101,a113,a122,

12

……

a6k11,a6k23,a6k32,a6k41,a6k53,a6k62

∵ a6k1a6k2a6k3a6k4a6k5a6k60 （找特殊性质项）

∴ S2002＝a1a2a3a2002 （合并求和）

＝(a1a2a3a6)(a7a8a12)(a6k1a6k2a6k6)

(a1993a1994a1998)a1999a2000a2001a2002

＝a1999a2000a2001a2002

＝a6k1a6k2a6k3a6k4

＝5

[例14] 在各项均为正数的等比数列中，若a5a69,求log3a1log3a2log3a10的值.

解：设Snlog3a1log3a2log3a10

由等比数列的性质

mnpqamanapaq （找特殊性质项）和对数的运算性质 logaMlogaNlogaMN 得

Sn(log3a1log3a10)(log3a2log3a9)(log3a5log3a6) （合并求和）

13

＝(log3a1a10)(log3a2a9)(log3a5a6)

＝log39log39log39

＝10

练习、求和：

练习题1 设，则＝___

答案：2.

练习题2 ．若Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n，则S17+S33＋Ｓ50等于 ( )

A.1 B.-1 C.0 D .2

解：对前n项和要分奇偶分别解决，即： Sn= 答案：A

练习题 3 1002-992+982-972+…+22-12的值是 A.5000 B.5050 C.10100 D.20200

解：并项求和，每两项合并，原式=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5050.答案：B

七、利用数列的通项求和

14

先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.

[例15] 求

1111111111n个1之和.

111111k解：由于

个199999k个19(101)k （找通项及特征）∴

1111111111n个1

1＝9(1011)19(1021)119(1031)9(10n1) （分组求和）

12＝

9(1011010310n)19(1111)n个1

110(10n＝

91)101n9 1＝81(10n1109n)

[例16] 已知数列{aa8n,求n}：(n1)(n3)(n1)(anan1)n1的值.

解：∵

(n1)(anan1)8(n1)[11(n1)(n3)(n2)(n4)] （找通项及特征）

15

＝

8[1(n2)(n4)1(n3)(n4)] （设制分组） ＝

4(1n21n4)8(11n3n4) （裂项）

∴ (n1)(anan1)4(11)8(11n1n1n2n4n1n3n4) （分组、裂项求和）

＝4(1314)814 13 ＝3

提高练习：

1．已知数列an中，Sn是其前n项和，并且Sn14an2(n1,2,),a11， ⑴设数列bnan12an(n1,2,)，求证：数列bn是等比数列；

n⑵设数列

cna2n,(n1,2,)，求证：数列cn是等差数列；

2．设二次方程anx2-an+1x+1=0(n∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．

(1)试用an表示an1；

16

3．数列an中，a18,a42且满足an22an1an nN*

⑴求数列an的通项公式；

⑵设Sn|a1||a2||an|，求Sn；

说明：本资料适用于高三总复习，也适用于高一“数列”一章的学习。

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