课时规范训练
[A级 基础演练]
x2y2
1．(2016·重庆渝中区一模)双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，双曲线C的
ab渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，△OAB(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝4x C．y2＝2x
D．y2＝43x
x2y2
解析：∵双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，∴双曲线C为等轴双曲线，
ab即a＝b，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.又∵双曲线C的渐近线与抛物线y2＝2px交于A，B两点，如图所示，设点A(x，y)，∴|OM|＝x，|AM|＝y.又∵△OAB的面积为xy＝4，∴x＝2，y＝2.又∵点A在抛物线上，∴22＝2p·2.解得p＝1，∴抛物线的方程为y2＝2x.故选C.
答案：C
1
2．(2015·高考课标卷Ⅰ)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物
2线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝( )
A．3 C．9
B．6 D．12
解析：抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，∴椭圆中c＝2， c1
又＝，∴a＝4，b2＝a2－c2＝12， a2x2y2
从而椭圆方程为＋＝1.
1612∵抛物线y2＝8x的准线为x＝－2， ∴xA＝xB＝－2，
将xA＝－2代入椭圆方程可得|yA|＝3， 由椭圆性质可知|AB|＝2|yA|＝6.故选B. 答案：B
x22
3．(2016·武汉质检)已知抛物线y＝4x的准线与双曲线2－y＝1(a>0)交于A，B两点，
a
2
F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则双曲线的离心率是( )
A.3 C．2
B.6 D．3
解析：依题意可知抛物线的准线为x＝－1，焦点为F(1,0)，由题意得(－1,2)在双曲线上，11
即2－4＝1，解得a2＝，所以e＝a5
答案：B
x2y24．(2014·高考上海卷)若抛物线y＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则该抛
95
2
65
＝6.故选B. 15
物线的准线方程为________．
x2y2p
解析：∵c＝9－5＝4，∴c＝2.∴椭圆＋＝1的右焦点为(2,0)，∴＝2，即p＝4.∴
952
2
抛物线的准线方程为x＝－2.
答案：x＝－2
5．动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1 相切，则动圆圆心的轨迹方程为__________． 解析：设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.
答案：y2＝4x
6.(2014·高考湖南卷)如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a＜b)，原b
点O为AD的中点，抛物线y2＝2px(p>0)经过C，F两点，则＝________.
a
解析：∵正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b，O为AD的中点， aa
，－a，F＋b，b. ∴C22
又∵点C，F在抛物线y2＝2px(p>0)上， a＝pa，b∴2解得＝2＋1. a＋b，ab＝2p2答案：2＋1
7．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.
2
(1)求抛物线的方程；
(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标；
pp
解：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－，于是4＋＝5，∴p＝2，∴抛物线方程为y2
22＝4x.
(2)∵点A的坐标是(4,4)， 由题意得B(0,4)、M(0,2)． 4
又F(1,0)，∴kAF＝. 33
∵MN⊥FA，∴kMN＝－ 44
故FA的方程为y＝(x－1)，①
33
MN的方程为y－2＝－x，②
484
联立方程①②，解得x＝，y＝.
5584∴N的坐标为5，5.
8．(2014·高考大纲全国卷)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y轴5
的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|.
4
(1)求C的方程；
(2)过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程．
8解：(1)设Q(x0,4)，代入y2＝2px得x0＝.
p8pp8
所以|PQ|＝，|QF|＝＋x0＝＋.
p22p
p858
由题设得＋＝×，解得p＝－2(舍去)或p＝2.
2p4p所以C的方程为y2＝4x.
(2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)． 代入y2＝4x，得y2－4my－4＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.
故AB的中点为D(2m2＋1,2m)，|AB|＝m2＋1|y1－y2|＝4(m2＋1)． 1
又l′的斜率为－m，所以l′的方程为x＝－y＋2m2＋3.
m4
将上式代入y2＝4x，并整理得y2＋y－4(2m2＋3)＝0.
m
4
设M(x3，y3)，N(x4，y4)，则y3＋y4＝－，y3y4＝－4(2m2＋3)．
m222
2＋2m＋3，－故MN的中点为Em， m|MN|＝
1
1＋2|y3－y4|＝m
2
＋m22m2＋1
.
1
由于MN垂直平分AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝|MN|，
22211
2m＋2＋2＋22＝从而|AB|2＋|DE|2＝|MN|2，即4(m2＋1)2＋mm44
2
＋
22
4＋
m
，化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1.所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.
[B级 能力突破]
1．(2015·高考四川卷)设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r＞0)相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是( )
A．(1,3) C．(2,3) 解析：如图，
B．(1,4) D．(2,4)
y21＝4x1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则2
y＝4x，22
两式相减得，
(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)．
当l的斜率k不存在时，符合条件的直线l必有两条．
y1＋y2y1－y2
当k存在时，x1≠x2，则有·＝2，又y1＋y2＝2y0，所以y0k＝2.
