月考数学试卷（10月份）
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分，每小题给出的四个选项中有且只有一个选项是正确的） 1．﹣8的相反数是（ ） A．﹣8
B．8
C．
D．
2．在﹣，0，，﹣1这四个数中，最小的数是（ ） A．﹣
B．0
C．
D．﹣1
3．北京的故宫占地面积约为720000平方米，数据720000用科学记数法表示为（ ）A．0.72×104
B．7.2×105
C．72×105
D．7.2×106
4．a表示有理数，则﹣a一定是（ ） A．负数 B．正数
C．正数或负数
D．正数、负数或零
5．某市一天的最高气温为2℃，最低气温为﹣8℃，那么这天的最高气温比最低气温高（ A．﹣10℃
B．﹣6℃
C．10℃
D．6℃
6．下列说法正确的是（ ） A．一个数的绝对值一定比0大 B．倒数等于它本身的数是±1
C．绝对值等于它本身的数一定是正数 D．一个数的相反数一定比它本身小 7．下列各对数中，数值相等的是（ ） A．（﹣2）3和﹣2×3 B．23和32 C．（﹣2）3和﹣23
D．﹣32和（﹣3）2
8．在数轴上，与表示﹣1的点的距离等于2的点为（ ） A．1
B．﹣3
C．±1
D．﹣3和1
9．已知下列一组数：
，则第n个数为（ ）
A． B． C． D．
）10．已知a、b为非零有理数，下列说法： ①若a、b互为相反数，则＝﹣1； ②若a+b＜0，ab＜0，则|a+b|＝|a|+|b|； ③若|a|＞|b|，则（a+b）•（a﹣b）是正数． 其中正确的是（ ） A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
11．如果把一个物体向右移动3m记作+3m，那么把这个物体向左移动2m记作 ． 12．﹣2的倒数是 ．
13．绝对值小于2021的所有的整数的和是 ．
14．比较大小：﹣ ﹣0.7（选填“＞”“＜”“＝”）． 15．若|x﹣3|+（y+2）2＝0，则x﹣y＝ ．
16．有理数a向左移动4个单位得到a的相反数，则a的值是 ．
17．b是最小的正整数，c是绝对值最小的数， 已知a是最大的负整数，则（a+c）÷b＝ ．18．观察下列等式：81＝8，82＝，83＝512，84＝4096，85＝32768，…，则82021的末位数字是 ．
三、解答题（本大题共7题，满分76分）
19．（1）把下列各有理数填在相应的表示集合的括号内 ﹣1，﹣，﹣|﹣3|，0，
，﹣0.3，1.7，﹣（﹣2）．
整数：（ …）；非负整数：（ …）；正数：（ …）；
（2）画一条数轴，将（1）中的整数在数轴上表示出来． 20．（1）计算：（2）计算：
．
；
21．出租司机小李某段时间是在东西走向的大街上进行营运，规定向东为正，向西为负，他所接送的七位乘客的里程如下：（单位：千米） ﹣2，+5.5，﹣1，+2，﹣7，﹣3.8，﹣1．
（1）将最后一位乘客送到目的地时，小李处在第一次出发时的什么位置？
（2）若小李这段时间共耗油3升，则出租车的耗油量是每千米多少升？（精确到0.01升）
（3）小李预计每月行驶里程为0.8万千米，若每升油的价格为6.5元，那么小李每月在油耗方面需要多少元？
22．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：
，我们将上述计算过程倒过来，得到
，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于
项的方法变形为：（1）猜想并写出：
．类比上述方法，解决以下问题．
＝ ．
可以用裂
（2）探究并计算下列各式： ①②
23．观察下列三行数：
+1、+3、+5、+7、+9、+11、……① ﹣2、0、+2、+4、+6、+8、……② ﹣2、+6、﹣10、+14、﹣18、+22、……③
（1）第①行第10个数是 ，第②行第11个数是 ，第③行第12个数是 ．
（2）在第②行中，是否存在三个连续数，其和为2022？若存在，求这三个数；若不存在，说明理由；
（3）若在每行取第n个数，这三个数的和为793，求n的值．
24．同学们知道，|a|是数轴上表示数a的点与原点的距离，|a|＝|a﹣0|，那么|a﹣2|就是数轴上表示数a的点与表示数2的点之间的距离． （1）|a﹣3|＝5，则a的值为 ；
