题号 得分 一 二 三 总分 一、选择题（本大题共12小题，共36.0分） 1. 下列图形中，对称轴数量最多的是（ ）
A.
B.
C.
D.
2. 在学习三角形时，李峰同学发现可以折叠出三角形的高，他在折叠其中一个三角形
纸片时，只能折叠出一条高，这个纸片的形状是（ ）
A. 锐角三角形 C. 钝角三角形 B. 直角三角形
D. 直角三角形或钝角三角形
3. 如图，MQ为∠NMP的平分线，MP⊥NP，QT⊥MN，垂足分别为P，
T，下列结论不正确的是（ ） A. S△MNQ=12MN⋅PQ B. ∠MQT=∠MQP C. MT=MP
D. ∠NQT=∠MQT 3和5，那么这个三角形的周长可能是（ ） 4. 如果三角形的两边长分别为A. 9 B. 10 C. 15 D. 16
5. 在△ABC和△A1B1C1中，已知∠C=∠A1，∠B=∠B1，要使这两个三角形全等，还需要
条件（ ） A. AB=A1B1 B. AB=A1C1 C. CA=A1C1 D. ∠A=∠C1 6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，
BC=12，DB=13，点D到AB的距离是（ ） A. 5 B. 6 C. 4 D. 3 7. 小明同学先向北行进4千米，然后向东进4千米，再向北行进2千米，最后又向东行进一定距离，此时小明离出发点的距离是10千米，小明最后向东行进了（ ）
A. 3千米 B. 4千米 C. 5千米 D. 6千米 8. 若a，b，c是△ABC的三边，则化简|a-b-c|-|b-a-c|的结果是（ ）
A. 2a−2b B. 2b−2a C. 2c D. 0 9. 给出下列四个说法：
①由于0.3，0.4，0.5不是勾股数，所以以0.3，0.4，0.5为边长的三角形不是直角三角形；
②由于以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数；
222
③若a，b，c是勾股数，且c最大，则一定有a+b=c；
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④若三个整数a，b，c是直角三角形的三边长，则2a，2b，2c一定是勾股数，其中正确的是（ ）
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④
AB=AC，10. 如图，在△ABC中，∠A=40°，将△ABC沿CD折叠，
使点B落在边AC上的点E处，则∠ADE的度数是（ ）
A. 40∘ B. 30∘ C. 70∘ D. 60∘
11. 如图，大正方形是由边长为1的小正方形拼成的，A，
B，C，D四个点是小正方形的顶点，以其中三个点为顶点，可以构成直角三角形的个数是（ ） A. 2 B. 1 C. 4 D. 6 12. 如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，
AD=AE，点C，D，E在同一条直角形上，连接B、D和B，
E，下列四个结论： ①BD=CE； ②BD⊥CE；
③∠ACE+∠DBC=30°
222
④BE=2（AD+AB）
其中，正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分） 13. 在等腰三角形中，已知一个角为40°，那么另两个角的度数是______． 14. 如图，Rt△ABC的斜边AB的中垂线MN与AC交于点M，
∠A=15°，BM=4，则△AMB的面积为______．
15. 直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为______．
AB=AC，BD平分∠ABC，16. 如图，在等腰△ABC中，∠BDC=150°，则∠A的度数为______．
17. 如图，将一根长为20cm的筷子置于底面直径
为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，筷子露在杯子外面的长度为______cm．
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18. 如图，BD是△ABC边AC的中线，点E在BC上，BE=12EC，△AED的面积是3，
则△BED的面积是______．
三、解答题（本大题共7小题，共56.0分）
19. 如图，已知AB=AE，∠ABC=∠AED，BC=ED，点F是CD的中
点，连接A，F．AF与CD有怎样的关系？并说明理由．
20. 如图，△ABC中，AC的中垂线交AB，AC于点D，
E，点D是AB的中点，判断△ABC的形状，并写出
理由．
21. 如图，某开发区计划在一块四边形的空地ABCD上种
植草坪，已知∠A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，种植每平方米草皮的预算费用为300元，若草坪的保养费用占种植草皮总预算的4%，求草坪保养费用．
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22. 如图，在长方形ABCD（长方形四个角都是直角，并且
DC=5，对边相等）中，点E在DC上，沿AE折叠△ADE，
使D点与BC边上的点F重合，△ABF的面积是30，求DE的长．
23. 王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，
木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC=BC，∠ACB=90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．
24. 如图所示，点D，E是等边△ABC的BC，AC上的点，且
CD=AE，AD，BE相交于P点 （1）求∠BPQ的度数；
