东南大学数学建模试题 含答案

课程名称 数学建模与数学实验 考试学期 2011-2012-3

得分

适用专业 各专业 考试形式 闭卷 考试时间长度 120分钟 （考

试

可

带

计

算

器

）

题目 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分 批阅人 线所有数值结果精度要求为保留小数点后两位。

一．选择题：（每题3分，共15分）

1 本课程介绍的数学模型分类方法是 （ ） A．按照数学模型的应用领域； B. 按照建模的数学方法； C．按照建模的目的； D. 按照模型的表现特征。

封2. 在非线性方程求近似根时，下列论述正确的是 ( )

A. 二分法总是可以求出近似根； B. 牛顿切线法总是可以求出近似根； C. 牛顿割线法总是可以求出近似根； D. 以上都不对。

3. 下列论述正确的是 （ ） A.一致矩阵一定能通过一致性检验； B. 正互反矩阵一定是判断矩阵； 密C.能通过一致性检验的矩阵是一致矩阵； D. 判断矩阵一定是一致矩阵。

4. 对于初值很小的阻滞增长模型的描述正确的是 （ ） A.增长率一直变大； B.增长率一直变小； C.增长率先增后减； D.增长率先减后增。 15. 泛函

J(x(t))[2x(t)et(x'(t))20]dt取极值的条件是 （ ） A．x''x'et0； B. 1x'et0； C． x''x'et0； D. 以上都不对。

1

二．判断题（每题3分，共15分）正确的打√，不正确的打×。

6. 用无量纲量表示一个物理规律时，最多可以减少3个变量。 （ ）

7. 线性最小二乘问题的标准模型为正规方程。 （ ）

8. 能通过一致性检验的判断矩阵是一致矩阵。 （ ）

9. Leslie模型描述的种群存在有稳定的年龄结构。 （ ）

10.寿命服从指数分布的元件存在预防性更换策略。 ( )

三．应用题（共70分）

11.（12分）某食品店坚果的销售情况及其每周的最大供应量如下表所示： 坚果 杏仁 碧根果 腰果 山核桃 如果统计表明每周所有坚果的销售总量大约维持在200公斤， 杏仁与腰果采购总量不少于40公斤，但也不超过120公斤，碧根果采购量不少于山核桃采购量的60%，为了使得收益达到最大，请为他的供货量建立合适的数学模型，并判断该数学模型的类型。不需要求出具体数值结果。

2

纯利润（元/公斤） 30 50 40 60 最大供应量（公斤/周） 50 30 100 80

12（12分）用无量纲化思想化简下面的数学模型（假设所有的参数均为正常数），使得参数个数尽可能减少。

dxayxcdtbx 

dyy(dex)dt

13（12分）

（1）求解Logistic模型 x'0.01x(1x/10000),x(0)1000。 （2）求该模型变化率最大时刻。

3

14.（16分）变量x与y的一组观测数据如下：

x 3 4 5 6 7 y 0.23 0.42 0.57 0.68 0.78

（1）作半对数图，确定适合的拟合函数形式。

（2）用（1）里确定的函数形式对上述数据进行曲线拟合（保留到小数点后1位）。

4

15．（18分）某种动物种群最大年龄为15岁，如果每5年为一个单位时段观测一次种群数量变化。各组在一个时间段内雌性后代的繁殖率分别为 0.1，0.9，1.5；前两个年龄组的死亡率分别为0.9，0.2。

（1）试建立合适的数学模型描述该种群的发展； （2）该种群会否绝灭？有没有稳定的年龄结构？为什么？

如果有稳定的年龄结构，试求稳定的年龄结构和该种群平均每个时段的增长率。 (3) 由于环境条件，需要通过处理每个第2年龄组的存活率，问如何处理时，才

能种群总量保持不变。此时稳定情况下的年龄结构怎样？

5

2011-2012-3东 南 大 学 考 试 卷 数学建模与数学实验（A卷答案）

一 1 B 2 A 3 A 4 C 5 A

三． 5. （×） 7. （√） 8. （×） 9. （×） 10. （×）

11. 解：设x1~x4分别为表示他每周四种坚果的供应量。f为总利润，其数学模型为：

max f30x150x240x360x4s.. 0tx150 0x230 0x3100 0x480 x1x2x3x4200 40x1x3120 x20.6x40 该模型为线性规划模型。

变量定义正确2分，目标函数2分，约束条件每个6分,每错（或少）一个扣1分。 模型类型判断正确2分。 12 解：可以利用对变量x,y,t施加变量代换的方法达到减少3个参数的作用，最终模型有且仅有2个参数，可以出现在一个或两个方程中。 以下答案只是其中一种形式。

eacd引入无量纲量Xd， x,Ybcy,dt,并引入两个新参数md,nbe则化为

dXYmX1ds1nXdYY(1X)ds

减少一个参数2分（共6分），方程组自变量统一3分，变量代换合理3分。

111()dx0.01dt10000x10000x13. 解 （1） 3`+3`

xln()0.01tc10000x

x(t)10000 2` 0.01t19e

（2）当x(t)5000时，变化率最大。t200ln3。 4`

6

14 解 yalnxb 4` 根据化曲为直的思想，令zlnx,

则变量y与z之间为线性关系yazb。 2`

令c(a,b)T ln31ln41T（2） Aln51,Zlnx1.1,1.39,1.61,1.79,1.95, 4`+2`

ln61ln7112.747.844.49正规方程为ATAcATY，即 4` a57.842.68解得：a[0.88,0.4813]，所以，拟合曲线为：y0.88lnx0.4813

T0.10.91.5,1.0807， 4+4 分 15（18分） 解（1）A0.900max00.20 （2）稳定情况下，该种群平均每个时段增长8.07%。 2分 n=[1,0.833,0.154] 4分 （3）10.1,20.81,30.27k, 令R1231 得 k0.3333

n =[1,0.9,0.06]. 4分

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