2x1－x2
y0－0
由CM⊥AB得k·＝－1，即y0k＝5－x0，因此2＝5－x0，x0＝3，即M必在直线x
x0－5＝3上．
将x＝3代入y2＝4x得y2＝12，则有－23222y20＝r，故r＝y0＋4<12＋4＝16.
又y20＋4>4(为保证有4条，在k存在时，y0≠0)，
所以4x2y22．(2016·日照模拟)已知抛物线y＝2px(p>0)的焦点F与双曲线－＝1的右焦点重合，
45
2
抛物线的准线与x轴的交点为K，点A在抛物线上，且|AK|＝2|AF|，则A点的横坐标为( )
A．22 C．23
B．3 D．4
ppp
，0，准线为x＝－，双曲线的右焦点为(3,0)，所以＝3，所解析：抛物线的焦点为222以p＝6，所以y2＝12x，过A作准线的垂线，垂足为M，图略，则|AK|＝2|AF|＝2|AM|，所以在Rt△AMK中，|KM|＝|AM|，设A(x，y)，则y＝x＋3，将其代入y2＝12x，解得x＝3.故选B.
答案：B
1
3．已知抛物线C的方程为x2＝y，过点A(0，－1)和点(t,3)的直线与抛物线C没有公
2共点，则实数t的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(1，∞) B．(－∞，－
22
)∪(，＋∞) 22
C．(－∞，－22)∪(22，＋∞) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
11
解析：如图，设过A的直线方程为y＝kx－1，与抛物线方程联立得x2－kx＋＝0，Δ
221
＝k2－2＝0，k＝±22，求得过A的抛物线的切线与y＝3的交点为(±2，3)，则当过点4A(0，－1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点，实数t的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)，故选D.
答案：D
4．已知抛物线y2＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，过A、B分别作y轴的垂线，垂足分别为C、D，则|AC|＋|BD|的最小值为__________．
解析：由题意知F(1,0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2，即|AC|＋|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值．依抛物线定义知当|AB|为通径，即|AB|＝2p＝4时，为最小值，
所以|AC|＋|BD|的最小值为2.
答案：2
5．(2016·武汉模拟)过抛物线y＝8x2的焦点作直线交抛物线于A，B两点，线段AB的中点M的纵坐标为2，则线段AB的长为________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4. 111又∵y＝8x2即x2＝y，∴2p＝，p＝，
8816∴|AB|＝y1＋y2＋p＝65
答案： 16
→＋2FB→6．(2016·厦门模拟)设F为抛物线y2＝4x的焦点，A、B为该抛物线上两点，若FA→|＋2|FB→|＝________. ＝0，则|FA
→＋2FB→＝0，得解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由焦点弦性质，y1y2＝－p2(*)，由题FAy21(x1－1，y1)＋2(x2－1，y2)＝(0,0)，∴y1＋2y2＝0，代入(*)式得－＝－p2，
2
p222→|＝x＋p＝3， ∴y1＝2p，∴x1＝＝2，∴|FA1
2
2
→|＝2|FB→|，∴2|FB→|＝3， 又∵|FA
→|＋2|FB→|＝6. ∴|FA答案：6
7．如图，过抛物线x2＝4y的对称轴上任一点P(0，m)(m＞0)作直线与抛物线交于A、B两点，点Q是点P关于原点的对称点．
65
. 16
→＝λPB→(λ为实数)，证明：QP→⊥(QA→－λQB→)； (1)设点P满足AP
(2)设直线AB的方程是x－2y＋12＝0，过A、B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程．
解：(1)证明：依题意，可设直线AB的方程为y＝kx＋m，代入抛物线方程x2＝4y，得：x2－4kx－4m＝0①
设A、B两点的坐标分别是(x1，y1)、(x2，y2)，则x1，x2是方程①的两根，
→＝λPB→(λ为实数，λ≠－1)，得x1＋λx2＝0，即λ＝－x1. 所以，x1x2＝－4m.由点P满足AP
x21＋λ
→＝(0,2m)． 又点Q是点P关于原点的对称点，故点Q的坐标是(0，－m)，从而QP→－λ·QB→＝(x，y＋m)－λ(x，y＋m)＝(x－λx，y－λy＋(1－λ)m)． QA11221212→·→－λQB→)＝2m[y－λy＋(1－λ)m] QP(QA12x1x1x2x1
＋1＋xm ＝2m4＋x·224
x1x2＋4m－4m＋4m→⊥(QA→－λQB→)． ＝2m(x1＋x2)·＝2m(x1＋x2)·＝0，所以QP
4x24x2
x－2y＋12＝0
(2)由2得点A、B的坐标分别是(6,9)，
x＝4y
2
2
(－4,4)． 由x2＝4y， 11得y＝x2，y′＝x，
42
所以，抛物线x2＝4y在点A处切线的斜率为y′|x＝6＝3. 设圆C的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2， b－91＝－3则a－6
－2＋
－
2
＝＋
2
＋－
2
323解得：a＝－，b＝，
22125
r2＝(a＋4)2＋(b－4)2＝.
2所以，圆C的方程是
x＋32＋y－232＝125. 222