沪教版八年级（上）期末数学试卷
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 3 分，共 42 分.答案请填写在横线上） 1．（3 分）化简：
＝ ．
2．（3 分）方程 x（x﹣5）＝2x 的根是 ． 3．（3 分）已知函数
，则 f（3）＝ ．
4．（3 分）直角坐标平面内的两点 P（﹣2，4）、Q（﹣3，5）的距离为 ． 5．（3 分）已知方程 x2+3kx﹣6＝0 的一个根是 2，则 k＝ ． 6．（3 分）若最简根式
和
是同类二次根式，则 a•b 的值是 ．
7．（3 分）命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题是 ，这个逆命题是 命题；
8．（3 分）某种品牌的笔记本电脑原价为 5000 元，如果连续两次降价的百分率都为 10%，那么两次降价后的价格为 元．
9．（3 分）已知 A（m，3）、B（﹣2，n）在同一个反比例函数图象上，则＝ 10．（3 分）到点 A 的距离等于 5cm 的点的轨迹是 ．
11．（3 分）如图，在△ABC 中，边 BC 的垂直平分线分别与 AC、BC 交于点 D、E，如果 AB＝CD，∠ C＝20°，那么∠A＝ 度．
．
12．（3 分）比较大小： ．
13．（3 分）如图，△ABC 中，AD 是角平分线，AC＝4cm．DE⊥AB，E 为垂足．DE＝3cm．则△ADC的面积是 cm2．
14．（3 分）在直线 l 上依次摆放着七个正方形（如图）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是 1，2， 3，正放置的四个正方形的面积依次是 S1，S2，S3，S4，则 S1+S4＝ ．
二、选择题（本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 15．（3 分）二次根式A．
的一个有理化因式是（ ）
C．
B．
D． 16．（3 分）下列关于 x 的方程中一定没有实数根的是（ ） A．x2﹣x﹣1＝0
B．4x2﹣6x+9＝0
C．x2＝﹣x
D．x2﹣mx﹣2＝0
17．（3 分）已知函数 y＝kx 中 y 随 x 的增大而减小，那么它和函数 y＝在同一直角坐标系内的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
，BD 平分∠ABC，BD＝2，则以下结论错误的
18．（3 分）如图，在△ABC 中，∠C＝90°，BC＝是 （ ）
A. 点 D 在 AB 的垂直平分线上 B. 点 D 到 AB 的距离为 1 C. 点 A 到 BD 的距离为 2 D. 点 B 到 AC 的距离为
三、解答题（本大题共 7 个题，共 46 分．第 19、20 题，每题 4 分；第 21、22、23 题，每题 6 分；第
24、25 题，每题 10 分） 19．（4 分）当 t＝220．（4 分）解方程：
时，求二次根式
．
的值．
21．（6 分）已知关于 x 的一元二次方程（m﹣1）x2﹣（2m﹣1）x+m+1＝0（m 为常数）有两个实数根，求 m 的取值范围．
22．（6 分）已知，如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E、F，且 BD ＝CD．求证：AB＝AC．
23．（6 分）如图，在 Rt△ABC 中，已知∠C＝90°，∠B＝60°，AC＝8，点 D 在边 BC 上，BD＝
3CD，线段 DB 绕点 D 顺时针旋转 α 度后（0＜α＜180），点 B 旋转至点 E，如果点 E 恰好落在Rt△ABC 的边上，求：△DBE 的面积．
24．（10 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 内，点 A 在直线 y＝3x 上（点 A 在第一象限），OA＝2
（1） 求点 A 的坐标；
．
（2） 过点 A 作 AB⊥x 轴，垂足为点 B，如果点 E 和点 A 都在反比例函数 y＝（k≠0）图象上（点 E
在第一象限），过点 E 作 EF⊥y 轴，垂足为点 F，如果 S△AEF＝S△AOB，求点 E 的坐标．
25．（10 分）已知，如图，在△ABC 中，AE 平分∠CAB 交 BC 于点 E，AC＝6，CE＝3，AE＝3，BE
