一．选择题
1．（3分）已知＝，则A．
B．
的值为（ ）
C．
D．
2．（3分）如图，点A，B，C在圆O上，若∠BOC＝72°，则∠BAC的度数是（ ）
A．72° B．54° C．36° D．18°
3．（3分）把抛物线y＝x2+4先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线表达式为（ ） A．y＝（x+1）2+7
B．y＝（x﹣1）2+7
C．y＝（x﹣1）2+1 D．y＝（x+1）2+1
4．（3分）在圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的度数之比可能是（ ） A．1：2：3：4
B．4：2：1：3
C．4：2：3：1
D．1：3：2：4
5．（3分）如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ABC∽△ADE的是（ ）
A．∠B＝∠D B．∠C＝∠AED C．＝ D．＝
6． （3分）一个扇形的弧长是10πcm，面积是60πcm2，则此扇形的圆心角的度数是（ ）A．300°
B．150°
C．120°
D．75°
7．（3分）点（﹣2，y1）（﹣3，y2）是抛物线y＝﹣（x+1）2+m上的点，则y1，y2的大小关系为（ ） A．y1＞y2
B．y1＜y2
C．y1＝y2
D．无法确定
8．（3分）如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦．OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点M、N，BA、DC的延长线交于点P，联结OP．下列四个说法中：
①；②OM＝ON；③PA＝PC；④∠BPO＝∠DPO，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（3分）如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，若DE＝6，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的弦心距长等于（ ）
A．4 B．3 C． D．
10．（3分）如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论： ①b＝2a； ②c﹣a＝n；
③抛物线另一个交点（m，0）在﹣2到﹣1之间； ④当x＜0时，ax2+（b+2）x＜0；
⑤一元二次方程ax2+（b﹣）x+c＝0有两个不相等的实数根 其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题
11．（3分）抛物线y＝﹣3（x﹣6）2+9的顶点坐标是 ．
12．（3分）在Rt△ABC中，两直角边的长分别为6和8，则这个三角形的外接圆半径长为 ．
13．（3分）如图，已知△ABC∽△ACP，∠A＝70°，∠APC＝65°，则∠B＝ ．
14．（3分）已知，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，以点A为圆心，r为半径画圆，矩形的四个顶点恰好有一个在⊙A外，则半径r的范围是 ．
15．（3分）阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫做该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x＝1，y＝3，y＝x+2，y＝﹣x+4．
问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A，C分别在x轴和y轴上，抛物线y＝﹣（x﹣a）2+b经过B，C两点，顶点D在正方形内部．
若点D有一条特征线是y＝x+2，则此抛物线的表达式是 ．
16．（3分）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB＝4cm，∠CAB＝60°，P是弧
上的一个动点，连接AP，过C点作CD⊥AP于D，连接BD，在点P移动的过程
中，BD的最小值是 ．
三．解答题
17． 如图所示，已知△ABC的顶点A、B、C的坐标分别是A（﹣1，﹣1）、B（﹣4，﹣3）、
C（﹣4，﹣1）．
（1）作出△ABC关于原点O中心对称的图形△A′B′C′；
（2）将△ABC绕原点O按顺时针方向旋转90°后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点的坐标．
18．已知：如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且AC＝1，CD＝2，DB＝4．求证：△ACP∽△PDB．
19．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．
（1）求证：AE＝ED；
（2）若AB＝8，∠CBD＝30°，求图中阴影部分的面积．
