一、教学目的 〔一〕核心素养 〔二〕学习目的
1. 会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性； 2. 探究并证明角平分线的性质； 3. 能用角的平分线的性质解决简单问题. 〔三〕学习重点
角的平分线的性质的证明及应用. 〔四〕学习难点
角的平分线的性质的探究. 二、教学设计 (一)课前设计 预习任务
用尺规作图作一个角的平分线的方法，其根据是SSS . 角的平分线上的点到角的两边的间隔 相等. 预习检测 一、填空题
1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，假设BC＝8cm，BD＝5cm，那么点D到AB的间隔 为 . 答案：3cm
解析：根据题意画出图形，过点D作DE⊥AB，交AB于点E，D点到AB的间隔 即为DE的长. ∵∠BCA=90° ∴AC⊥BC
∵AC⊥BC，DE⊥AB，AD平分∠CAB ∴CD=DE
∵BC=8cm，BD=5cm，CD=DE，BC=CD+BD ∴DE=3cm
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即D点到直线AB的间隔 是3cm.
点拨：根据角平分线的性质添加辅助线作答
2.∠AOB的平分线上一点P，P到OA的间隔 为2.5cm，那么P到OB的间隔 为 cm. 答案：2.5
解析：∵P是∠AOB平分线上一点,点P到OA的间隔 是2.5cm, ∴P到OB的间隔 等于点P到OA的间隔 ,为2.5cm. 因此，此题正确答案是:2.5.
点拨：根据角平分线上的点到角的两边的间隔 相等解答. 二、选择题
3.如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，以下结论错误的选项是〔 〕
A、PD＝PE B、OD＝OE C、∠DPO＝∠EPO D、PD＝OD 答案：D
解析：A项；由角分线性质，正确
B项；由角分线性质知PD＝PE，由HL知Rt△OEP≌△ODP，那么两三角形全等知OD＝OE，正确.
C项；同B项，由两三角形全等知∠DPO＝∠EPO D项；错误
点拨：由题设可知OP为∠AOB的角平分线，PE为P到OB的间隔 ，PD为P到OA的间隔 ，再由角的平分线性质判断即可.可由角分线的性质找出相应的结论. (二)课堂设计 1.知识回忆
〔1〕三角形的判断方法有哪些? SSS,SAS,AAS,ASA,HL
〔2〕三角形中有哪些重要线段?
三角形中有三条重要线段，它们分别是：三角形的高，三角形的中线，三角形的角的平分线．
〔3〕从直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做点到直线的间隔 .
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2.问题探究
探究一 角的平分线的作法 ●活动①
请同学们拿出准备好的角，用你自己的方法画出它的角平分线，然后与大家交流分享.
【设计意图】通过学生动手理论，寻找作角的平分线的方法，目的是为了引入尺规作图作角的平分线. ●活动②
如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，画一条射线AE，AE就是∠DAB的平分线. 你能说明它的道理吗?
A 让同学们把推理过程写在课堂作业本上，老师巡查学生完成情况，对个别学生进展引导，最后老师把有典型错误的解答过程展示出来，让同学们去纠正错误.
B D
【设计意图】为如何用尺规作图作角的平分线作铺垫. ●活动③ 老师提出问题：
E C 通过上述探究，能否总结出尺规作角的平分线的一般方法．自己动手做做看．然后与同伴交流操作心得．〔分小组完成这项活动，老师可参与到学生活动中，及时发现问题，给予启发和指导，使讲评更具有针对性〕 讨论结果展示： ：∠MAN
求作：∠MAN的角平分线.
作法：〔1〕以A为圆心，适当长为半径画弧，交AM于B，交AN于D.
〔2〕分别以B、D为圆心，大于 BD的长为半径画弧，两弧在∠MAN的内部交于点C. 〔3〕画射线AC. ∴射线AC即为所求.