＝5，点 F 是边 AB 上的动点（点 F 与点 A，B 不重合），连接 EF，设 BF＝x，EF＝y．
（1） 求 AB 的长；
（2） 求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3） 当△AEF 为等腰三角形时，直接写出 BF 的长．
沪教版八年级（上）期末数学试卷
参与试题解析
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 3 分，共 42 分.答案请填写在横线上） 1．（3 分）化简：【解答】解：
＝
． ＝
． ＝
． 故答案为：
2．（3 分）方程 x（x﹣5）＝2x 的根是 x1＝0，x2＝7 ． 【解答】解：将方程 x（x﹣5）＝2x 整理成一般式得：x2﹣7x＝0， 则 x（x﹣7）＝0， ∴x＝0 或 x﹣7＝0， 解得：x1＝0，x2＝7， 故答案为：x1＝0，x2＝7． 3．（3 分）已知函数【解答】解：f（3）＝ 故答案为： +1．
4．（3 分）直角坐标平面内的两点 P（﹣2，4）、Q（﹣3，5）的距离为 【解答】解：∵P（﹣2，6）、Q（2，3）， ∴PQ＝
故答案为： ．
5．（3 分）已知方程 x2+3kx﹣6＝0 的一个根是 2，则 k＝ ． 【解答】解：把 x＝2 代入方程 x2+3kx﹣6＝0 得 4+6k﹣6＝0，解得 k＝ ． 故答案为 ． 6．（3 分）若最简根式【解答】解：∵最简根式 解得：
，则 f（3）＝ ＝
+1 ． ＝
＝
；
．
＝ ，
和和
是同类二次根式，则 a•b 的值是 18 ． 是同类二次根式∴
，
，
∴a•b＝18，
故答案为：18．
7．（3 分）命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题是 有两个角相等的三角形是等腰三角形 ，这个逆命题是 真 命题；
【解答】解：命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题是有两个角相等的三角形是等腰三角形． 因为，在同一个三角形内有两个角相等的三角形是等腰三角形，因此逆命题是真命题． 8．（3 分）某种品牌的笔记本电脑原价为 5000 元，如果连续两次降价的百分率都为 10%，那么两次降价后的价格为 4050 元．
【解答】解：第一次降价后价格为 5000×（1﹣10%）＝4500 元， 第二次降价是在第一次降价后完成的，所以应为 4500×（1﹣10%）＝4050 元． 答：两次降价后的价格为 4050 元． 故答案为：4050．
9．（3 分）已知 A（m，3）、B（﹣2，n）在同一个反比例函数图象上，则＝ 【解答】解：设反比例函数解析式为 y＝， 根据题意得：k＝3m＝﹣2n ∴ ＝﹣ 故答案为：﹣ ．
10．（3 分）到点 A 的距离等于 5cm 的点的轨迹是 以点 A 为圆心，以 5cm 为半径的圆 ．
【解答】解：根据圆的定义可知，到点 A 的距离等于 5cm 的点的集合是以点 A 为圆心，5cm 为半径的圆．
故答案为：以点 A 为圆心，5cm 为半径的圆．
11．（3 分）如图，在△ABC 中，边 BC 的垂直平分线分别与 AC、BC 交于点 D、E，如果 AB＝CD，∠ C＝20°，那么∠A＝ 40 度．
．
【解答】解：连接 DB， ∵DE 是边 BC 的垂直平分线， ∴DB＝DC， ∴∠DBC＝∠C，
∴∠BDA＝2∠C， ∵AB＝CD，DB＝DC， ∴BA＝BD， ∴∠A＝∠BDA， ∴∠A＝2∠C， ∵∠C＝20°， ∴∠A＝40°， 故答案为 40．
12．（3 分）比较大小： ＞ ．
【解答】解：由算术平方根的定义可得 4﹣x≥0，解得 x≤4， 则 x﹣6＜0， 则 ∵ ∴
＜0， ≥0， ＞
． 故答案为：＞．
13．（3 分）如图，△ABC 中，AD 是角平分线，AC＝4cm．DE⊥AB，E 为垂足．DE＝3cm．则△ADC的面积是 6 cm2．
【解答】解：如图，过点 D 作 DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E、F， ∵AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF＝3cm，
∴S△ADC＝•DF•AC＝×3×4＝6（cm2），故答案为：6．