20．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴、y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一点B． （1）求抛物线解析式及B点坐标； （2）x2+bx+c≤﹣5x+5的解集是 ；
（3）若点M为抛物线上一动点，连接MA、MB，当点M运动到某一位置时，△ABM面积为△ABC的面积的倍，求此时点M的坐标．
21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，延长DC交AB的延长线于点E． （1）若∠ADC＝86°，求∠CBE的度数； （2）若AC＝EC，求证：AD＝BE．
22．某商场经营某种品牌的计算器，购进时的单价是20元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是30元时，销售量是600个，而销售单价每上涨1元，就会少售出10个． （1）不妨设该种品牌计算器的销售单价为x元（x＞30），请你分别用x的代数式来表示销售量y个和销售该品牌计算器获得利润w元，并把结果填写在表格中：
销售单价（元） 销售量y（个） 销售计算器获得利润w（元） x（x＞30） （2）在第（1）问的条件下，若计算器厂规定该品牌计算器销售单价不低于35元，且商场要完成不少于500个的销售任务，求：商场销售该品牌计算器获得最大利润是多少？ 23．四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．
（1）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝100°，∠ADC＝130°，BD≠BC，对角线BD平分∠ABC．求证：BD是四边形ABCD的“相似对角线”；
（2）如图2，已知格点△ABC，请你在正方形网格中画出所有的格点四边形ABCD，使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形；（注：顶点在小正方形顶点处的多边形称为格点多边形）
（3）如图3，四边形AOBC中，点A在射线OP：y＝
x（x≥0）上，点B在x轴正半
轴上，对角线OC平分∠AOB，连接AB．若OC是四边形AOBC的“相似对角线”，S△
AOB＝6
，求点C的坐标．
24．已知抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a＜0）的顶点为A，交y轴交于点C，过C作CB∥x轴交抛物线于点，过点B作直线l⊥x轴，连结OA并延长，交l于点D，连结OB． （1）当a＝﹣1时，求线段OB的长．
（2）是否存在特定的a值，使得△OBD为等腰三角形？若存在，请写出a值的计算过程；若不存在，请说明理由．
（3）设△OBD的外心M的坐标为（m，n），求m与n的数量关系式．
2019-2020学年浙江省绍兴市柯桥区九年级（上）期中数学试卷
参与试题解析
一．选择题
1．（3分）已知＝，则A．
B．
的值为（ ）
C．
D．
【分析】根据比例的性质解答即可． 【解答】解：∵∴故选：A．
【点评】此题考查比例的性质，关键是根据比例的性质解答．
2．（3分）如图，点A，B，C在圆O上，若∠BOC＝72°，则∠BAC的度数是（ ）
，
，
A．72° B．54° C．36° D．18°
【分析】直接利用圆周角定理求解．
【解答】解：∠BAC＝∠BOC＝×72°＝36°． 故选：C．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
3．（3分）把抛物线y＝x2+4先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线表达式为（ ） A．y＝（x+1）2+7
B．y＝（x﹣1）2+7
C．y＝（x﹣1）2+1 D．y＝（x+1）2+1
【分析】原抛物线的顶点坐标为（0，2），根据平移规律得平移后抛物线顶点坐标为（﹣1，1），根据抛物线的顶点式求解析式．
【解答】解：抛物线y＝x2+4的顶点坐标为（0，4），
向左平移1个单位，再向下平移3个单位顶点坐标为（﹣1，1）， ∴平移后抛物线解析式为y＝（x+1）2+1 故选：D．
【点评】本题考查了抛物线的平移与抛物线解析式的联系．关键是把抛物线的平移转化为顶点的平移，利用顶点式求解析式．
4．（3分）在圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的度数之比可能是（ ） A．1：2：3：4
B．4：2：1：3
C．4：2：3：1
D．1：3：2：4
【分析】因为圆的内接四边形对角互补，则两对角的和应该相等，比值所占份数也相同，据此求解．
【解答】解：∵圆的内接四边形对角互补， ∴∠A+∠C＝∠B+∠D＝180°，
∴∠A：∠B：∠C：∠D的可能的值是4：2：1：3． 故选：B．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．