B C A D N M 12第 3 页
分组讨论：
1 1．在上面作法的第二步中，去掉“大于BD的长〞这个条件行吗？
2 2．第二步中所作的两弧交点一定在∠MAN的内部吗？ 学生讨论结果总结：
1 1．去掉“大于BD的长〞这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找
2不到角的平分线．
1 2．假设分别以B、D为圆心，大于BD的长为半径画两弧，两弧的交点可
2能在∠MAN的内部，也可能在∠MAN的外部，而我们要找的是∠MAN内部的交点，否那么两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠MAN的平分线了．
3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，所以第二步中的两个缺一不可．
4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明． 练一练：
任意画一角∠AOB，作它的平分线．
【设计意图】设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解，培养数学严密性的良好学习习惯 探究二 角的平分线的性质 ●活动①
如图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形〔使第一条折痕为斜边〕，然后展开.观察两次折叠形成的三条折痕，三条折痕分别表示什么？你能得出什么结论？
学生答复后师生归纳：OC表示∠AOB的角平分线，PD和PE分别表示P到OA和OB的间隔 ，P到角两边的间隔 相等〔PD=PE〕 【设计意图】让学生感知角平分线的性质. ●活动②
学生活动：作∠AOB的平分线，过平分线上一点P，作两边的垂线段. 投影出下面两个图形，让学生评一评.
结论：同学乙的画法是正确的．同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线
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的垂线，而不是过角平分线上一点作两边的垂线段，所以他的画法不符合要求． 问题1：如何用文字语言表达所画图形的性质？
师生共同归纳：角平分线上的点到角的两边的间隔 相等．
问题2：能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的间隔 相等〞这句话？
事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足． 由事项推出的事项：PD=PE．
【设计意图】进一步理解角平分线的题设和结论. ●活动③
以上结论成立吗？让同学们进展证明，然后展示学生的证明过程： 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB () ∴ ∠PDO = ∠PEO=90°(垂直的定义) 在△PDO和△PEO中 ∠PDO = ∠PEO〔已证〕 ∠AOC = ∠BOC 〔〕 OP=OP 〔公共边〕 ∴ △PDO ≌ △PEO〔AAS〕
∴ PD=PE〔全等三角形的对应边相等〕
于是我们得角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的间隔 相等． 符号语言：
∵∠AOC=∠BOC, PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E.〔〕 ∴ PD=PE〔角的平分线上的点到角的两边的间隔 相等〕
【设计意图】展示符号语言的目的在于标准学生的书写过程，培养学生严谨的推理才能.
探究三 用角的平分线的性质解决简单问题 ●活动①
应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化．所以假设遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，我们可以直接利用性质解决问题．
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例1(1) 下面四个图中,点P都在∠AOB的平分线上,那么图形( )中PD＝PE.
A B C D 【知识点】角平分线的性质.
【思路点拨】利用角平分线的性质时，非常重要的条件是PD和PE是到角两边的间隔 .
【解答过程】选项A中假如增加一个条件OD＝OE，就能得出PD＝PE；选项B和C中PD不是到OA的间隔 ；选项D中P到OA和OB的间隔 为PD和PE. 【答案】D
(2)以下图中,PD⊥OA,PE⊥OB，垂足分别为点D、E，那么图中PD＝PE吗? 【知识点】角平分线的性质.
【思路点拨】没有告诉OC为∠AOB的平分线，由此PD与PE不相等. 【解答过程】PD与PE不相等，因为OC不是∠AOB的平分线.
〔3〕如图,△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，CD＝2cm，那么点D到AB的间隔 为 cm．
B【知识点】角平分线的性质. 【思路点拨】过D作AB的垂线段DE,垂足为E,由BD平分∠ABC，可得DC=DE=2. 【解答过程】解：过D作AB的垂线段DE,垂足为E, ∵BD平分∠ABC，CD⊥BC,DE⊥AB, ACD∴DC=DE ∵CD＝2cm， ∴DE=2cm，
即点D到AB的间隔 为2cm 【答案】2
B中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为点E，AC=7cm，练习：如图,△ABC
那么AD+DE= cm. 【知识点】角平分线的性质. 【思路点拨】由BD平分∠ABC，可得DC=DE, AD+DE=AD+DC=AC.
