．x 0 y 15.在平面直角坐标系，对于点 P(x，y)和 Q(x，y′ )，给出如下定义：若 y ，
x 0 y 则称点 Q 为点 P 的“可控变点”．例如：点(1，2)的“可控变点”为点(1，2)，点( ﹣ 1 ， 3) 的“ 可控变点” 为点( ﹣ 1 ，﹣ 3) ．点( ﹣ 5 ，﹣ 2) 的“ 可控变点” 坐标为 ；若点 P 在函数 y=﹣x2+16（﹣5≤x≤a）的图象上，其“可控变点”Q 的纵坐
标 y′的取值范围是﹣16≤y′≤16，实数 a 的取值范围为
．
16.某电商销售一款夏季时装，进价 40 元/件，售价 110 元/件，每天销售 20 件，每销售一
件需缴纳电商平台推广费用 a 元（a>0）．未来 30 天，这款时装将开展“每天降价 1元”的夏令促销活动，即从第 1 天起每天的单价均比前一天降 1 元．通过市场调研发现，该时装单价每降 1 元，每天销量增加 4 件．在这 30 天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数 t （ t 为正整数） 的增大而增大， a 的取值范围应为
．
三、解答题（共 8 题，共 80 分）
17．（8 分）某居民小区一处圆柱形的输水管破裂，维修人员为更新管道，需确定管道圆形截
面的半径，如图所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面．
(1)请你补全这个输水管道的圆形截面（要求：保留作图痕迹，标出圆心 O）；
(2)若这个输水管道有水部分的水面宽 AB=16cm，水面最深地方的高度为 4cm，求这个圆
形截面的半径．
18．（8 分）已知抛物线 y ax2 bx c 与 x 轴交于点 A(1，0)，B(3，0)，且过点
C(0，－3)
(1)求抛物线的表达式和顶点坐标；
(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线 y=－x 上，并写出平移后抛
物线的表达式．
19．（8 分）如图，已知 AB 是⊙O 的弦，OB=2，∠B=30°，C 是弦 AB 上任意一点（不与点
A、B 重合），连接 CO 并延长 CO 交⊙O 于点 D，连接 AD．
(1)弦长 AB 等于 （结果保留根号）；(2)当∠D=20°时，求∠BOD 的度数．
20．（10 分）随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更加多样、便捷．组织数
学兴趣小组的同学们开展了“你最喜欢的沟通方式”问卷调查活动，并在全校范围内随机调查了部分学生（每人必选且只选一种），将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
(1)在扇形统计图中，表示“微信”的扇形圆心角的度数为 (2)将条形统计图补充完整；
(3)寒假中的某一天，张明和李响都想从“电话”、“微信”、“QQ”三种沟通方式选一
；种方式与联系，请用列表或画树状图的方法求出张明和李响两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率．
21．（10 分）已知在△ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径的⊙O 分别交 AC 于 D，BC 于 E，连接
ED．
(1)求证：ED=EC；(2)若 CD=3， EC 2
，求 AB 的长．
22．（10 分）若一个四边形的两条对角线互相垂直且相等，则称这个四边形为“奇妙四边形”
．如图 1，四边形 ABCD 中，若 AC=BD，AC⊥BD，则称四边形 ABCD 为奇妙四边形．根据“奇妙四边形”对角线互相垂直的特征可得“奇妙四边形”的一个重要性质：“奇妙四边形”的面积等于两条对角线乘积的一半．根据以上信息回答：
(1)矩形 “奇妙四边形”（填“是”或“不是”）；
；
(2)如图 2，已知⊙O 的内接四边形 ABCD 是“奇妙四边形”，若⊙O 的半径为 6，
∠BCD=60°．“奇妙四边形”ABCD 的面积为 OM 与 AD 的数量关系，并证明你的结论．
(3)如图 3，已知⊙O 的内接四边形 ABCD 是“奇妙四边形”作 OM⊥BC 于 M．请猜测
23．（12 分）某商家销售一款商品，进价每件 80 元，售价每件 145 元，每天销售 40 件，每
销售一件需支付给商场管理费 5 元，未来一个月（按 30 天计算），这款商品将开展“每天降价 1 元”的促销活动，即从第一天开始每天的单价均比前一天降低 1 元，通过市场调查发现，该商品单价每降 1 元，每天销售量增加 2 件，设第 x 天（1≤x≤30 且 x 为整数）的销售量为 y 件．
(1)直接写出 y 与 x 的函数关系式；
(2)设第 x 天的利润为 w 元，试求出 w 与 x 之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大？
最大利润是多少元？
24．（14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A，B 两点的坐标分别为(－4，0)，