14．（3 分）在直线 l 上依次摆放着七个正方形（如图）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是 1，2， 3，正放置的四个正方形的面积依次是 S1，S2，S3，S4，则 S1+S4＝ 2 ．
【解答】解：在△CDE 和△ABC 中，
，
∴△CDE≌△ABC（AAS）， ∴AB＝CD，BC＝DE，
∴AB2+DE2＝DE2+CD2＝CE2＝3， 同理可证 FG2+LK2＝HL2＝1， ∴S1+S2+S3+S4＝CE2+HL2＝1+3＝4． ∵S2+S3＝2， ∴S1+S4＝2， 故答案为：2．
二、选择题（本大题共 4 小题，每小题 3 分，共 12 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 15．（3 分）二次根式A．
的一个有理化因式是（ ）
C．
）2＝x+y，
D．
B．
×
＝（
【解答】解： 故选：C．
16．（3 分）下列关于 x 的方程中一定没有实数根的是（ ）
A．x2﹣x﹣1＝0 B．4x2﹣6x+9＝0 C．x2＝﹣x D．x2﹣mx﹣2＝0
【解答】解：A、△＝5＞0，方程有两个不相等的实数根； B、△＝﹣108＜0，方程没有实数根； C、△＝1＞0，方程有两个相等的实数根； D、△＝m2+8＞0，方程有两个不相等的实数根． 故选：B．
17．（3 分）已知函数 y＝kx 中 y 随 x 的增大而减小，那么它和函数 y＝在同一直角坐标系内的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵函数 y＝kx 中 y 随 x 的增大而减小， ∴k＜0，
∴函数 y＝kx 的图象经过二、四象限，故可排除 A、B； ∵k＜0，
∴函数 y＝的图象在二、四象限，故 C 错误，D 正确． 故选：D．
18．（3 分）如图，在△ABC 中，∠C＝90°，BC＝是 （ ）
，BD 平分∠ABC，BD＝2，则以下结论错误的
A. 点 D 在 AB 的垂直平分线上
B. 点 D 到 AB 的距离为 1 C. 点 A 到 BD 的距离为 2 D. 点 B 到 AC 的距离为
【解答】解：∵在△ABC 中，∠C＝90°，BC＝∴∠A＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∵BD 平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD＝30°， ∴∠A＝∠ABD，CD＝ BD＝1， ∴AD＝BD＝2，
∴点 D 在 AB 的垂直平分线上， 过 D 作 DE⊥AB 于 E， ∴DE＝DC＝1，
∴点 D 到 AB 的距离为 1，BC＝∴点 B 到 AC 的距离为
，
CD＝ ，
，
过 A 作 AF⊥BD 交 BD 的延长线于 F， ∴AF＝ AB＝BC＝ ∴点 A 到 BD 的距离为故选：C．
， ，
三、解答题（本大题共 7 个题，共 46 分．第 19、20 题，每题 4 分；第 21、22、23 题，每题 6 分；第 24、25 题，每题 10 分） 19．（4 分）当 t＝2【解答】解：当 t＝2
时，求二次根式时，
的值．
＝
＝|3﹣t| ＝|3﹣2 ＝3﹣2
| ．
．
20．（4 分）解方程：
【解答】解：x（x﹣2）＝2（x+6），（1 分） x2﹣2x＝2x+12，（1 分） x2﹣4x﹣12＝0，（1 分） （x﹣6）（x+2）＝0，（1 分） x1＝6，x2＝﹣2．（2 分）
∴原方程的根为 x1＝6，x2＝﹣2．
21．（6 分）已知关于 x 的一元二次方程（m﹣1）x2﹣（2m﹣1）x+m+1＝0（m 为常数）有两个实数根，求 m 的取值范围． 【解答】解：
∵关于 x 的一元二次方程（m﹣1）x2﹣（2m﹣1）x+m+1＝0（m 为常数）有两个实数根， ∴△≥0 且 m﹣1≠0，即（2m﹣1）2 ﹣4（m﹣1）（m+1）≥0 且 m≠1， 解得 m
且 m≠1．
22．（6 分）已知，如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E、F，且 BD ＝CD．求证：AB＝AC．
【解答】证明：∵AD 平分∠BAC（已知）， ∴∠EAD＝∠FAD（角平分线的定义）， ∵DE⊥AB，DF⊥AC （已知）， ∴∠DEA＝∠DFA（垂直的意义），又∵AD＝AD（公共边）， ∴△AED≌△AFD（AAS），
∴DE＝DF（全等三角形对应边相等），