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ACD【解答过程】解：∵BD平分∠ABC，CD⊥BC,DE⊥AB, ∴DC=DE
∴AD+DE=AD+DC=AC. ∵AC=7cm, ∴AD+DE=7cm. 【答案】7
【设计意图】通过练习，理解角平分线的性质. ●活动 ②
例2如下图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路间隔 相等，离公路与铁路穿插处500m，这个集贸市场应建于何处〔在图上标出它的位置，比例尺为1:20 000〕？
【知识点】角平分线的性质 【思路点拨】
1．这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处．
2．在纸上画图时，我们经常以厘米为单位，而题中间隔 又是以米为单位，这就涉及一个单位换算问题了．1 m=100 cm，所以比例尺为1:20 000，其实就是图中1 cm表示实际间隔 200 m的意思．作图如下： 【答案】
第一步：尺规作图法作出∠AOB的平分线OP．
第二步：在射线OP上截取OC=2.5 cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了． 练习：在S区有一个贸易市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路，怎样修才能使路最短？它们有怎样的数量关系呢？
【知识点】角平分线的性质
【思路点拨】分别作公路和铁路的垂线段，这两条垂线段就是P点到公路和P 过PS 铁路的最短间隔 . 公路
【答案】过P点分别作铁路和公路的垂线段，它们的数量关系为相等. ●活动3
铁路
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例3如图,△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，F在BC上，AD=DF 求证：CF=EA
【知识点】角平分线的性质和三角形的断定和性质 【思路点拨】证CF和EA所在的两个三角形全等 【解答过程】
证明：∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E， ∴DC=DE 又∵AD=DF
∴△DCF≌△DEA〔HL〕 ∴CF=EA
练习：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC．
【知识点】角平分线的性质和全等三角形的断定
【思路点拨】利用角平分线的性质可得OD=OE，证明△BOD ≌ △COE可得OB=OC 【答案】证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，AO平分∠BAC， ∴OD=OE，∠BDO=∠CEO=90°． ∵∠BOD=∠COE， ∴△BOD ≌ △COE． ∴OB=OC． 3. 课堂总结
知识梳理〔以课堂内容为根据，结合教学目的的几点要求，对涉及到的知识细致梳理〕
〔1〕会用尺规作一个角的平分线，知道作法的理论根据； 〔2〕探究并证明角平分线的性质； 〔3〕能用角的平分线的性质解决简单问题.
重难点归纳〔本节课的中心知识点在此进展回忆，对课堂上的典型方法、特殊例题进展归纳点拨〕
〔1〕角的平分线的性质的探究. 〔2〕角的平分线的性质的证明及应用.
〔3〕证明线段相等通常证明线段所在的两个三角形全等.
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〔三〕课后作业 根底型 自主打破
1．如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD=4，那么点P到边OB的间隔 为〔 〕 A．4
B．3
C．3
D．1
【知识点】角平分线的性质
【思路点拨】因为PD⊥OA，PD=4，即P到OA的间隔 为4，P是∠AOB的平分线上一点，P到OA和OB的间隔 相等，所以P到边OB的间隔 为4. 【解答过程】解：过P做PE⊥OB于E, ∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA, PE⊥OB, ∴PD=PE=4
即P到OB的间隔 为4. 【答案】A
2 .如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，假设PA=5，那么PQ的最小值为 ．
【知识点】角平分线的性质和点到直线的间隔
【思路点拨】因为Q在OM上，当PQ⊥OM时，PQ的长度最小.
【解答过程】解：过P作OM的垂线段，垂足为B,因为PQ最小，那么B点与Q点重合，
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PQ⊥OM ∴PQ=PA=5. 【答案】5
3．如图，在△ABC中，CD是AB边上的高线，AE平分∠BAC，交CD于点E，AC=6，DE=3，那么△ACE的面积等于〔 〕 A．10 B．9
C．8
D．7
【知识点】角平分线的性质和三角形的面积公式
【思路点拨】过E点作AC的垂线EF,垂足为F，根据角平分线的性质可得EF=ED=3,那么△ACE的面积等于9.
【解答过程】解：过E作AC的垂线段EF垂足为F, ∵AE平分∠BAC，EF⊥AB,EF⊥AC,
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∴DE=EF ∵DE=3， ∴EF=3 又∵AC=6
1∴S△ACE=AC·EF=9
2【答案】B
4. 如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E， 那么〔1〕PD＝PE，〔2〕OD＝OE，〔3〕∠DPO＝∠EPO，〔4〕PD＝OD中正确的有〔 〕个. A．4 B．3 C．2 D．1 【知识点】角平分线的性质和三角形全等.
【思路点拨】由角平分线的性质可得PE=PD,易证△OPE≌△OPD(HL),所以OE=OD, ∠DPO＝∠EPO.
【解答过程】解：∵∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PE=PD, 即〔1〕正确 ∵PE=PD,OP=OP ∴△OPE≌△OPD(HL), ∴OE=OD, ∠DPO＝∠EPO. 即〔2〕〔3〕正确. 【答案】B
5．如图，在△ABC中，DC平分∠ACB，S△ACD: S△BCD=3:2，那么AC：BC=_________. 【知识点】角平分线的性质和三角形的面积.