（2）若a为整数，且|a+1|+|a﹣2|＝3，则a的值为 ； （3）若|a+4|+|a﹣3|＝8，求a的值．
25．数轴上A、B两点对应的数分别为a、b，且a、b满足|a+2|+（b﹣6）2＝0．AB表示点
；
．
A与点B之间的距离．
（1）求A、B两点之间的距离；
（2）若点A、B同时出发在数轴上运动，速度都是1个单位长度/秒，点A向右运动，点B向左运动，设经过t秒时AB＝2，求t的值；
（3）O为原点，点A、B同时出发，在数轴上运动，分别以2个单位长度/秒和3个单位长度/秒的速度运动．设经过t秒时，点A到达点P，点B到达点Q．当点P、Q到原点O的距离相等时（即PO＝QO），求t的值．
参
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分，每小题给出的四个选项中有且只有一个选项是正确的） 1．﹣8的相反数是（ ） A．﹣8
B．8
C．
D．
【分析】直接根据相反数的定义进行解答即可．
解：由相反数的定义可知，﹣8的相反数是﹣（﹣8）＝8． 故选：B．
2．在﹣，0，，﹣1这四个数中，最小的数是（ ） A．﹣
B．0
C．
D．﹣1
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 解：根据有理数大小比较的法则，可得 ﹣1＜﹣
，
所以在﹣，0，，﹣1这四个数中，最小的数是﹣1． 故选：D．
3．北京的故宫占地面积约为720000平方米，数据720000用科学记数法表示为（ ） A．0.72×104
B．7.2×105
C．72×105
D．7.2×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 解：将720000用科学记数法表示为7.2×105元． 故选：B．
4．a表示有理数，则﹣a一定是（ ） A．负数 C．正数或负数
B．正数
D．正数、负数或零
【分析】根据相反数的意义，可得答案．
解：a表示有理数，则﹣a可能是负数、零、正数， 故选：D．
5． 某市一天的最高气温为2℃，最低气温为﹣8℃，那么这天的最高气温比最低气温高（ ）A．﹣10℃
B．﹣6℃
C．10℃
D．6℃
【分析】用最高温度减去最低温度，然后根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解． 解：2﹣（﹣8） ＝2+8 ＝10（℃）． 故选：C．
6．下列说法正确的是（ ） A．一个数的绝对值一定比0大 B．倒数等于它本身的数是±1
C．绝对值等于它本身的数一定是正数 D．一个数的相反数一定比它本身小
【分析】根据倒数的意义，绝对值的性质，相反数的意义，可得答案． 解：A、0的绝对值等于零，故A错误； B、倒数等于它本身的数是±1，故B正确；
C、绝对值等于它本身的数一定是非负数，故C错误； D、0等相反数等于零，故D错误； 故选：B．
7．下列各对数中，数值相等的是（ ） A．（﹣2）3和﹣2×3 C．（﹣2）3和﹣23
B．23和32 D．﹣32和（﹣3）2
【分析】根据有理数的乘方、有理数的乘法解决此题．
解：A．根据有理数的乘方，（﹣2）3＝﹣8．根据有理数的乘法，﹣2×3＝﹣6，得（﹣2）3≠﹣2×3，那么A不符合题意．
B．根据有理数的乘方，23＝8，32＝9，得23≠32，那么B不符合题意．
C．根据有理数的乘方，（﹣2）3＝﹣8，﹣23＝﹣8，得（﹣2）3＝﹣23，那么C符合题
意．
D．根据有理数的乘方，﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9，得﹣32≠（﹣3）2，那么D不符合题意． 故选：C．
8．在数轴上，与表示﹣1的点的距离等于2的点为（ ） A．1
B．﹣3
C．±1
D．﹣3和1
【分析】分在﹣1的左边和右边两种情况讨论，即可得出结果． 解：当点在表示﹣1的点的左边时，该点为：﹣1﹣2＝﹣3， 当点在表示﹣1的点的右边时，该点为：﹣1+2＝1， 故选：D． 9．已知下列一组数：
，则第n个数为（ ）
A． B． C． D．
【分析】观察数据得到第一个数为，第二个数为，第三个数为
，…，即每个数的分母为这个数序号的平方，分子等于序号的2倍减1，于是得