5．（3分）如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ABC∽△ADE的是（ ）
A．∠B＝∠D B．∠C＝∠AED C．＝ D．＝
【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【解答】解：∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠DAE＝∠BAC，
∴A，B，D都可判定△ABC∽△ADE
选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定：
①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；
②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似； ③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
6． （3分）一个扇形的弧长是10πcm，面积是60πcm2，则此扇形的圆心角的度数是（ ）A．300°
B．150°
C．120°
D．75°
【分析】利用扇形面积公式1求出R的值，再利用扇形面积公式2计算即可得到圆心角度数．
【解答】解：∵一个扇形的弧长是10πcm，面积是60πcm2， ∴S＝Rl，即60π＝×R×10π， 解得：R＝12， ∴S＝60π＝解得：n＝150°， 故选：B．
【点评】此题考查了扇形面积的计算，以及弧长的计算，熟练掌握扇形面积公式是解本题的关键．
7．（3分）点（﹣2，y1）（﹣3，y2）是抛物线y＝﹣（x+1）2+m上的点，则y1，y2的大小关系为（ ） A．y1＞y2
B．y1＜y2
C．y1＝y2
D．无法确定
，
【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，然后根据二次函数的性质得到y1、y2的大小关系．
【解答】解：∵二次函数的解析式为y＝﹣（x+1）2+m， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1， ∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大， ∵﹣1＞﹣2＞﹣3， ∴y1＞y2． 故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
8．（3分）如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦．OM⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点M、N，BA、DC的延长线交于点P，联结OP．下列四个说法中：
①；②OM＝ON；③PA＝PC；④∠BPO＝∠DPO，正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】如图连接OB、OD，只要证明Rt△OMB≌Rt△OND，Rt△OPM≌Rt△OPN即可解决问题．
【解答】解：如图连接OB、OD；
∵AB＝CD， ∴
＝
，故①正确
∵OM⊥AB，ON⊥CD， ∴AM＝MB，CN＝ND， ∴BM＝DN， ∵OB＝OD，
∴Rt△OMB≌Rt△OND， ∴OM＝ON，故②正确， ∵OP＝OP，
∴Rt△OPM≌Rt△OPN，
∴PM＝PN，∠OPB＝∠OPD，故④正确， ∵AM＝CN，
∴PA＝PC，故③正确， 故选：D．
【点评】本题考查垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定和性质等知识，
解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 9．（3分）如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，若DE＝6，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的弦心距长等于（ ）
A．4 B．3 C． D．
【分析】作直径CF，连接BF，如图，利用等角的补角相等得到∠BAF＝∠EAD，则BF＝DE＝6，根据圆周角定理得到∠CBF＝90°，作AH⊥BF，如图，然后利用AH为△CBF的中位线得到AH的长．
【解答】解：作直径CF，连接BF，如图， ∵∠BAC+∠EAD＝180°，∠BAC+∠BAF＝180°， ∴∠BAF＝∠EAD， ∴BF＝DE＝6， ∵AF为直径， ∴∠CBF＝90°， 作AH⊥BF，如图， ∴BH＝CH，
∴AH为△CBF的中位线， ∴AH＝BF＝3，
即弦BC的弦心距长等于3． 故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的
圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．