【思路点拨】角平分线常常考虑在角平分线上找一个适宜的点，过这个点作角两边的垂线段.
【解答过程】解:过D点分别AC和BC作垂线段DE和DF,垂足为E和F, ∵DC平分∠ACB，DE⊥AB,DF⊥BC, ∴DE=DF 【答案】3:2
6．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC,AB＝4cm，AC=3cm，
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BC=5cm，那么△DCE的周长为________cm． 【知识点】角平分线的性质和三角形全等.
【思路点拨】根据角平分线的性质可得AD=DE,易证△ABD和△EBD全等，那么对应的边AB=EB,EC=BC-BE=BC-AB=1cm，DE+DC=AD+DC=AC=3cm. 【解答过程】 【答案】4 才能型 师生共研
1..如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，D到AB的间隔 为9， BD∶DC=5∶3．试求BC的长． 【知识点】角平分线的性质.
【思路点拨】过D作AB的垂线DE,垂足为E,根据角平分线的性质可得DC=DE, D到AB的间隔 为9,即DE=9,所以DC=9,因为BD∶DC=5∶3，所以BD=15,BC=24. 【解答过程】解：过D作AB的垂线DE,垂足为E, ∵AD平分∠BAC，DC⊥AC,DE⊥AB, ∴DC=DE
∵D到AB的间隔 为9， ∴DE=9 ∴DC=9
∵BD∶DC=5∶3， ∴DB=15 ∴BC=DC+DB=24.
2.通过学习我们已经知道三角形的三条内角平分线是交于一点的．如图，P是△ABC的内角平分线的交点，P点到AB边的间隔 为1，△ABC的周长为10，那么△ABC的面积为 ．
【知识点】角平分线的性质和三角形的面积公式. 【数学思想】等积法.
【思路点拨】利用割补法把△ABC分成△ABP、△BCP和△ACP，它们的高都为1 【解答过程】解：过P分别作AC,BC,AB的垂线段PG,PI,PH. ∵AP平分∠CAB， ∴PG=PH，
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同理可得：PG=PI,PI=PH ∴PG=PI=PH ∵PH=1 ∴PG=PI=PH=1
∵S△ABC= S△ACP +S△BCP +S△ABP 【答案】5 探究型 打破
1. 如图，∠AOB的平分线为OC，将三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上，使三角尺的两条直角边与∠AOB的两边分别相交于点E、F，试猜测PE、PF的大小关系，并说明理由．
【知识点】角平分线的性质和三角形全等.
【思路点拨】利用角平分线的性质构造PM和PN所在的两个三角形全等. 【解题过程】
解：PE=PF，理由如下：
过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足是M，N，那么∠PME=∠PNF=90°， ∵OP平分∠AOB， ∴PM=PN，
∵∠AOB=∠PME=∠PNF=90°， ∴∠MPN=90°，∵∠EPF=90°， ∴∠MPE=∠FPN， ∴△PEM≌△PFN， ∴PE=PF．
2.在△ABC中，∠C=900,AD平分∠BAC,AB=5,AC=4,BC=3,求BD长. 【知识点】角平分线的性质. 【数学思想】等积法.
【思路点拨】过D点作DE⊥AB于E,根据角平分线的性质可得DC=DE,由 S△ABC=S△ACD+S△ABD,可以求出DC=DE=【解题过程】
解：过D点作DE⊥AB于E
54，所以DB=BC-DC=. 33第 12 页
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC ∴DE=DC
∵S△ABC=S△ACD+S△ABD, ∴DE=DC=
4 35∴DB=BC-DC= 3自助餐：
1．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，AD＝2 cm，那么点D到BC的间隔 为________cm． 【知识点】角平分线的性质.
【思路点拨】过D作BC的垂线DE，垂足为E,由角平分线的性质可以AD=DE 【解答过程】解：过D作BC的垂线DE，垂足为E, ∵BD平分∠ABC，AD⊥AB，DE⊥BC， ∴AD=DE， ∵AD＝2 cm， ∴DE=2 cm，
即D到BC的间隔 为2cm 【答案】2
2．〔临沂市〕如图，OP平分AOB，PAOA，PBOB，垂足分别为A，B．以下结论中不一定成立的是〔 〕 A．PAPB
B．PO平分APB
C．OAOB D．AB垂直平分OP
【知识点】角平分线的性质和全等三角形的性质.