到第n个数为解：第一个数为第二个数为第三个数为第四个数为…
所以第n个数为故选：C．
10．已知a、b为非零有理数，下列说法： ①若a、b互为相反数，则＝﹣1； ②若a+b＜0，ab＜0，则|a+b|＝|a|+|b|；
． ， ， ， ．
，
③若|a|＞|b|，则（a+b）•（a﹣b）是正数． 其中正确的是（ ） A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
【分析】根据相反数的定义判断①；举特殊数判断②③． 解：a，b为非零有理数，a，b互为相反数，a＝﹣b，＝
＝﹣1，故①符合题意；
当a＝﹣2，b＝1时，|a+b|＝1，|a|+|b|＝3，故②不符合题意；
当a＝﹣2，b＝1时，（a+b）•（a﹣b）＝（﹣1）×（﹣3）＞0，故③符合题意； ∴正确的是①③， 故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
11．如果把一个物体向右移动3m记作+3m，那么把这个物体向左移动2m记作 ﹣2m ． 【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，向右移动记为正，可得向左移动的表示方法．
解：一个物体向右移动3m记作+3m，那么这个物体向左移动2m记作﹣2m， 故答案为：﹣2m． 12．﹣2的倒数是
．
【分析】根据倒数定义可知，﹣2的倒数是﹣． 解：﹣2的倒数是﹣．
13．绝对值小于2021的所有的整数的和是 0 ．
【分析】找出绝对值小于2021的所有的整数，相加即可得到结果． 解：绝对值小于2021的所有的整数有±2020，±2019，…，±2，±1，0， 0+1﹣1+2﹣2+…+2020﹣2020＝0 故答案为：0．
14．比较大小：﹣ ＜ ﹣0.7（选填“＞”“＜”“＝”）． 【分析】两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 解：∵|
|＝0.75，|﹣0.7|＝0.7，0.75＞0.7，
∴﹣＜﹣0.7．
故答案为：＜．
15．若|x﹣3|+（y+2）2＝0，则x﹣y＝ 5 ．
【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 解：由题意得，x﹣3＝0，y+2＝0， 解得x＝3，y＝﹣2，
所以，x﹣y＝3﹣（﹣2）＝3+2＝5． 故答案为：5．
16．有理数a向左移动4个单位得到a的相反数，则a的值是 2 ． 【分析】a向左移动4个单位后表示的数是a﹣4，可列方程解答． 解：根据题意可得：a﹣4＝﹣a， 解得a＝2， 故答案为：2．
17．已知a是最大的负整数，b是最小的正整数，c是绝对值最小的数，则（a+c）÷b＝ ﹣1 ．
【分析】根据a是最大的负整数，b是最小的正整数，c是绝对值最小的数，可以得到a、b、c的值，然后即可求得所求式子的值．
解：∵a是最大的负整数，b是最小的正整数，c是绝对值最小的数， ∴a＝﹣1，b＝1，c＝0， ∴（a+c）÷b ＝（﹣1+0）÷1 ＝（﹣1）÷1 ＝﹣1， 故答案为：﹣1．
18．观察下列等式：81＝8，82＝，83＝512，84＝4096，85＝32768，…，则82021的末位数字是 8 ．
【分析】根据已知算式得出规律，根据得出的规律得出选项即可． 解：∵81＝8，82＝，83＝512，84＝4096，85＝32768，…， 又∵2021÷4＝505……1， 所以82021的末位数字是8， 故答案为：8．
三、解答题（本大题共7题，满分76分）
19．（1）把下列各有理数填在相应的表示集合的括号内 ﹣1，﹣，﹣|﹣3|，0，
，﹣0.3，1.7，﹣（﹣2）．
整数：（ ﹣1，﹣|﹣3|，0，﹣（﹣2） …）；非负整数：（ 0，﹣（﹣2） …）；正数：（
，1.7，﹣（﹣2） …）；
（2）画一条数轴，将（1）中的整数在数轴上表示出来． 【分析】（1）根据有理数的分类，把数正确分类即可； （2）选出所给有理数中的整数，在数轴上表示出来即可． 解：（1）整数：（﹣1，﹣|﹣3|，0，﹣（﹣2）…）， 非负整数：（0，﹣（﹣2）…）， 正数：（
，1.7，﹣（﹣2）…），
，1.7，﹣（﹣2）；
故答案为：﹣1，﹣|﹣3|，0，﹣（﹣2）；0，﹣（﹣2）；（2）整数有：﹣1，﹣|﹣3|，0，﹣（﹣2）， 在数轴上表示为：