10．（3分）如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论： ①b＝2a； ②c﹣a＝n；
③抛物线另一个交点（m，0）在﹣2到﹣1之间； ④当x＜0时，ax2+（b+2）x＜0；
⑤一元二次方程ax2+（b﹣）x+c＝0有两个不相等的实数根 其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 【分析】①根据抛物线的对称轴公式即可求解；
②当x等于1时，y等于n，再利用对称轴公式即可求解； ③根据抛物线的对称性即可求解； ④根据抛物线的平移即可求解； ⑤根据一元二次方程的判别式即可求解． 【解答】解：①因为抛物线的对称轴为x＝1， 即﹣
＝1，所以b＝﹣2a，
所以①错误； ②当x＝1时，y＝n，
所以a+b+c＝n，因为b＝﹣2a， 所以﹣a+c＝n， 所以②正确；
③因为抛物线的顶点坐标为（1，n），
D．4个
即对称轴为x＝1，
且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间， 所以抛物线另一个交点（m，0）在﹣2到﹣1之间； 所以③正确；
④因为ax2+（b+2）x＜0，即ax2+bx＜﹣2x 根据图象可知：
把抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象向下平移c个单位后图象过原点， 即可得抛物线y＝ax2+bx（a≠0）的图象， 所以当x＜0时，ax2+bx＜﹣2x， 即ax2+（b+2）x＜0． 所以④正确；
⑤一元二次方程ax2+（b﹣）x+c＝0 △＝（b﹣）2﹣4ac
因为根据图象可知：a＜0，c＞0， 所以﹣4ac＞0，
所以△＝（b﹣）2﹣4ac＞0
所以一元二次方程ax2+（b﹣）x+c＝0有两个不相等的实数根． 所以⑤正确． 故选：D．
【点评】本题考查了二次函数与不等式、根的判别式、二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，解决本题的关键是综合运用以上知识． 二．填空题
11．（3分）抛物线y＝﹣3（x﹣6）2+9的顶点坐标是 （6，9）． ． 【分析】已知解析式为抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标． 【解答】解：∵y＝3（x﹣6）2+9是抛物线解析式的顶点式， ∴根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（6，9）． 故答案为：（6，9）．
【点评】此题主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法．利用解析式化为y＝a（x﹣h）2+k，
顶点坐标是（h，k），对称轴是x＝h得出是解题关键．
12．（3分）在Rt△ABC中，两直角边的长分别为6和8，则这个三角形的外接圆半径长为 5 ．
【分析】直角三角形外接圆的直径是斜边的长． 【解答】解：由勾股定理得：AB＝∵∠ACB＝90°， ∴AB是⊙O的直径，
∴这个三角形的外接圆直径是10； ∴这个三角形的外接圆半径长为5， 故答案为：5．
＝10，
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，知道直角三角形外接圆的直径是斜边的长是关键；外心是三边垂直平分线的交点，外心到三个顶点的距离相等．
13．（3分）如图，已知△ABC∽△ACP，∠A＝70°，∠APC＝65°，则∠B＝ 45° ．
【分析】根据相似三角形对应角相等可得∠ACB＝∠APC＝65°，再根据三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：∵△ABC∽△ACP， ∴∠ACB＝∠APC＝65°， ∵∠A＝70°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣70°﹣65°＝45°． 故答案为45°．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形对应角相等是解题的关键．也
考查了三角形内角和定理．
14．（3分）已知，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，以点A为圆心，r为半径画圆，矩形的四个顶点恰好有一个在⊙A外，则半径r的范围是 4≤r＜5 ．
【分析】点B离A最近，点C离A最远，要想矩形的四个顶点恰好有一个在⊙A外，若r小于AD则必有两点在⊙A外，那么r必须大于或等于AD，且小于AC． 【解答】解：由题意可知，r必须大于或等于AD，且小于AC， 而AD＝4， AC＝
＝5，
所以r的范围为：4≤r＜5． 故答案为4≤r＜5．
【点评】本题涉及矩形和直角三角形的相关性质，难度中等．
15．（3分）阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫做该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x＝1，y＝3，y＝x+2，y＝﹣x+4．
