对勾函数的性质及应用

一、对勾函数

yaxbx(a0,b0)的图像与性

质：

1. 2. 3.

定义域：(,0)(0,) 值域：(,2ab][2ab,)

奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两

个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即f(x)f(x)0

bbyaxxax2ab（当且仅当4. 图像在一、三象限, 当x0时，

取等

号），即f(x)在x=

ba时，取最小值2ab

ba由奇函数性质知：当x<0时，f(x)在x=

5.

时，取最大值2ab ）,减区间是（0，

ba单调性：增区间为（（

babb,,aa），（

），

,0）

二、对勾函数的变形形式

yaxbx(a0,b0)类型一：函数与性质

的图像

1.定义域：(,0)(0,) 2.值域：(,2ab][2ab,)

3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状. 4.图像在二、四象限, 当x<0时，f(x)在x=

ba时，取最小值2ab；当

x0时，f(x)在

x=

ba时，取最大值2ab

ba5.单调性：增区间为（0，,ba），（

ba,0）减区间是（

b,a），

（）,

yaxbx(ab0)

类型二：斜勾函数

①a0,b0作图如下

1.定义域：(,0)(0,)2.值域：R

3.奇偶性：奇函数4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值.

5.单调性：增区间为（-，0），（0，+）. ②a0,b0作图如下：

1.定义域：(,0)(0,)2.值域：R

3.奇偶性：奇函数 4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值.

5.单调性：减区间为（-，0），（0，+）. 类型三：函数

ax2bxcf(x)(ac0)x.

此类函数可变形为练习1.函数

f(x)axccyaxbxx，可由对勾函数

上下平移得到

x2x1f(x)x的对称中心为

f(x)xa(a0,k0)xk

类型四：函数

此类函数可变形为

f(x)(xkaayx)kxxk，则f(x)可由对勾函数

左右

平移，上下平移得到 练习 1.作函数2.求函数

f(x)xf(x)x1x3f(x)xx2与x2的草图

12x4在(2,)上的最低点坐标

3. 求函数

f(x)xxx1的单调区间及对称中心 ax(a0,b0)x2b类型五：函数

f(x)f(x).此类函数定义域为R，且可变形为

aabx2bxx xa.若a0，图像如下：

1．定义域：(,) 2. 值域：

[a12b,a]2b

13. 奇偶性：奇函数. 4. 图像在一、三象限.当x0时，f(x)在xba时，取最大值2b，当x<0时，f(x)在x=b时，取最小值

a2b

5. 单调性：减区间为（练习1.函数

f(x)b,），（,b）；增区间是[b,b]

xx21的在区间2,上的值域为

b. 若a0，作出函数图像：

1．定

义域：

,a12b](,)2. 值域：

[a12b3. 奇偶性：奇函数.

4. 图像在一、三象限.

当x0时，f(x)在xb时，取最小值

a2b，

a当x<0时，f(x)在x=b时，取最大值25. 单调性：增区间为（练习1.如类

型

a1b

b,），（,b）；减区间是[b,b]

2xx24x1,2，则的取值规模是

ax2bxcf(x)(a0)xm六：函数.可变形为

a(xm)2s(xm)ttf(x)a(xm)s(at0)xmxm，

则f(x)可由对勾函数练习1.函数

yaxtx左右平移，上下平移得到

1x2x1yxf(x)x向（填“左”、“右”）平x1由对勾函数

移单位，向（填“上”、“下”）平移单位. 2.已知x1 ，求函数3.已知x1 ，求函数类型七：函数

f(x)x27x10f(x)x1的最小值；

x29x9f(x)x1的最大值

xm(a0)ax2bxc

练习1.求函数

f(x)x1x2x2在区间(1,)上的最大值；若区间改成[4,)则

f(x)的最大值为

x22x3f(x)2xx2在区间[0,)上的最大值

f(x)xbxa2.求函数

类型八：函数

f(x)xabaxa.此类函数可变形为尺度形式：

(ba0)

xaf(x)baxax3练习1.求函数x1的最小值；

2．求函数3.求函数

f(x)x5x1的值域；

f(x)x2x3的值域 f(x)x2bxa2类型九：函数

f(x)(x2a)2baxa2(a0).此类函数可变形为尺度形式：

(bao)x2abaxa2

练习 1.求函数2. 求函数

f(x)x25x24的最小值；

x21f(x)2x17的值域