20．（1）计算：（2）计算：
．
；
【分析】（1）直接利用有理数的混合运算法则，先算乘方再算乘除后算加减化简，进而得出答案；
（2）直接利用乘法分配律化简，再利用有理数的加减运算法则计算得出答案． 解：（1）原式＝4﹣3÷（﹣3）+（﹣8）× ＝4+1﹣4 ＝1；
（2）原式＝﹣9﹣（﹣
+
）×（﹣42）
＝﹣9﹣[×（﹣42）﹣＝﹣9﹣（﹣14+22﹣9） ＝﹣9﹣（﹣1） ＝﹣9+1 ＝﹣8．
×（﹣42）+×（﹣42）]
21．出租司机小李某段时间是在东西走向的大街上进行营运，规定向东为正，向西为负，他所接送的七位乘客的里程如下：（单位：千米） ﹣2，+5.5，﹣1，+2，﹣7，﹣3.8，﹣1．
（1）将最后一位乘客送到目的地时，小李处在第一次出发时的什么位置？
（2）若小李这段时间共耗油3升，则出租车的耗油量是每千米多少升？（精确到0.01升）
（3）小李预计每月行驶里程为0.8万千米，若每升油的价格为6.5元，那么小李每月在油耗方面需要多少元？
【分析】（1）根据有理数的加法，可得答案； （2）根据单位耗油量＝耗油量÷行驶路程，可得答案． （3）单位耗油量×行驶里程×每升价格可得答案． 解：（1）﹣2+5.5﹣1+2﹣7﹣3.8﹣1＝﹣7.3，
答：将最后一位乘客送到目的地时，小李处在第一次出发时西边7.3千米处；
（2）2+5.5+1+2+7+3.8+1＝22.3（千米）， 3÷22.3≈0.13（升/千米），
答：出租车的耗油量是每千米0.13升；
（3）0.13×8000×6.5＝6760元， 答：小李每月在油耗方面需要6760元．
22．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：
，我们将上述计算过程倒过来，得到
，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于
项的方法变形为：（1）猜想并写出：
＝
．类比上述方法，解决以下问题． ．
可以用裂
（2）探究并计算下列各式： ①②
；
．
【分析】（1）根据题意和题目中的例子，可以解答本题； （2）①根据题目中的例子和式子的特点，可以求得所求式子的值； ②根据题目中的例子和式子的特点，可以求得所求式子的值． 解：（1）故答案为：（2）①＝1﹣+＝1﹣＝②＝﹣×（＝﹣×（＝﹣×＝﹣
．
）
+…+
；
）
+…+
＝；
，
23．观察下列三行数：
+1、+3、+5、+7、+9、+11、……① ﹣2、0、+2、+4、+6、+8、……② ﹣2、+6、﹣10、+14、﹣18、+22、……③
（1）第①行第10个数是 19 ，第②行第11个数是 18 ，第③行第12个数是 46 ．
（2）在第②行中，是否存在三个连续数，其和为2022？若存在，求这三个数；若不存在，说明理由；
（3）若在每行取第n个数，这三个数的和为793，求n的值．
【分析】（1）根据题意可知第①行第n个数为（2n﹣1），第②行的每个数均比第一行 相应位置的数小3，第③行的每个数均为第一行相应位置数的2×（﹣1）n倍，据此可得；（2）根据第①行中的规律找到第②行的规律列出方程，即可得答案；
（3）由（1）知，第①行第n个数为（2n﹣1），第②行第n个数为（2n﹣1）﹣3，第③行第n个数为（﹣1）n（4n﹣2），根据三个数的和为793可知n为偶数列出方程，解之可得n．
解：（1）根据题意可知第①行第n个数为（2n﹣1）， ∴第10个数是2×10﹣1＝19； 第②行第11个数是2×11﹣1﹣3＝18； 第③行第12个数是2×（2×12﹣1）＝46． 故答案为：19，18，46； （2）存在，理由如下：
设第②行中三个连续数分别为x，x+2，x+4． 则x+x+2+x+4＝2022，
解得x＝672，，672+2＝674，674+2＝676．
所以第②行中存在三个连续数和为2022，这三个数分别为672，674，676；
（3）若n为奇数，设第①行第n个数为a，第②行第n个数为a﹣3，第③行第n个数为﹣2a，
a+a﹣3+（﹣2a）＝﹣3≠793；
若n为偶数，设第①行第n个数为a，第②行第n个数为a﹣3，第③行第n个数为2a， a+a﹣3+2a＝793； 解得a＝199， 2n﹣1＝199，n＝100， 所以n的值为100．