问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A，C分别在x轴和y轴上，抛物线y＝﹣（x﹣a）2+b经过B，C两点，顶点D在正方形内部．
若点D有一条特征线是y＝x+2，则此抛物线的表达式是 y＝﹣（x+4﹣42 ．
2
+4）
﹣【分析】由特征线确定a与b的关系为b＝a+2，再有D点横坐标，确定正方形边长为2a，进而得到C（0，2a），将C点坐标代入函数解析式即可求得a． 【解答】解：由题意可知D（a，b）在y＝x+2上， ∴b＝a+2，
∴正方形的边长为2a，
∴C（0，2a），
将点C代入y＝﹣（x﹣a）2+b得到， ﹣（﹣a）2+a+2＝2a， ∴a＝﹣4+4
或a＝﹣4﹣4
）2+4
（舍去）， ﹣2； ）2+4
﹣2．
∴y＝﹣（x+4﹣4
故答案为y＝﹣（x+4﹣4
【点评】本题考查二次函数图象及性质，正方形的性质，一次函数图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，结合正方形的对称性，确定C点的坐标是解题的关键． 16．（3分）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，AB＝4cm，∠CAB＝60°，P是弧
上的一个动点，连接AP，过C点作CD⊥AP于D，连接BD，在点P移动的过程
﹣1）cm ．
中，BD的最小值是 （
【分析】以AC为直径作圆O′，连接BO′、BC．在点P移动的过程中，点D在以AC为直径的圆上运动，当O′、D、B共线时，BD的值最小，最小值为O′B﹣O′D，利用勾股定理求出BO′即可解决问题．
【解答】解：如图，以AC为直径作圆O′，连接BO′、BC．
∵CD⊥AP， ∴∠ADC＝90°，
∴在点P移动的过程中，点D在以AC为直径的圆上运动， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，∵AB＝4cm，∠CAB＝60°， ∴BC＝AB•sin60°＝2
，AC＝AB•cos60°＝2cm．
＝
＝
，
在Rt△BCO′中，BO′＝
∵O′D+BD≥O′B，
∴当O′、D、B共线时，BD的值最小，最小值为O′B﹣O′D＝故答案为（
﹣1）cm．
﹣1，
【点评】本题考查圆周角定理，勾股定理、点与圆的位置关系等知识，解题的关键是确定点D的运动轨迹是以AC为直径的圆上运动，属于中考填空题中的压轴题． 三．解答题
17． 如图所示，已知△ABC的顶点A、B、C的坐标分别是A（﹣1，﹣1）、B（﹣4，﹣3）、C（﹣4，﹣1）．
（1）作出△ABC关于原点O中心对称的图形△A′B′C′；
（2）将△ABC绕原点O按顺时针方向旋转90°后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点的坐标．
【分析】（1）分别作出各点关于原点的对称点，再顺次连接即可； （2）根据图形旋转的性质画出△A1B1C1即可． 【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求；
（2）如图所示，△A1B1C1即为所求，A1（﹣1，1）B1（﹣3，﹣4）C1（﹣1，﹣4）． 【点评】本题考查的是作图﹣旋转变换，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键．18．已知：如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且AC＝1，CD＝2，DB＝4．求证：△ACP∽△PDB．
【分析】根据等边三角形的性质得到∠PCD＝∠PDC＝60°，PC＝CD＝PD＝2，得到∠PCA＝∠PDB＝120°，根据已知条件得到【解答】证明：∵△PCD是等边三角形， ∴∠PCD＝∠PDC＝60°，PC＝CD＝PD＝2， ∴∠PCA＝∠PDB＝120°， ∵AC＝1，BD＝4， ∴∴
＝
，，
＝，
＝
，于是得到结论．
∴△ACP∽△PDB．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
19．如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．
（1）求证：AE＝ED；
（2）若AB＝8，∠CBD＝30°，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）根据平行线的性质得出∠AEO＝90°，再利用垂径定理证明即可．
（2）根据S阴＝S扇形OAD﹣S△ADO计算即可． 【解答】证明：（1）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵OC∥BD，
∴∠AEO＝∠ADB＝90°， 即OC⊥AD， ∴AE＝ED；
（2）连接CD，OD，
∵OC∥BD，
