§9.3 椭圆及其性质
考纲解读
考点 内容解读 1.掌握椭圆的定义,并会用椭圆的定要求 高考示例 2017天津,20; 常考题型 选择题、 预测热度 1.椭圆的定义及其标准方程 义进行解题 Ⅲ 2.掌握椭圆的几何图形和标准方程,并会用待定系数法求椭圆的方程 2016天津,19; 填空题、 2015广东,8; 解答题 2014大纲全国,15 2017课标全国Ⅰ,12; ★★☆ 1.掌握椭圆的几何性质(如图形、范2017浙江,2; 围、对称性等),并会熟练运用 2.椭圆的几何性质 2.理解椭圆离心率的定义,并会求椭2016课标全国Ⅲ,12; 圆的离心率 2015课标Ⅰ,5 1.掌握直线和椭圆位置关系的判断方法 3.直线与椭圆的位置关系 能通过直线与椭圆位置关系解答相应问题
分析解读
从近几年的高考试题来看,椭圆的定义、标准方程、几何性质以及直线与椭圆的位置关系一直是高考命题的重点和热点,离心率问题是每年高考考查的重点,多在选择题和填空题中出现,主要考查学生结合定义、几何性质等分析问题、解决问题的能力以及运算能力,分值为5分,属于中档题目;在解答题中主要以直线与椭圆的位置关系为考查对象,考查面较广,往往会和平面向量、函数、导数、不等式等知识相结合,在考查对椭圆基本概念和性质理解及应用的同时,又考查直线与圆锥曲线的位置关系,考查数形结合思想和转化与化归思想的应用.
2.理解“整体代换”思想的含义,并Ⅱ 2017北京,19; 2016课标全国Ⅱ,21; 2016四川,20; 2015北京,20; 2014陕西,20 选择题、 填空题、 解答题 ★★★ 解答题 Ⅲ 2016课标全国Ⅰ,5; 选择题、 填空题、 ★★★
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1𝑏2
(1)设椭圆的离心率为e.由已知,可得(c+a)c=.
22又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0. 11
又因为0 1 (2)(i)依题意,设直线FP的方程为x=my-c(m>0),则直线FP的斜率为. 𝑚𝑥𝑦(2𝑚-2)𝑐3𝑐(2𝑚-2)𝑐3𝑐3+=1,即x+2y-2c=0,与直线FP的方程联立,可解得x=,y=,即点Q的坐标为 , .由已知|FQ|=c,有2𝑐𝑐𝑚+2𝑚+2𝑚+2𝑚+22由(1)知a=2c,可得直线AE的方程为 2 (2𝑚-2)𝑐3𝑐23𝑐243 +c + = ,整理得3m2-4m=0,所以m=,即直线FP的斜率为. 𝑚+2𝑚+2234(ii)由a=2c,可得b= 3c, 𝑥2𝑦2 +=1. 4𝑐23𝑐2故椭圆方程可以表示为 曲一线 让每一位学生分享高品质教育 3𝑥-4𝑦+3𝑐=0, 消去y,整理得7x+6cx-13c=0, 由(i)得直线FP的方程为3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立得 𝑥2𝑦2 +=1,222 2 4𝑐3𝑐 解得x=- 13𝑐3𝑐 (舍去),或x=c.因此可得点P 𝑐, ,进而可得|FP|= (𝑐72+𝑐)2+ 3𝑐25𝑐5𝑐3𝑐 =,所以|PQ|=|FP|-|FQ|=-=c. 2222由已知,线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离,故直线PM和QN都垂直于直线FP. 3𝑐39𝑐127𝑐275𝑐275𝑐227𝑐2 ³=,所以△FQN的面积为|FQ||QN|=,同理△FPM的面积等于,由四边形PQNM的面积为3c,得-=3c,整248232323232 因为QN⊥FP,所以|QN|=|FQ|²tan∠QFN=理得c2=2c,又由c>0,得c=2. 𝑥2𝑦2 +=1. 1612 所以,椭圆的方程为 五年高考 考点一 椭圆的定义及其标准方程 1.(2015广东,8,5分)已知椭圆+A.2 B.3 C.4 D.9 𝑥2𝑦2 =1(m>0)的左焦点为25𝑚2F1(-4,0),则m=( ) 答案 B 2.