（2）若已知BQ⊥AD，PE=1，PQ=3，求AD的长度．
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25. 如图，AC、BC分别平分∠MAB和∠ABN，∠ACB=90°．
（1）AM和BN存在怎样的位置关系？并写出理由；
BN于点D，E．（2）过点C作一条直线，分别交AM、则
AB、AD、BE三者间具有怎样的数量关系？并写出理
由．
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答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
此题主要考查了轴对称图形，正确利用图形的性质得出是解题关键．分别得出各图形的对称轴条数进而得出答案． 【解答】
解：A.正方形的对称轴为4条，故此选项不合题意； B.正六边形的对称轴为6条，故此选项符合题意； C.该图形的对称轴为3条，故此选项不合题意； D.该图形的对称轴为4条，故此选项不合题意； 故选B． 2.【答案】D
【解析】
解：锐角三角形三条高都在三角形内部，所以，折叠三角形纸片时，能折叠出三条高，
直角三角形只有一条高在三角形内部，所以，折叠三角形纸片时，只能折叠出一条高，
钝角三角形只有一条高在三角形内部，所以，折叠三角形纸片时，只能折叠出一条高，
综上所述，这个纸片的形状是直角三角形或钝角三角形． 故选：D．
根据翻折变换的性质以及锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的高线的位置解答．
本题考查了翻折变换，三角形的高，熟记三角形的高在三角形的位置是解题的关键． 3.【答案】D
【解析】
解：∵MQ为∠NMP的平分线，MP⊥NP，QT⊥MN， ∴QT=QP，
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∴S△MNQ=MN•TQ=MN•PQ，A正确，不符合题意； 在Rt△MQT和Rt△MQP中，
，
∴Rt△MQT≌Rt△MQP，
∴∠MQT=∠MQP，MT=MP，B、C正确，不符合题意； ∠NQT不一定等于∠MQT，D错误，符合题意， 故选：D．
根据角平分线的性质得到QT=QP，根据三角形的面积公式判断A，证明Rt△MQT≌Rt△MQP，判断B、C、D．
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 4.【答案】C
【解析】
解：∵三角形的两边长为3和5，
∴第三边x的长度范围是5-3＜x＜5+3，即2＜x＜8，
∴这个三角形的周长a范围是2+5+3＜a＜5+3+8，即10＜a＜16， 故选：C．
根据三角形三边关系定理求出第三边的范围，得到三角形的周长的范围，判断即可．
本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 5.【答案】C
【解析】
解：A、AB=A1B1不是对应边，不能证明这两个三角形全等，故此选项错误； B、AB=A1C1不是对应边，不能证明这两个三角形全等，故此选项错误； C、CA=A1C1是对应边，可用AAS证明两个三角形全等，故此选项正确； D、∠A=∠C1，不能证明这两个三角形全等，故此选项错误； 故选：C．
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根据所给条件可知，应加一对对应边相等才可证明这两个三角形全等，即可得出结论．
本题考查三角形全等的判定；熟记全等三角形的判定方法是解决问题的关键． 6.【答案】A
【解析】
解：作DE⊥AB于E，
，BC=12，DB=13， ∵∠ACB=90°∴CD=
=5，
，DE⊥AB， ∵BD是∠ABC的平分线，∠ACB=90°∴DE=CD=5， 故选：A．
作DE⊥AB于E，根据勾股定理求出CD，根据角平分线的性质解答即可． 本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 7.【答案】B
【解析】
解：如图所示：由题意可得，AE=10km，AF=6km， 则在Rt△AFE中， EF=
=8（km），
∵BC=4km，则DE=8-4=4（km）， 故选：B．
根据题意画出图形，进而得出各边长，再利用结合勾股定理得出答案． 此题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意画出图形是解题关键． 8.【答案】B
【解析】
解：|a-b-c|-|b-a-c|=-a+b+c+b-a-c=2b-2a， 故选：B．
根据三角形两边之和大于第三边可得a-b-c＜0，b-a-c＜0，再利用绝对值的性
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质去绝对值合并同类项即可．
此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边． 9.【答案】C
【解析】
222
解：①由于0.3+0.4=0.5，所以以0.3，0.4，0.5为边长的三角形是直角三角形，
但是0.3，0.4，0.5不是整数，所以0.3，0.4，0.5不是勾股数，故①说法错误； ②虽然以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，但是0.5，1.2，1.3不是整数，所以0.5，1.2，1.3不是勾股数，故②说法错误；
222
③若a，b，c是勾股数，且c最大，则一定有a+b=c，故③说法正确；
④若三个整数a，b，c是直角三角形的三边长，则2a，2b，2c一定是勾股数，故④说法正确． 故选：C．
欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
222
此题考查了勾股数：满足a+b=c的三个正整数，称为勾股数．注意： 222
