第16讲 直角三角形
命题点 直角三角形
1．(2017·河北T11·2分)如图是边长为10 cm的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据(单位：cm)不正确的是(A)
A B
C D
5
2．(2012·河北T26(1)·3分)如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，cos∠ABC＝.
13探究：如图，AH⊥BC于点H，则AH＝12，AC＝15，△ABC的面积S△ABC＝84．
重难点 直角三角形的相关计算
如图，点D在Rt△ABC的斜边AB上，且AC＝6.
(1)若AB比BC大2. ①求AB的长；
②若CD⊥AB于点D，求CD的长；
(2)若D是AB的中点，∠A＝36°，则∠DCB＝54°； (3)若AD＝7，DB＝11，∠CDB＝2∠B，求CD的长．
【思路点拨】(1)由于AB比BC大2，AC＝6，可采用勾股定理求AB；利用面积法可求CD；(2)可利用直角三角形两锐角互余及等边对等角，求∠DCB；(3)取斜边的中点E，可得CD＝CE.
【自主解答】解：(1)①设AB＝x，BC＝x－2，
222
∵AB＝BC＋AC， 222
∴x＝(x－2)＋6，解得x＝10，即AB＝10.
11AC·BC6×824②∵AC·BC＝CD·AB，∴CD＝＝＝.
22AB105(3)取AB的中点E，连接CE.∵AD＝7，DB＝11， ∴AB＝AD＋DB＝7＋11＝18.
11
∴CE＝BE＝AB＝×18＝9.∴∠B＝∠BCE.
22
1
由三角形的外角性质，得∠CED＝∠B＋∠BCE＝2∠B. ∵∠CDB＝2∠B，∴∠CDB＝∠CED，∴CD＝CE＝9.
【变式训练1】(2018·黄冈)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝5，则CD＝(C)
A．2
B．3
C．4
D．23
【变式训练2】(2018·长沙)我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里＝500米，则该沙田的面积为(A)
A．7.5平方千米 B．15平方千米 C．75平方千米 D．750平方千米
【变式训练3】如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M，N在边OB上，PM＝PN.若MN＝2，则OM的长为4． 方法指导
1．在直角三角形中，勾股定理体现直角三角形三边之间的数量关系；
利用勾股定理可以已知两边求第三边；已知一边及其他两边的数量关系求两边；已知三边的数量关系，求三边；
在利用勾股定理的逆定理时，注意的是两条较小边的平方和等于最大边的平方时，此三角形是直角三角形． 2．求直角三角形斜边上高可考虑利用面积法． 3．关于直角三角形有两个重要定理：
(1)30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，其性质体现直角三角形与等边三角形之间的联系，即等边三角形是由两个相同的30°的直角三角形拼接而成的；
(2)直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，还可以得到有公共斜边的多个直角三角形，斜边上中点到直
角三
角形各顶点的距离相等．直角三角形斜边上中线把直角三角形分成两个等腰三角形.
1．(2018·滨州)在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为(A)
A．5 B．6 C．7 D．8
2．(2018·贺州)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，E是边BC的中点，AD＝ED＝3，则BC的长为(D)
A．32
B．33
C．6
D．62
2
3．(2018·常德)如图，已知BD是△ABC的角平分线，ED是BC的垂直平分线，∠BAC＝90°，AD＝3，则CE的长为(D)
A．6
B．5
C．4
D．33
4．(2018·淄博)如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC.若AN＝1，则BC的长为(B)
A．4
B．6
C．43
D．8
5．(2018·泸州)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b.若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为(D)
A．9 B．6 C．4 D．3
6．如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第三边分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是(C)
7．(2018·泰州)如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ACD＝∠ABC＝90°，E，F分别为AC，CD的中点，∠D＝α，则∠BEF的度数为270°－3α(用含α的式子表示)．
8．(2018·保定模拟)勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪一灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：
222
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB＝90°，求证：a＋b＝c. 证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b－a.
121
∵S四边形ADCB＝S△ACD＋S△ABC＝b＋ab，
22121
又∵S四边形ADCB＝S△ADB＋S△DCB＝c＋a(b－a)，
22121121
∴b＋ab＝c＋a(b－a)． 2222
3
∴a＋b＝c.
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．
222
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB＝90°.求证：a＋b＝c.
222
证明：连接BD，过点B作DE边上的高BF，则BF＝b－a. 1121
∵S五边形ACBED＝S△ACB＋S△ABE＋S△ADE＝ab＋b＋ab，
2221121
又∵S五边形ACBED＝S△ACB＋S△ABD＋S△BDE＝ab＋c＋a(b－a)，
22211211121
∴ab＋b＋ab＝ab＋c＋a(b－a)． 222222∴a＋b＝c.