∵DB＝DC（已知），∠BED＝∠DFC＝90°， ∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴∠B＝∠C（全等三角形对应角相等）， ∴AB＝AC（等角对等边）．
23．（6 分）如图，在 Rt△ABC 中，已知∠C＝90°，∠B＝60°，AC＝8
，点 D 在边 BC 上，BD＝
3CD，线段 DB 绕点 D 顺时针旋转 α 度后（0＜α＜180），点 B 旋转至点 E，如果点 E 恰好落在Rt△ABC 的边上，求：△DBE 的面积．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝60°， ∴∠A＝30°， ∴AB＝2BC
∵在Rt△ABC 中，AB2＝BC2+AC2， ∴4BC2＝BC2+×3， ∴BC＝8， ∴AB＝16，
∵点 D 在边 BC 上，BD＝3CD， ∴BD＝6，CD＝2，
如图，当点 E 在 AB 上时，过点 E 作 EF⊥BC 于点 F，
∵旋转
∴DE＝BD＝6，且∠ABC＝60°， ∴△BDE 是等边三角形
∴BE＝6，且 EF⊥BD，∠ABC＝60°， ∴BF＝3，EF＝ BF＝3
∴S△BED＝ BD×EF＝9 ，
如图，当点 E 在 AC 上时，
∵旋转 ∴BD＝DE＝6 在 Rt△CDE 中，CE＝∴S△BED＝ BD×EC＝12
，
或 9
．
．
＝
＝4
，
综上所述：△DBE 的面积为 12
24．（10 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 内，点 A 在直线 y＝3x 上（点 A 在第一象限），OA＝2
（1） 求点 A 的坐标；
（2） 过点 A 作 AB⊥x 轴，垂足为点 B，如果点 E 和点 A 都在反比例函数 y＝（k≠0）图象上（点 E
在第一象限），过点 E 作 EF⊥y 轴，垂足为点 F，如果 S△AEF＝S△AOB，求点 E 的坐标．
【解答】解：（1）∵点 A 在直线 y＝3x 上（点 A 在第一象限）， ∴设 A（x，3x），其中 x＞0， ∵OA＝2
，
）2，
∴x2+9x2＝（2 解得：x＝2，
点 A 的坐标为（2，6）；
（2）∵点 A 在反比例函数 y＝（k≠0）的图象上， ∴k＝12，
可得 反比例函数解析式为 y＝ ， 由题意得 点 B 的坐标为（2，0）， ∴S△AOB＝6， ∵S△AEF＝S△AOB， 设点 E（n，
），可得 F（0，
）；
①点 E 在点 A 的上方， 由 S△AEF＝n•（
﹣6）＝6，得 n＝0（舍去），
∴点 E 的坐标不存在； ②点 E 在点 A 的下方， 由 S△AEF＝n•（6﹣
）＝6，得 n＝4，
∴点 E 的坐标为（4，3），
综上所述：满足条件的点 E（4，3）．
25．（10 分）已知，如图，在△ABC 中，AE 平分∠CAB 交 BC 于点 E，AC＝6，CE＝3，AE＝3＝5，点 F 是边 AB 上的动点（点 F 与点 A，B 不重合），连接 EF，设 BF＝x，EF＝y．
（1） 求 AB 的长；
（2） 求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3） 当△AEF 为等腰三角形时，直接写出 BF 的长．
，BE
【解答】解：（1）∵AC＝6，CE＝3，AE＝3，
∴AC2+CE2＝62+32＝45， AE2＝（3
）2＝45，
∴AC2+CE2＝AE2， ∴∠ACE＝90°， ∵BE＝5， ∴BC＝8，
由勾股定理得：AB＝
＝
＝10；
（2） 如图 1，过 E 作 EG⊥AB 于 G，
∵AE 平分∠BAC，∠C＝90°， ∴EG＝EC＝3， ∵AE＝AE，
∴Rt△ACE≌Rt△AGE（HL）， ∴AG＝AC＝6， ∴BG＝10﹣6＝4， ∵BF＝x， ∴FG＝|4﹣x|，
在 Rt△EFG 中，由勾股定理得：EF＝∴y＝
＝
（0＜x＜10）；
，
（3） 分两种情况讨论：
①当 AE＝AF＝3∵AB＝10， ∴BF＝10﹣3
，
时，如图 2，
②当 AF＝EF 时，如图 3，过 F 作 FP⊥AE 于 P， ∴AP＝ AE＝
，
∵∠CAE＝∠FAP，∠APF＝∠C＝90°， ∴△ACE∽△APF，
∴ ，即 ，
AF＝
，
∴BF＝10﹣ ＝ ，
或
．
综上，当△AEF 为等腰三角形时，BF 的长为 10﹣3