①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a+b=c，但是它们不是正整
数，所以它们不是勾股数．
②一组勾股数扩大相同的整数倍得到的三个数仍是一组勾股数． ③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…．
10.【答案】B
【解析】
解：∵AB=AC，∠A=40°，
-∠A）=（180°-40°）=70°， ∴∠B=（180°
∵△ABC沿CD折叠，点B落在边AC上的点E处， ， ∴∠CED=∠B=70°
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-40°=30°由三角形的外角性质得，∠ADE=∠CED-∠A=70°． 故选：B．
根据等腰三角形两底角相等求出∠B，再根据翻折的性质可得∠CED=∠B，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
本题考查了翻折变换的性质，等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，要注意折叠前后对应角相等． 11.【答案】A
【解析】
解：根据勾股定理，得
AB2=4+16=20，AC2=1+4=5，AD2=1+9=10，BC2=25，BD2=1+9=10，CD2=9+16=25，
根据勾股定理的逆定理，则可以构成直角三角形的有△ABC和△ABD，个数是2． 故选：A．
根据勾股定理分别求得每两个点之间的距离的平方，再进一步利用勾股定理的逆定理进行分析．
本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理，利用数形结合求解是解答此题的关键． 12.【答案】B
【解析】
解：①∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC， 即∠BAD=∠CAE． 在△ABD和△ACE中， ∵
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD=CE．故①正确；
∵△ABD≌△ACE， ∴∠ABD=∠ACE．
， ∵∠CAB=90°
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， ∴∠ABD+∠DBC+∠ACB=90°， ∴∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°
-90°=90°． ∴∠BDC=180°
∴BD⊥CE；故②正确；
，AB=AC， ③∵∠BAC=90°， ∴∠ABC=45°
． ∴∠ABD+∠DBC=45°
，故③错误； ∴∠ACE+∠DBC=45°
④∵BD⊥CE，
222∴BE=BD+DE．
，AB=AC，AD=AE， ∵∠BAC=∠DAE=90°
2222
∴DE=2AD，BC=2AB． 2222∵BC=BD+CD≠BD， 2222
∴2AB=BD+CD≠BD， 222
∴BE≠2（AD+AB）．故④错误，
故选：B．
①由条件证明△ABD≌△ACE，就可以得到结论；
而得出②由△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD=∠ACE，就可以得出∠BDC=90°结论；
，由∠DBC+∠ACE=90°，就可以得出结③由条件知∠ABC=∠ABD+∠DBC=45°论；
222
④△BDE为直角三角形就可以得出BE=BD+DE，由△DAE和△BAC是等腰22222222
直角三角形就有DE=2AD，BC=2AB，就有BC=BD+CD≠BD就可以得
出结论．
本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，垂直的性质和判定的应用，等腰直角三角形的性质的应用，勾股定理的应用，能利用全等三角形的性质和判定求解是解此题的关键．
，70°或40°，100°13.【答案】70°【解析】
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-40°140°=70°解：①40°角是顶角时，底角=（180°）=×， 另两个角为70°，70°；
-40°×2=100°角是底角时，顶角为180°， ②40°
另两个角为40°，100°，
所以，另两个角度数为70°，70°或40°，100°． 故答案为：70°，70°或40°，100°．
分40°角是顶角与底角两种情况讨论求解即可．
本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论． 14.【答案】4
【解析】
解：∵MN垂直平分线线段AB， ∴MB=MA=4，
， ∴∠A=∠MBA=15°
， ∴∠BMC=∠A+∠MBA=30°
，BM=4， ∵∠C=90°∴BC=BM=2， 4×2=4． ∴S△BMC=×故答案为4．
利用线段的垂直平分线的性质证明AM=BM=4，∠BMC=30°，求出BC即可解决问题；
本题考查线段的垂直平分线的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 15.【答案】6013
【解析】
222
解：由勾股定理可得：斜边长=5+12，
则斜边长=13，
5×12=×13×直角三角形面积S=×斜边的高， 可得：斜边的高=
．
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故答案为：．
本题可先用勾股定理求出斜边长，然后再根据直角三角形面积的两种公式求解即可．
本题考查勾股定理及直角三角形面积公式的综合运用，看清题中条件即可．
16.【答案】140°【解析】