(2014大纲全国,9,5分)已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点.若 3𝑥2𝑦2𝑎𝑏 3△AF1B的周长为4 3,则C的方程为( ) A.+=1 C.+=1 答案 A 3.(2014辽宁,15,5分)已知椭圆C:+=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|= . 答案 12 4.(2016天津,19,14分)设椭圆2+=1(a> 3)的右焦点为F,右顶点为A.已知+=,其中O为原点,e为椭圆的离心率. 𝑎3|𝑂𝐹||𝑂𝐴||𝐹𝐴|(1)求椭圆的方程; (2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BF⊥HF,且∠MOA=∠MAO,求直线l的斜率. 𝑥2𝑦2 1 1 3𝑒 𝑥2𝑦2 94 𝑥2𝑦2128𝑥2𝑦232B.+y=1 D.+=1 𝑥2𝑦2124 𝑥232 曲一线 让每一位学生分享高品质教育 解析 (1)设F(c,0),由 2 2 2 2 113𝑒113𝑐+=,即+=,可得|𝑂𝐹||𝑂𝐴||𝐹𝐴|𝑐𝑎𝑎(𝑎-𝑐) 2 a-c=3c, 222 又a-c=b=3,所以c=1,因此a=4. 所以,椭圆的方程为+=1. (2)设直线l的斜率为k(k≠0), 则直线l的方程为y=k(x-2). 设 𝑥2 B(xB,yB),由方程组 4 2 2 2 𝑥2𝑦243 =1,消去y, 𝑦=𝑘(𝑥-2) 2 + 𝑦23 整理得(4k+3)x-16kx+16k-12=0. 解得x=2,或x= 8𝑘2-6 24𝑘+3 ,由题意得xB= 8𝑘2-6 24𝑘+3 ,从而yB= -12𝑘 24𝑘+3 . 12𝑘 9-4𝑘 由(1)知,F(1,0),设H(0,yH),有 𝐹𝐻=(-1,yH), 𝐵𝐹= 2, 4𝑘2-912𝑘𝑦𝐻2 4𝑘+34𝑘2+3 9-4𝑘2 . 12𝑘 . ²𝐹𝐻 =0,所以由BF⊥HF,得𝐵𝐹 因此直线MH的方程为y=-x+1 𝑘 4𝑘2+34𝑘2+3 +=0,解得yH= 9-4𝑘2 . 12𝑘 𝑦=𝑘(𝑥-2), 设M(xM,yM),由方程组 19-4𝑘2消去y, 𝑦=-x+ 𝑘 12𝑘 解得xM= 20𝑘2+9 12(𝑘2+1) . 2 222 在△MAO中,∠MOA=∠MAO⇔|MA|=|MO|,即(xM-2)+𝑦𝑀=𝑥𝑀+𝑦𝑀,化简得xM=1,即 20𝑘+9 22 12(𝑘+1) =1,解得k=-,或k=. 4 4 6 6所以,直线l的斜率为-或. 4 4 6 6 5.(2015重庆,21,12分)如图,椭圆2+2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆于P,Q两点,且PQ⊥PF1. (1)若|PF1|=2+ 2,|PF2|=2- 2,求椭圆的标准方程; (2)若|PQ|=λ|PF1|,且≤λ<,试确定椭圆离心率e的取值范围. 3 443𝑥2𝑦2𝑎𝑏 解析 (1)由椭圆的定义,2a=|PF1|+|PF2|=(2+ 2)+(2- 2)=4,故a=2. 设椭圆的半焦距为c,由已知PF1⊥PF2,因此 2c=|F1F2|= |𝑃𝐹1|2+|P𝐹2|2= (2+ 2)2+(2- 2)2=2 3,即c= 3,从而b= 𝑎2-𝑐2=1. 曲一线 让每一位学生分享高品质教育 故所求椭圆的标准方程为+y=1. 2 𝑥24 (2)如图,连接QF1,由PF1⊥PQ,|PQ|=λ|PF1|,得 |QF1|= |𝑃𝐹1|2+|PQ|2= 1+𝜆2|PF1|. 由椭圆的定义,|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a,进而 |PF1|+|PQ|+|QF1|=4a. 