(4，0)，C(m，0)是线段 AB 上一点（与 A，B 点不重合），抛物线 L1： y ax2 b x c11（a<0）经过点 A，C，顶点为 D，抛物线 L2： y ax2 b x a<0）经过点 C，B，2 c （2顶点为 E，AD，BE 的延长线相交于点 F．
1
(1)若 a ，m=－1，求抛物线 L ，L 的解析式；
12
2
(2)若 a=－1，AF⊥BF，求 m 的值；
(3)是否存在这样的实数 a（a<0），无论 m 取何值，
直线 AF 与 BF 都不可能互相垂直？若存在，请直接
写出 a 的两个不同的值；若不存在，请说明理由．
2018-2019 学年第一学期九年级期中测试数
学参及评分建议
一、单选题（共 10 题，共 40 分）1．A2．B3．C4．D5．C6．A7．B8．D9．D10．C
二、填空题（共 6 题，共 30 分）17.a>b>c>d 12．
解：画树状图得：
∵共有 6 种等可能的结果，抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化有 5 种情况，
∴抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化的概率 5
，6故答案为： 5
．13． 1 14． m<0 15．(﹣5，2)；
a 4 16．0三、解答题（共 8 题，共 80 分）17．（8 分）A.任取两条弦作中垂线，方法正确且补画完整的圆，并标出圆心 OB.解：作 OC⊥AB 于点 C，交⊙O 于点 D，连结 OA．
设⊙O 的半径为 r，则 OA=OD=r，由题意得，CD=4cm，AB=16cm，∵OC⊥AB
1 1
∴ AC BC AB 16 8 （cm）
22在 Rt△ AOC 中，由勾股定理得，
AO2－OC2=AC2即 r2－(r－4)2=82∴r=10
∴⊙O 的半径为 10cm．
18．（8 分）
(1) y x2 4x 3 （答案不唯一）；(2，1)；(2)向下平移 3 个单位（答案不唯一）
19．（8 分）
解：(1)如图，过 O 作 OE⊥AB 于 E，
∴E 是 AB 的中点
在 Rt△ OEB 中，OB=2，∠B=30°，∴OE=1，∴ BE 3 ，∴ AB 2BE 2；(2)如图所示，连接 OA，因为 OA=OB，OA=OD，所以∠OAB=∠OBA=30°，∠OAD=∠ODA=20°∴∠CAD=50°
∴∠OCB=50°+20°=70°∴∠BOD=∠OCB+∠B=100°
20．（10 分）
(1)144° ……1 分(3)图略 ……3 分
(4)画树状图如下：
……3 分
由树状图知共有 9 种等可能的结果，其中两人恰好选中同一种沟通方式的情况有 3种..........7 分
3 1
∴ P ……8 分
同一种方式93
21．（10 分）
解：(1)∵∠EDC+∠EDA=180°、∠B+∠EDA=180°，
∴∠B=∠EDC， 又∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠EDC=∠C，∴ED=EC；(2)连接 AE，
∵AB 是直径，∴AE⊥BC， 又∵AB=AC，
∴ BC 2EC 4 3 ，∵∠B=∠EDC、∠C=∠C，∴△ABC∽△EDC，∴AB∶EC=BC∶CD，又∵ EC 2∴AB=8．
、 BC 4、CD=3，
22．（10 分）
(1)不是
1
(2) s 6 322
54(3)AD=2OM
∠BAC=∠G，∠AFB=∠BCG=90°∴∠ABD=∠GBC∴AD=CG∵CG=2OM∴AD=2OM
23．（12 分）
解：(1)由题意可知 y=2x+40；
(2)根据题意可得：
w=(145﹣x﹣80﹣5)(2x+40)，=﹣2x2+80x+2400，
=﹣2(x﹣20)2+3200，∵a=﹣2<0，
∴函数有最大值，
∴当 x=20 时，w 有最大值为 3200 元，
∴第 20 天的利润最大，最大利润是 3200 元．
24．（14 分）
1
(3)抛物线 L 的解析式为 y x x 2 ，抛物线 L 的解析式为 y x x 2
1
2
5 1
2
3
2222
(4)如图，过点 D 作 DG⊥x 轴于点 G，过点 E 作 EH⊥x 轴于点 H，
由题意得 0=－16－4b1＋c1、0=－m²＋b1m＋c1，解得 b1=m－4，c1=4m．把 a=1 代入函数解析式，然后结合(m，0)和(－4，0)代入可求解出函数的解析式 L1，然后分别求出 D 点坐标，得到 DG、AG 的长，同理得到 L1，求得 EH，BH 的长，
2
EH 等于
m2 8m 16
m 42， BH
4 m
，
4
42
∵AF⊥BF，DG⊥x 轴，EH⊥x 轴∴∠AFB=∠AGD=∠EHB=90°∴∠ADG=∠ABF=90°－∠BAF∴△ADG∽△EBH∴ DG BH AG EH解得m 2
(5)存在，例如a 1 ， a 1
（答案不唯一）
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