人教版高中数学A版必修4习题 1.4.2.1正弦函数、余弦函数的周期性

(本栏目内容，在学生用书中以形式分册装订！)

一、选择题(每小题5分，共20分) 1．下列函数是以π为周期的是( ) A．y＝sin x C．y＝2cos 2x＋1

B．y＝cos x＋2 D．y＝sin 3x－

2

解析： 对于A，B，函数的周期为2π，对于C，函数的周期是π，对于D，函数的周期是π，

3故选C.

答案： C

π

2．(2014·陕西卷)函数f(x)＝cos2x－的最小正周期是( )

6π

A. 2C．2π

B．π D．4π

2π2π

解析： T＝＝＝π，故B正确．

|ω|2答案： B 3．函数y＝sinA．奇函数 C．非奇非偶函数

2 011解析： y＝sin2π－2 010x ＝sin

π

－2 010x＋1 005π 2

2 011

π－2 010x是( ) 2

B．偶函数

D．既是奇函数又是偶函数

π

＝－sin－2 010x＝－cos 2 010x，

2所以为偶函数． 答案： B

4．下列函数中是奇函数且最小正周期为π的函数是( ) x

A．y＝sin 4π

C．y＝cos2x＋

2

π

B．y＝sin2x＋

2x

D．y＝cos 4

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π

解析： 因为y＝cos2x＋＝－sin 2x，

2

2ππ

所以y＝cos2x＋是奇函数，且T＝＝π，所以C正确．

22答案： C

二、填空题(每小题5分，共15分)

5．函数f(x)是以2为周期的函数，且f(2)＝2，则f(6)＝________． 解析： f(6)＝f(4＋2)＝f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＝2. 答案： 2

（1－x）π

6．函数y＝cos的最小正周期是________．

2（1－x）πππ

解析： y＝cos＝cos－x＋

222πππ

＝cos－x＝sin x.

2222π

所以最小正周期为T＝＝4.

π2答案： 4

2ππ

7．函数f(x)＝3cosωx－(ω＞0)的最小正周期为，则f(π)＝________．

332π2π

解析： 由已知＝得ω＝3，

3ωπ

∴f(x)＝3cos3x－，

3

ππ

∴f(π)＝3cos3π－＝3cosπ－

33π3

＝－3cos＝－.

323

答案： － 2

三、解答题(每小题10分，共20分) 8．判断下列函数的奇偶性． π

(1)f(x)＝cos＋2xcos(π＋x)；

2(2)f(x)＝1＋sin x＋1－sin x. 解析： (1)x∈R， π

f(x)＝cos＋2xcos(π＋x)

2

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＝－sin 2x·(－cos x)＝sin 2xcos x. ∴f(－x)＝sin(－2x)cos(－x) ＝－sin 2xcos x＝－f(x)． ∴该函数f(x)是奇函数．

(2)对任意x∈R，－1≤sin x≤1， ∴1＋sin x≥0，1－sin x≥0.

∴f(x)＝1＋sin x＋1－sin x的定义域为R. ∵f(－x)＝1＋sin（－x）＋1－sin（－x） ＝1－sin x＋1＋sin x＝f(x)， ∴该函数是偶函数．

11

9．已知函数y＝sin x＋|sin x|，

22(1)画出函数的简图；

(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期． 11

解析： (1)y＝sin x＋|sin x|＝

22

sin x，x∈[2kπ，2kπ＋π]（k∈Z），

 0，x∈[2kπ－π，2kπ]（k∈Z），

图象如图所示：

(2)由图象知该函数是周期函数，且周期是2π. 能力测评

10．函数f(x)＝sin(2x＋φ)为R上的奇函数，则φ的值可以是( ) πA. 4C．π

πB. 23πD. 2

解析： 要使函数f(x)＝sin(2x＋φ)为R上的奇函数，需φ＝kπ，k∈Z.故选C. 答案： C

cos x，－π≤x＜0，

3π211．若函数f(x)的定义域为R，最小正周期为，且满足f(x)＝则2

sin x，0≤x＜π，

15πf－＝________．

4

3π15π15π3π解析： ∵T＝，∴f－＝f－＋×3

2442

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＝f

3π3π2＝sin ＝.

4242 2

答案：

5π

π，3π时，12．已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈0，时，f(x)＝1－sin x，求当x∈22f(x)的解析式．

5ππ

π，3π时，3π－x∈0，，因为x∈0，时，f(x)＝1－sin x，所以f(3解析： x∈222π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sin x．又f(x)是以π为周期的偶函数，

所以f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，

5

π，3π. 所以f(x)的解析式为f(x)＝1－sin x，x∈2

3πππ

13．有两个函数f(x)＝asinkx＋，g(x)＝bcos2kx－(k>0)，它们的最小正周期之和为，233ππππ

且f＝g，f＝－3·g＋1，求k，a，b.

22442π2π3π解析： 由题意知＋＝，

k2k2π

所以k＝2，所以f(x)＝asin2x＋，

3π

g(x)＝bcos4x－.

3

ππ

π＋＝bcos2π－，asin33

由已知得方程组

πππasin2＋3＝－3bcosπ－3＋1，1a＝b，－23a＝12，2

即解得

313

2a＝2b＋1，b＝－2.13

所以k＝2，a＝，b＝－. 22

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