于是(1+λ+ 1+𝜆2)|PF1|=4a, 解得|PF1|=4𝑎1+𝜆+ 1+𝜆2, 故|PF2|=2a-|PF1|=2𝑎(𝜆+ 1+𝜆2-1)1+𝜆+ 1+𝜆2. 由勾股定理得 |PF1|+|PF2|=|F1F2|=(2c)=4c, 2 2 2 2 2 2 从而 4𝑎1+𝜆+ 1+𝜆22 + 2𝑎(𝜆+ 1+𝜆2-1)1+𝜆+ 1+𝜆22 =4c, 2 两边除以4a,得 4(𝜆+ 1+𝜆2-1)2 (1+𝜆+ 1+𝜆2)2(1+𝜆+ 1+𝜆2)2+=e. 2 若记t=1+λ+ 1+𝜆2,则上式变成 e= 2 4+(𝑡-2)21121 =8 - +. 𝑡42𝑡24 11 1 1 2 由≤λ<,并注意到t=1+λ+ 1+𝜆2关于λ的单调性,得3≤t<4,即<≤.进而 6.(2015天津,19,14分)已知椭圆2+2=1(a>b>0)的上顶点为B,左焦点为F,离心率为. 5𝑥2𝑦2 𝑎𝑏 535 2 5(1)求直线BF的斜率; (2)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B),过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q(Q异于点B),直线PQ与y轴交于点M,|PM|=λ|MQ|. (i)求λ的值; 曲一线 让每一位学生分享高品质教育 (ii)若|PM|sin∠BQP= 7 5,求椭圆的方程. 9 𝑐 5𝑎5 2 2 2 解析 (1)设F(-c,0).由已知离心率=及a=b+c,可得a= 5c,b=2c. 又因为B(0,b),F(-c,0), 故直线BF的斜率k= 𝑏-02𝑐 ==2. 0-(-𝑐)𝑐(2)设点P(xP,yP),Q(xQ,yQ),M(xM,yM). (i)由(1)可得椭圆的方程为 5𝑐. 3𝑥2𝑦2 +=1,直线5𝑐24𝑐2BF的方程为y=2x+2c.将直线方程与椭圆方程联立,消去y,整理得3x+5cx=0,解得xP=- 2 因为BQ⊥BP,所以直线BQ的方程为y=-x+2c,与椭圆方程联立,消去y,整理得21x-40cx=0,解得xQ= 2 1240𝑐 . 21 又因为λ= |𝑃𝑀| ,及|𝑀𝑄| xM=0,可得λ= |𝑥𝑀-𝑥𝑃||𝑥𝑃|7 ==. |𝑥𝑄-𝑥𝑀||𝑥𝑄|8 (ii)由(i)有 157 |𝑃𝑀|7|𝑃𝑀|77 =,所以==, |𝑀𝑄|8|𝑃𝑀|+|𝑀𝑄|7+815 即|PQ|=|PM|. 又因为|PM|sin∠BQP= 7 5, 9157 5 5. 3 所以|BP|=|PQ|sin∠BQP=|PM|sin∠BQP=又因为yP=2xP+2c=-c, 所以|BP|= 0+因此 5 55 5c=,得33 5𝑐2 343 + 2𝑐+ 4𝑐25 5 =c, 33c=1. 𝑥2𝑦2 54所以,椭圆方程为+=1. 7.(2014天津,18,13分)设椭圆2+2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B.已知|AB|=|F1F2|. 2𝑥2𝑦2𝑎𝑏 3(1)求椭圆的离心率; (2)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过原点O的直线l与该圆相切.求直线l的斜率. 解析 (1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0).由|AB|=²|F1F2|,可得a+b=3c,又b=a-c,则2=. 2 2 2 2 2 2 32𝑐21𝑎2所以椭圆的离心率e=. 2 2(2)由(1)知a=2c,b=c.故椭圆方程为 2222 𝑥2𝑦2 +=1. 2𝑐2𝑐2 1 B =(c,c). 设P(x0,y0).由F1(-c,0),B(0,c),有 𝐹1P=(x0+c,y0), 𝐹 曲一线 让每一位学生分享高品质教育 1 B =0,即(x0+c)c+y0c=0. 由已知,有 𝐹1P² 𝐹又c≠0,故有 x0+y0+c=0.