24．同学们知道，|a|是数轴上表示数a的点与原点的距离，|a|＝|a﹣0|，那么|a﹣2|就是数轴
上表示数a的点与表示数2的点之间的距离． （1）|a﹣3|＝5，则a的值为 ﹣2或8 ；
（2）若a为整数，且|a+1|+|a﹣2|＝3，则a的值为 ﹣1或0或1或2 ； （3）若|a+4|+|a﹣3|＝8，求a的值．
【分析】（1）根据题意|a﹣3|＝5的意义是到表示3的点的距离是5的点的坐标，即可求出a的值；
（2）根据|a+1|+|a﹣2|＝3表示的意义，先求出符合条件的点，再挑选出整数即可； （3）根据绝对值的意义，分表示a的点在表示﹣4的点的左侧、表示a的点在表示﹣4的点与表示3的点之间、表示a的点在表示3的点的右侧，三种情况讨论，即可得出结果．
解：（1）∵|a﹣3|＝5表示的意义是到表示3的点的距离是5的点的坐标，到表示3的点的距离是5的点有两个它们是﹣2和8， ∴a的值为﹣2或8， 故答案为：﹣2或8；
（2）∵|a+1|+|a﹣2|＝3表示的意义是到表示﹣1和2的距离之和是3的点的坐标， ∴符合条件的点有无数个，其中整数有：﹣1、0、1、2，共4个， 故答案为：﹣1或0或1或2；
（3）当数轴上表示a的点在表示﹣4的点的左侧时，|a+4|+|a﹣3|＝8，﹣a﹣4+3﹣a＝8， ∴a＝﹣4.5，当数轴上表示a的点在表示﹣4的点与表示3的点之间（包括﹣4和3）时，|a+4|+|a﹣3|＝8，a+4+3﹣a＝8，等式不成立，当数轴上表示a的点在表示3的点的右侧时，
|a+4|+|a﹣3|＝8， a+4+a﹣3＝8， ∴a＝3.5，
综上所述，a的值为﹣4.5或3.5．
25．数轴上A、B两点对应的数分别为a、b，且a、b满足|a+2|+（b﹣6）2＝0．AB表示点A与点B之间的距离．
（1）求A、B两点之间的距离；
（2）若点A、B同时出发在数轴上运动，速度都是1个单位长度/秒，点A向右运动，点B向左运动，设经过t秒时AB＝2，求t的值；
（3）O为原点，点A、B同时出发，在数轴上运动，分别以2个单位长度/秒和3个单位长度/秒的速度运动．设经过t秒时，点A到达点P，点B到达点Q．当点P、Q到原点O的距离相等时（即PO＝QO），求t的值．
【分析】（1）根据非负数的性质得|a+2|＝0，（b﹣6）2＝0，解方程求出a、b的值，再求出A、B两点之间的距离；
（2）因为A、B同时出发且速度都是1个单位长度/秒，点A向右运动，点B向左运动，所以动点A表示的数是﹣2+t，动点B表示的数是6﹣t，再根据AB＝2按点A与点B相遇前及点A与点B相遇后分别列一元一次方程求出t的值；
（3）按点A、点B都向右、都向左、相向运动和背向运动分类讨论，且对求得的结果进行检验，求出正确的结果．
解：（1）∵|a+2|≥0，（b﹣6）2≥0，且|a+2|+（b﹣6）2＝0， ∴|a+2|＝0，（b﹣6）2＝0， ∴a+2＝0，b﹣6＝0， ∴a＝﹣2，b＝6， ∴AB＝6+2＝8，
∴A、B两点之间的距离是8．
（2）根据题意，动点A表示的数是﹣2+t，动点B表示的数是6﹣t， 若点A在点B左侧，则（6﹣t）﹣（﹣2+t）＝2，解得t＝3； 若点A在点B右侧，则（﹣2+t）﹣（6﹣t）＝2，解得t＝5， ∴t＝3或t＝5．
（3）①若点A、点B都向右运动， ∵点A的速度小于点B的速度， ∴PO＜QO， ∴PO＝QO不成立；
②若点A向右运动，点B向左运动，且点A在点O左侧，点B在点O右侧， 由PO＝QO得2﹣2t＝6﹣3t，解得t＝4，经检验，不符合题意，舍去；
若点A向右运动，点B向左运动，当点A与点B相遇时，则2t+3t＝6+2，解得t＝； 若点A向右运动，点B向左运动，且点A在点O右侧，点B在点O左侧， 由PO＝QO得2t﹣2＝3t﹣6，解得t＝4；
③若点A、点B都向左运动，且点A在点O左侧，点B在点O右侧， 由PO＝QO得2+2t＝6﹣3t，解得t＝；
若点A、点B都向左运动，当点A与点B相遇时，则2t+（6+2）＝3t，解得t＝8， ④若点A向左运动，点B向右运动， ∵点A的速度小于点B的速度，且OA＜OB， ∴OP＜OQ， ∴PO＝QO不成立，
综上所述，当t＝或t＝4或t＝或t＝8时，点P、Q到原点O的距离相等．
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