解：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠ABC， ∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
-2∠ABC， ∴∠A=180°
， ∵∠BDC=∠A+∠ABD=150°-2∠ABC+∠ABC=150°， ∴180°， ∴∠ABC=20°
． ∴∠A=140°故答案为：140°．
由角的平分线的性质得到∠ABD=∠ABC，则根据等边对等角得到
∠ABC=∠ACB，再由三角形的内角和定理建立方程，求得∠ABC的度数，进而求得∠A的度数．
本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，三角形内角和定理．找着各角的关系利用三角形内角和定理求解是正确解答本题的关键． 17.【答案】7
【解析】
解：由题意可得： 杯子内的筷子长度为：
=13（cm），
则筷子露在杯子外面的筷子长度为：20-13=7（cm）． 故答案为：7．
根据题意直接利用勾股定理得出杯子内的筷子长度，进而得出答案． 此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的长是解决问题的关键．
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18.【答案】1.5
【解析】
【分析】
本题考查了三角形面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=×底×高；三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．利用三角形面积公式，等高的三角形的面积比等于底边的比，则S△AEC=2S△AED=6，S△AEC=S△ABC=6，S△BDC=S△ABC，S△EDC=S△AED=3，然后利用S△BED=S△BDC-S△EDC即可得到答案． 【解答】
解：∵BD是△ABC边AC的中线，△AED的面积是3， ∴S△EDC=S△AED=3，S△AEC=2S△AED=6， ∵BE=EC， ∴S△AEC=S△ABC=6， ∴S△ABC=9，
∴S△BDC=S△ABD=S△ABC=4.5， ∴S△BED=S△BDC-S△EDC=4.5-3=1.5． 故答案为1.5．
19.【答案】解：AF⊥CD，理由如下：
连接AC、AD，如图所示：
在△ABC和△AED中，AB=AE∠ABC=∠AEDBC=ED， ∴△ABC≌△AED（SAS）， ∴AC=AD，
∵F是CD的中点，
∴AF⊥CD（三线合一）． 【解析】
连接AC、AD，先由SAS证明△ABC≌△AED，得出对应边相等AC=AD，再由F是CD的中点，根据等腰三角形的三线合一性质即可得出结论． 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定与性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
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20.【答案】解：△ABC是直角三角形，
理由：连接CD，
∵AC的中垂线交AB，AC于点D，E， ∴CD=AD， ∴∠DCE=∠A，
∵点D是AB的中点， ∴BD=AD， ∴CD=BD， ∴∠BCD=∠B，
∵∠DCA+∠A+∠BCD+∠B=180°， ∴∠BCD+∠DCA=90°， 即∠ACB=90°，
∴△ABC是直角三角形． 【解析】
连接CD，根据线段垂直平分线的性质得到CD=AD，由等腰三角形的性质得到∠DCE=∠A，∠BCD=∠B，于是得到即∠ACB=90°，于是得到结论． 本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握性质垂直平分线的性质是解题的关键． 21.【答案】解：连接BD，
∵AB=4m，DA=3m，∠A=90°，∴BD=5m， 又∵CD=12m，BC=13m，
222∴BD+CD=BC， ∴∠BDC=90°，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=6+30=36． 36×300×4%=432（元）， 答：草坪保养费用432元． 【解析】
连接BD，首先根据勾股定理求得BD的长，再根据勾股定理的逆定理判定，求出四边形ABCD的面积即可解决问题； ∠BDC=90°
本题综合运用勾股定理以及勾股定理的逆定理．注意不规则四边形的面积可以运用分割法求解．
22.【答案】解：∵AB=DC=5（长方形对边相等），△ABF的面积是30，
∴12BF•AB=30，
5=30， 即12BF×
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解得BF=12，
在Rt△ABF中，由勾股定理得，AF=AB2+BF2=52+122=13， ∵点E在DC上，沿AE折叠△ADE，D点与BC边上的点F重合， ∴AD=AF=13， 又∵BC=AD=13，
∴CF=BC-BF=13-12=1，
设DE=x，则EF=DE=x，CE=CD-DE=5-x，
222
在Rt△CEF中，由勾股定理得，CE+CF=EF，
222
即（5-x）+1=x， 解得x=2.6， 所以，DE=2.6． 【解析】
根据长方形的对边相等求出AB，根据△ABF的面积列方程求出BF，再利用勾股定理列式求出AF，根据翻折变换的性质可得AD=AF，再求出BC，从而得到CF，设DE=x，表示出EF、CE，然后在Rt△CEF中，利用勾股定理列方程求解即可．
本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，矩形的性质，此类题目，利用勾股定理列出方程是解题的关键．
AC=BC，AD⊥DE，【答案】解：由题意得：∠ACB=90°，23.