【思路点拨】由角平分线的性质可得AP=BP,易证△OPA△OPB(HL),所以OA=OB, PO平分APB.
【解答过程】∵ OP平分AOB，PAOA，PBOB， ∴PA=PB ∴A正确 ∵OP=OP,PA=PB,
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∴OA=OB,∠APO=∠BPO ∴B和C正确
AB⊥OP可以证明，但是AB平分OP无法证明. 【答案】D
3.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE⊥AB于点E，且AB=5 cm,那么△DEA的周长为( ) ． A.9 cm
B.6 cm
C.5 cm
D.不能确定
【知识点】角平分线的性质和全等三角形的性质.
【思路点拨】因为BD平分∠ABC，所以DC=DE，易证BC=BE，AD+DE+AE=AD+DC+AE=BC+AE=BE+AE=AB=5cm. 【解答过程】 【答案】C
4.如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，DC=BC，求∠ADC+∠ABC的度数． 【考点】全等三角形的断定与性质；角平分线的性质． 【数学思想】转化的数学思想.
【思路点拨】过C作CF⊥AB于F，CE⊥AD交AD延长线于E，根据角平分线性质求出CE=CF，，根据HL证Rt△DEC≌Rt△BFC，推出∠ABC=∠EDC即可． 【解答过程】
解：过C作CF⊥AB于F，CE⊥AD交AD延长线于E， 那么∠E=∠CFB=90°， ∵AC平分∠BAD， ∴CE=CF，
在Rt△DEC和Rt△BFC中 ∴Rt△DEC≌Rt△BFC〔HL〕， ∴∠ABC=∠EDC， ∵∠ADC+∠EDC=180°， ∴∠ADC+∠ABC=180°
5.如图，△ABC中，∠B=60°，∠BAC，∠ACB的平分线AD，CE交于点O，说明AE+CD=AC的理由．
【知识点】角平分线的定义；全等三角形的断定与性质；三角形内角和定理．
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【数学思想】转化的数学思想.
【思路点拨】在AC上取AF=AE，连接OF，即可证得△AEO≌△AFO，得∠AOE=∠AOF；再证得∠COF=∠COD，那么根据全等三角形的断定方法AAS即可证△FOC≌△DOC，可得DC=FC，即可得结论． 【解答过程】
证明：在AC上取AF=AE，连接OF， ∵AD平分∠BAC ∴∠EAO=∠FAO 那么△AEO≌△AFO〔SAS〕， ∴∠AOE=∠AOF； ∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB， ∴∠ECA+∠DAC=1〔180°-∠B〕=60°， 2那么∠AOC=180°-∠ECA-∠DAC=120°； ∴∠AOC=∠DOE=120°，∠AOE=∠COD=∠AOF=60°，〔对顶角相等〕 那么∠COF=60°， ∴∠COD=∠COF， 又∵∠FCO=∠DCO，CO=CO， ∴△FOC≌△DOC〔ASA〕， ∴DC=FC， ∵AC=AF+FC， ∴AC=AE+CD． 6．如图，AD∥BC， ∠DAB和∠ABC的平分线交于E， 过E的直线交AD于D， 交BC于C， 求证: DE=EC．
【知识点】角平分线的定义和全等三角形的综合应用. 【数学思想】转化的数学思想.
【思路点拨】构造DE或EC所在边的两个三角形全等〔构造一个三角形与△ADE全等或△BCE〕.
【解答过程】证明：在AB上截取AF=AD.∵AE是∠DAF的平分线() ∴∠DAE=∠FAE(角平分线定义)
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ADAF(已作)在△DAE和△FAE中，DAEFAE(已证)∴△DAE≌△FAE(SAS)
AEAE(公共边)∴DE=FE(全等三角形对应边相等)∴∠D=∠AFE(全等三角形对应角相等) ∵∠AFE+∠BFE=1800(邻补角定义)
又AD∥BC() ∴∠D+∠C=1800(两直线平行，同旁内角互补) ∴∠BFE=∠C(等角的补角相等)
∵BE是∠ABC的平分线()∴∠FBE=∠CBE(角平分线定义)
FBECBE(已证)在△FBE和△CBE中BFEC(已证)∴△FBE≌△CBE(AAS)
BEBE(公共边)∴FE=CE(全等三角形对应边相等) ∴DE=EC．
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