① 又因为点P在椭圆上, 故 2 𝑥20𝑦0+=1.② 2𝑐2𝑐22 由①和②可得3𝑥0+4cx0=0.而点P不是椭圆的顶点, 故x0=-c,代入①得y0=, 即点P的坐标为 -4𝑐𝑐 , . 33 -3c+02 4 43𝑐3 设圆的圆心为T(x1,y1),则x1= +c22 =-c,y1=3=c,进而圆的半径323 𝑐 5r= (𝑥1-0)2+(𝑦1-c)2=c. 3 设直线l的斜率为k,依题意,直线l的方程为y=kx.由l与圆相切,可得整理得k-8k+1=0,解得k=4± 15. 2 |𝑘𝑥1-𝑦1| 𝑘2+1 =r,即 𝑘 - 2𝑐2𝑐 - 33 5 𝑘2+1 =c, 3 所以直线l的斜率为4+ 15或4- 15. 教师用书专用(8—10) 8.(2013广东,9,5分)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于,则C的方程是( ) 𝑥2𝑦234𝑥2𝑦242𝑥2𝑦24 3𝑥2𝑦24312 A.+=1 C.+=1 答案 D B.+=1 D.+=1 9.(2014四川,20,13分)已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)的左焦点为F(-2,0),离心率为. 3𝑥2𝑦2𝑎𝑏 6(1)求椭圆C的标准方程; (2)设O为坐标原点,T为直线x=-3上一点,过F作TF的垂线交椭圆于P,Q.当四边形OPTQ是平行四边形时,求四边形OPTQ的面积. 解析 (1)由已知可得,=,c=2,所以a= 6. 又由a=b+c,解得b= 2,所以椭圆C的标准方程是+=1. 2 2 2 𝑐 6𝑎3𝑥2𝑦262 (2)设T点的坐标为(-3,m),则直线TF的斜率kTF= 1𝑚 𝑚-0 =-m. -3-(-2) 当m≠0时,直线PQ的斜率kPQ=,直线PQ的方程是x=my-2.当m=0时,直线PQ的方程是x=-2,也符合x=my-2的形式. 设P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线PQ的方程与椭圆C的方程联 𝑥=𝑚𝑦-2, 消去x,得(m2+3)y2-4my-2=0, 立,得 𝑥2𝑦2 +=1, 6 2 曲一线 让每一位学生分享高品质教育 其判别式Δ=16m+8(m+3)>0, 2 2 所以y1+y2= 4𝑚-2 ,y1y2=2, 𝑚2+3𝑚+3-12 . 𝑚2+3 x1+x2=m(y1+y2)-4= 因为四边形OPTQ是平行四边形, 所以 𝑂𝑃= 𝑄𝑇,即(x1,y1)=(-3-x2,m-y2). 𝑥1+𝑥2=𝑦1+𝑦2= -12 𝑚2+34𝑚𝑚2+3 所以 =-3, 解得m=±1. =m, 12 此时,S四边形OPTQ=2S△OPQ=2³²|OF|²|y1-y2| =2 10.(2014辽宁,20,12分)圆x+y=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图). (1)求点P的坐标; (2)焦点在x轴上的椭圆C过点P,且与直线l:y=x+ 3交于A,B两点.若△PAB的面积为2,求C的标准方程. 2 2 4𝑚2-2 -4²2=2 3. 2𝑚+3𝑚+3 解析 (1)设切点坐标为(x0,y0)(x0>0,y0>0),则切线斜率为-0,切线方程为y-y0=-0(x-x0),即x0x+y0y=4.此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S=²²=的坐标为( 2, 2). 𝑥2𝑦2 的标准方程为2+2=1(a>b>0),点 𝑎𝑏 𝑥2 22 上知2+2=1,并由 𝑎2𝑎𝑏 12 4𝑥0 4822 ,由𝑥0+𝑦0=4≥2x0y0知当且仅当𝑦0𝑥0𝑦0 𝑥𝑦0 𝑥𝑦0 x0=y0= 2时x0y0有最大值,即S有最小值,因此点P (2)设CA(x1,y1),B(x2,y2).