BE⊥DE，
∴∠ADC=∠CEB=90°， ∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°， ∴∠BCE=∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
∠ADC=∠CEB∠DAC=∠BCEAC=BC， ∴△ADC≌△CEB（AAS）；
由题意得：AD=EC=6cm，DC=BE=14cm， ∴DE=DC+CE=20（cm），
答：两堵木墙之间的距离为20cm． 【解析】
根据题意可得AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到，再根据等角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，再证明∠ADC=∠CEB=90°
△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性质进行解答．
此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．
24.【答案】解：（1）∵等边△ABC，
∴AB=AC，∠BAE=∠ACD=60°，
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在△ABE和△ADC中，
CD=AE∠ACD=∠BAEAC=AB， ∴△ABE≌△ADC（SAS）， ∴∠CAD=∠ABE，BE=AD，
∵∠APE=∠ABE+∠BAD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°， ∴∠BPQ=∠APE=∠BAC=60°， 即∠BPQ的度数为60°， （2）∵BQ⊥AD，
在Rt△BPQ中，∠BPQ=60°， ∴∠PBQ=30°， ∴PB=2PQ=6， ∵PE=1，
∴PE=6+1=7， ∴AD=7． 【解析】
（1）根据SAS即可证得△ABE≌△ADC，得出∠CAD=∠ABE，BE=AD，从而求进而得出∠PBQ=30°得∠BPD=∠APE=∠BAC=60°，进而得出∠BPQ的度数； （2）在Rt△BPQ中，根据30°的直角三角形的性质即可求得BP的长，最后计BE的长即可得出结论．
本题考查了等边三角形各内角为60°的性质，全等三角形的判定等，解题时注意：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，全等三角形对应角相等，求证∠APE=∠BAC是解题的关键． 25.【答案】解：（1）AM∥BN，
∵∠ACB=90°，AC，BC分别为∠MAB、∠NBA的平分线，
∴∠ABC+∠CAB=12（∠MAB+∠ABN）=90°， ∴∠MAB+∠ABN=180°， ∴AM∥BN；
（2）过C点作辅助线CF使其平行于AM，
∵AM∥BN，CF∥BC， ∴CF∥AD∥BC，
∴∠ACF=∠DAC，∠BCF=∠CBE， ∵∠FAC=∠DAC，∠FBC=∠CBE， ∴∠ACF=∠FAC，∠BCF=∠FBC，
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∴AF=FC=FB，
∴F为AB的中点，又EF∥AD∥BC，
根据平行线等分线段定理得到E为DC中点， ∴DC=EC，
∵CF为梯形ABED中位线， ∴AD+BE=2CF， ∵AF=FE=FB， ∴AD+BE=AB． 【解析】
（1）由角平分线的性质不难得出∠MAB+∠ABN=180°，根据平行线的判定定理即可得到结论；
（2）过C点作辅助线CF使其平行于AM，由平行线的性质可得出各角之间的关系，进一步求出边之间的关系．
本题考查了角平分线的定义，平行线的判定和性质，梯形的中位线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
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