∴∠OCB＝∠CBD＝30°， ∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC＝30°， ∴∠AOC＝∠OCB+∠OBC＝60°， ∵∠COD＝2∠CBD＝60°， ∴∠AOD＝120°， ∴S阴＝S扇形OAD﹣S△ADO＝
﹣•4
×2＝
﹣4
【点评】本题考查扇形的面积公式，垂径定理，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴、y轴分别交于A，C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一点B． （1）求抛物线解析式及B点坐标；
（2）x2+bx+c≤﹣5x+5的解集是 0≤x≤1 ；
（3）若点M为抛物线上一动点，连接MA、MB，当点M运动到某一位置时，△ABM面
积为△ABC的面积的倍，求此时点M的坐标．
【分析】（1）根据已知条件将A点、C点代入抛物线即可求解； （2）根据抛物线与直线的交点坐标即可求解；
（3）先设动点M的坐标，再根据两个三角形的面积关系即可求解． 【解答】解：（1）因为直线y＝﹣5x+5与x轴、y轴分别交于A，C两点， 所以当x＝0时，y＝5，所以C（0，5） 当y＝0时，x＝1，所以A（1，0） 因为抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点， 所以c＝5，1+b+5＝0，解得b＝﹣6， 所以抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5．
当y＝0时，0＝x2﹣6x+5．解得x1＝1，x2＝5． 所以B点坐标为（5，0）． 答：抛物线解析式为y＝x2﹣6x+5． B点坐标为（5，0）； （2）观察图象可知：
x2+bx+c≤﹣5x+5的解集是0≤x≤1． 故答案为0≤x≤1． （3）设M（m，m2﹣6m+5）
因为S△ABM＝S△ABC＝××4×5＝8． 所以×4•|m2﹣6m+5|＝8 所以|m2﹣6m+5|＝±4．
所以m2﹣6m+9＝0或m2﹣6m+1＝0
解得m1＝m2＝3或m＝3±2
．
，4）或（3﹣2
，4）．
，4）．
所以M点的坐标为（3，﹣4）或（3+2
答：此时点M的坐标为（3，﹣4）或（3+2，4）或（3﹣2
【点评】本题考查了二次函数与不等式的关系、待定系数法求二次函数解析式、抛物线与x轴的交点，解决本题的关键是综合运用以上知识．
21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，延长DC交AB的延长线于点E． （1）若∠ADC＝86°，求∠CBE的度数； （2）若AC＝EC，求证：AD＝BE．
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质计算即可； （2）证明△ADC≌△EBC即可．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC+∠ABC＝180°， 又∵∠ADC＝86°， ∴∠ABC＝94°，
∴∠CBE＝180°﹣94°＝86°； （2）证明：∵AC＝EC， ∴∠E＝∠CAE， ∵AC平分∠BAD， ∴∠DAC＝∠CAB， ∴∠DAC＝∠E，
∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC+∠ABC＝180°， 又∵∠CBE+∠ABC＝180°， ∴∠ADC＝∠CBE， 在△ADC和△EBC中，
，
∴△ADC≌△EBC， ∴AD＝BE．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
22．某商场经营某种品牌的计算器，购进时的单价是20元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是30元时，销售量是600个，而销售单价每上涨1元，就会少售出10个． （1）不妨设该种品牌计算器的销售单价为x元（x＞30），请你分别用x的代数式来表示销售量y个和销售该品牌计算器获得利润w元，并把结果填写在表格中：
销售单价（元） 销售量y（个） 销售计算器获得利润w（元） x（x＞30） ﹣10x+900 ﹣10x2+1100x﹣18000 （2）在第（1）问的条件下，若计算器厂规定该品牌计算器销售单价不低于35元，且商场要完成不少于500个的销售任务，求：商场销售该品牌计算器获得最大利润是多少？ 【分析】（1）根据题意可以用含x的代数式分别表示出y和w，本题得以解决； （2）根据题意可以列出相应的不等式和将w的关系式化为顶点式，本题得以解决． 【解答】解：（1）由题意可得， y＝600﹣10（x﹣30）＝﹣10x+900；
w＝（x﹣20）（﹣10x+900）＝﹣10x2+1100x﹣18000， 即y＝﹣10x+900，w＝﹣10x2+1100x﹣18000， 故答案为：y＝﹣10x+900，w＝﹣10x2+1100x﹣18000；
（2）由题意可得，解得，35≤x≤40，
∵w＝﹣10x2+1100x﹣1800＝﹣10（x﹣55）2+18000，