由点P在C + 𝑦2𝑏2=1, 𝑦=𝑥+ 3𝑥1+𝑥2=-2, 𝑏222 得bx+4 3x+6-2b=0,又x1,x2是方程的根,因此 2 6-2𝑏 𝑥1𝑥2=2, 𝑏 4 3由y1=x1+ 3,y2=x2+ 3,得|AB|= 2|x1-x2|= 2² 3 2 48-24𝑏2+8𝑏4 𝑏 2. 2 2 2 2 2 由点P到直线l的距离为及S△PAB=³|AB|=2得b-9b+18=0,解得b=6或3,因此b=6,a=3(舍)或b=3,a=6,从而所求C的方 4 2 12 3 2程为+=1. 𝑥2𝑦263 曲一线 让每一位学生分享高品质教育 考点二 椭圆的几何性质 1.(2017浙江,2,5分)椭圆+=1的离心率是( ) A. 13𝑥2𝑦294 59 3 B. 3 5C. 23 D. 答案 B 2.(2017课标全国Ⅰ,12,5分)设A,B是椭圆C:+=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是( ) A.(0,1]∪[9,+∞) C.(0,1]∪[4,+∞) 答案 A 3.(2016课标全国Ⅰ,5,5分)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为( ) A. 1314 𝑥2𝑦23𝑚B.(0, 3]∪[9,+∞) D.(0, 3]∪[4,+∞) B. 12C. 23D. 34答案 B 4.(2016课标全国Ⅲ,12,5分)已知O为坐标原点,F是椭圆C:2+2=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为( ) A. 13 𝑥2𝑦2𝑎𝑏 B. 12 C. 23 D. 34 答案 A 5.(2015课标Ⅰ,5,5分)已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=( ) A.3 B.6 C.9 D.12 122 答案 B 6.(2015浙江,15,4分)椭圆2+2=1(a>b>0)的右焦点F(c,0)关于直线y=x的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离心率是 . 答案 2𝑥2𝑦2𝑎𝑏 𝑏𝑐 2 𝑥2𝑦2𝑎𝑏 57.(2015安徽,20,13分)设椭圆E的方程为2+2=1(a>b>0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为. 10 (1)求E的离心率e; (2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点.证明:MN⊥AB. 曲一线 让每一位学生分享高品质教育 解析 (1)由题设条件知,点M的坐标为 a,b , 又kOM=,从而=. 10 𝑐2 5进而a= 5b,c= 𝑎2-𝑏2=2b.故e==. 𝑎 5 𝑎𝑏 = 𝑎,5𝑏 . (2)证明:由N是AC的中点知,点N的坐标为 ,- ,可得 𝑁𝑀 2 2 2 313 5𝑏 52𝑎10 2 2 66 =(-a,b),从而有𝐴𝐵 ²𝑁𝑀 =-a+b=(5b-a). 又𝐴𝐵 2 2 22 =0,故MN⊥AB. 由(1)的计算结果可知a=5b,所以 𝐴𝐵² 𝑁𝑀 1 65616 8.(2014课标Ⅱ,20,12分)设F1,F2分别是椭圆C:2+2=1(a>b>0)的左,右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N. (1)若直线MN的斜率为,求C的离心率; (2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b. 解析 (1)根据c= 𝑎2-𝑏2及题设知M 𝑐, ,2b=3ac. 2 𝑥2𝑦2𝑎𝑏 34 𝑏2𝑎 将b=a-c代入2b=3ac,解得=或=-2(舍去). 2 2 2 2 𝑐1𝑎2𝑐𝑎 故C的离心率为. 