9．(2018·扬州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠ACD交AB于点E，则下列结论一定成立的是(C)
A．BC＝EC B．EC＝BE C．BC＝BE D．AE＝EC
2
2
2
10．(2018·石家庄模拟)如图，已知AB＝10，点P是线段AB上的动点，以AP为边作正六边形APCDEF，以PB为底作等腰△BPN，连接PD，DN，则△PDN的面积的最大值是(B)
253
A．63 B.
4
253
C．73 D. 2
提示：连接AD，作NM⊥PB于点M，∵六边形APCDEF是正六边形，∴EF∥AD，DP⊥AB，DP⊥ED，正六边形的每一个内角为120°，∴∠ADE＝60°，∴∠ADP＝30°，∴PD＝3PA，∵DP⊥AB，NM⊥PB，∴PD∥MN，∴PM
11
就是△PDN的PD边的高，设PA＝x.则PB＝10－x，∵在等腰△BPN中，MN⊥PB，∴PM＝PB＝(10－x)，∴S△
2211132532532
＝PD·PM＝×3x×(10－x)＝－(x－5)＋，∴△PDN的面积的最大值为. 222444
11．(2018·黄冈)如图，圆柱形玻璃杯高为14 cm，底面周长为32 cm，在杯内壁离杯底5 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20cm(杯壁厚度不计)．
PDN
4
12．(2018·天津)如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为19． 2
提示：连接DE，∵在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴1
DE＝2，且DE∥AC，BD＝BE＝EC＝2.∵EF⊥AC，∠C＝60°，∴∠FEC＝30°，∠DEF＝∠EFC＝90°.∴FC＝EC
2＝1，故EF＝2－1＝3.∵G为EF的中点，∴EG＝
2
2
31922.∴DG＝DE＋EG＝. 22
13．(2018·冀卓模拟)已知，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16.
(1)若将△ABC的腰不变，底变为12，甲同学说，这两个等腰三角形面积相等；乙同学说，腰不变，底变化，这两个三角形面积必不相等．请对甲、乙两种说法做出判断，并说明理由；
(2)已知△ABC底边上高增加x，腰长增加(x－2)时，底却保持不变，请确定x的值； 解：(1)甲说法对，乙说法不对．
图1 图2
理由如下：如图1，过点A作AD⊥BC于点D. ∵AB＝AC＝10，BC＝16， ∴BD＝CD＝8，∴AD＝6. 1
∴S△ABC＝BC·AD＝48.
2
如图2，作等腰△A′B′C′，A′B′＝A′C′＝10，B′C′＝12，过点A作A′D′⊥B′C′于点D′. ∵A′B′＝A′C′＝10，B′C′＝12， ∴B′D′＝C′D′＝6.∴A′D′＝8. 1
∴S△A′B′C′＝B′C′·A′D′＝48.
2∴两个等腰三角形面积相等．
222
(2)依题意，得(10＋x－2)＝(6＋x)＋8， 解得x＝9.
14．如图1，已知在锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，M，N分别是线段BC，DE的中点．
(1)求证：MN⊥DE；
(2)连接DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想；
(3)当∠A变为钝角时，如图2，上述(1)(2)中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．
5
解：(1)证明：连接DM，ME.
∵CD，BE分别是AB，AC边上的高，M是BC的中点， 11∴DM＝BC，ME＝BC.
22
∴DM＝ME.
又∵N为DE中点，∴MN⊥DE.
(2)在△ABC中，∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A， ∵DM＝ME＝BM＝MC，
∴∠BMD＋∠CME＝(180°－2∠ABC)＋(180°－2∠ACB)＝360°－2(∠ABC＋∠ACB)＝360°－2(180°－∠A)＝2∠A，
∴∠DME＝180°－2∠A.
(3)结论(1)成立，结论(2)不成立．连接DM，ME.
理由如下：在△ABC中，∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A，∵DM＝ME＝BM＝MC， ∴∠BME＋∠CMD＝2∠ACB＋2∠ABC＝2(180°－∠A)＝360°－2∠A. ∴∠DME＝180°－(360°－2∠A)＝2∠A－180°.
15．(2018·湘潭)《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，在△ABC中，
222
∠ACB＝90°，AC＋AB＝10，BC＝3，求AC的长，如果设AC＝x，则可列方程为x＋3＝(10－x)．
6