∴当x＝40时，w取得最大值，此时w＝﹣10（40﹣55）2+18000＝10000， 即商场销售该品牌玩具获得最大利润是10000元．
，
【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
23．四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．
（1）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝100°，∠ADC＝130°，BD≠BC，对角线BD平分∠ABC．求证：BD是四边形ABCD的“相似对角线”；
（2）如图2，已知格点△ABC，请你在正方形网格中画出所有的格点四边形ABCD，使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形；（注：顶点在小正方形顶点处的多边形称为格点多边形）
（3）如图3，四边形AOBC中，点A在射线OP：y＝
x（x≥0）上，点B在x轴正半
轴上，对角线OC平分∠AOB，连接AB．若OC是四边形AOBC的“相似对角线”，S△
AOB＝6
，求点C的坐标．
【分析】（1）∠ADB＝180°﹣∠ABD﹣∠A＝130°﹣∠A，∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝130°﹣（130°﹣∠A）＝∠A，即可求解；
（2）如图所示，根据两个三角形夹角相等，夹边成比例，则三角形相似，即可求解；
（3）利用△AOC∽△COB，则OA•OB＝OC2，而S△AOB＝OAsin60°＝6
，即可求解．
×OB×yA＝
×OB×
【解答】解：（1）如图1，∵对角线BD平分∠ABC，则∠ABD＝∠DBC＝50°， ∠ADB＝180°﹣∠ABD﹣∠A＝130°﹣∠A，
∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝130°﹣（130°﹣∠A）＝∠A，又∠ABD＝∠DBC＝50°， ∴△ABD∽△DBC，
即BD是四边形ABCD的“相似对角线”； （2）如下图所示： ∵∠ABC＝∠ACD1＝90°，
，∴△ABC∽△ACD1，
故：以AC为“相似对角线”的四边形有：ABCD1，
同理可得：以AC为“相似对角线”的四边形还有：ABCD2、ABCD3、ABCD4； 故：以AC为“相似对角线”的四边形有：ABCD1、ABCD2、ABCD3、ABCD4；
（3）∵∠OAC＝∠OCB，∴△AOC∽△COB， 则：OA•OB＝OC2，
∵S△AOB＝×OB×yA＝×OB×OAsin60°＝即：OA•OB＝24，即：OC＝2yC＝OCsin30°＝即点C的坐标为（3
，
，
×OA×OB＝6
，
，同理可得：xC＝3，
）．
【点评】本题是阅读理解型一次函数综合题，此类题目通常要弄清楚题意，逐次求解，一般难度不是很大．
24．已知抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a＜0）的顶点为A，交y轴交于点C，过C作CB
∥x轴交抛物线于点，过点B作直线l⊥x轴，连结OA并延长，交l于点D，连结OB． （1）当a＝﹣1时，求线段OB的长．
（2）是否存在特定的a值，使得△OBD为等腰三角形？若存在，请写出a值的计算过程；若不存在，请说明理由．
（3）设△OBD的外心M的坐标为（m，n），求m与n的数量关系式．
【分析】（1）点B（4，﹣3），故OB＝5；
（2）分OD＝OB、OD＝BD、OB＝BD三种情况，分别求解即可；
y＝x﹣a﹣…①，（3）线段OD的中垂线的表达式为：线段BD的中垂线的表达式为：y＝a…②，联立①②并解得：x＝a2+2＝m，y＝a＝n，即可求解． 【解答】解：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3），
则点C（0，3a）、函数的对称轴为：x＝2，则点B（4，3a），点A（2，﹣a），点D（4，﹣2a）；
（1）点B（4，﹣3），故OB＝5；
（2）OD2＝16+4a2，OB2＝16+9a2，BD2＝25a2，
①当OD＝OB时，即16+4a2＝16+9a2，解得：a＝0（舍去）； ②当OD＝BD时，同理可得：a＝﹣
（正值已舍去）；
③当OB＝BD时，同理可得：a＝﹣1（正值已舍去）； 综上，a＝﹣1或﹣
（3）线段OD的函数表达式为：y＝﹣ax，直线OD的中点为点A（2，﹣a），
；
则线段OD的中垂线的表达式为：y＝x+b， 将点A的坐标代入上式并解得：
线段OD的中垂线的表达式为：y＝x﹣a﹣…①， 线段BD的中垂线的表达式为：y＝a…②， 联立①②并解得：x＝a2+2＝m，y＝a＝n， 故m＝3n2+2．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角形外心、等腰三角形的性质等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．
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