𝑏2𝑎2 12 (2)由题意,知原点O为F1F2的中点,MF2∥y轴,所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点,故=4,即b=4a,① 由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|. 设N(x1,y1),由题意知y1<0,则 2(-𝑐-𝑥1)=c,𝑥1=-2c, 即 -2𝑦1=2,𝑦1=-1.代入C的方程,得 9𝑐21 +=1.② 4𝑎2𝑏29(𝑎2-4a)1 +=1. 4𝑎24𝑎3 将①及c= 𝑎2-𝑏2代入②得 2 解得a=7,b=4a=28.故a=7,b=2 7. 教师用书专用(9—14) 9.(2013课标全国Ⅱ,5,5分)设椭圆C:2+2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为( ) A. 6 3𝑥2𝑦2 𝑎𝑏 B. 13 C. 12 D. 3 3曲一线 让每一位学生分享高品质教育 答案 D 10.(2013辽宁,11,5分)已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A、B两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=,则C的离心率为( ) A. 35 45 𝑥2𝑦2𝑎𝑏 B. 57 C. 45 D. 67 答案 B 11.(2013四川,9,5分)从椭圆2+2=1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F1,A是椭圆与x轴正半轴的交点,B是椭圆与y轴正半轴的交点,且AB∥OP(O是坐标原点),则该椭圆的离心率是( ) A. 4 2𝑥2𝑦2𝑎𝑏 B. 12 C. 2 2D. 2 3答案 C 12.(2014江西,14,5分)设椭圆C:2+2=1(a>b>0)的左,右焦点为F1,F2,过F2作x轴的垂线与C相交于A,B两点,F1B与y轴相交于点D,若AD⊥F1B,则椭圆C的离心率等于 . 答案 3𝑥2𝑦2𝑎𝑏 3 𝑥2𝑦2𝑎𝑏 13.(2013福建,15,4分)椭圆Γ:2+2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y= 3(x+c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于 . 答案 3-1 14.(2014广东,20,14分)已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)的一个焦点为( 5,0),离心率为. 3𝑥2𝑦2𝑎𝑏 5(1)求椭圆C的标准方程; (2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程. 解析 (1)由题意得c= 5,∵e==,∴a=3, ∴b= 𝑎2-𝑐2=2, ∴椭圆C的标准方程为+=1. (2)当过P点的两条切线的斜率均存在时,不妨设为k1、k2, 则过P点的切线方程可设为y-y0=k(x-x0)⇒y=kx+y0-kx0, 𝑦=𝑘𝑥+𝑦0-k𝑥0, 消去y,有(4+9k2)x2+18k(y0-kx0)x+9[(y0-kx0)2-4]=0, 由 𝑥2𝑦2 +=1 9 4 𝑥2𝑦294 𝑐 5𝑎3 Δ=[18k(y0-kx0)]-4(4+9k)³9[(y0-kx0)-4]=0, 22 整理得(9-𝑥0)k+2x0y0k-𝑦0+4=0, 2 222 ∴k1k2= 4-𝑦209-𝑥20 (x0≠±3), 曲一线 让每一位学生分享高品质教育 由已知得k1k2=-1, ∴ 4-𝑦209-𝑥20 =-1, 2222∴𝑥0+𝑦0=13,即此时点P的轨迹方程为𝑥0+𝑦0=13. 当两条切线中有一条垂直于x轴时,此时两条切线方程应分别为x=3,y=2或x=-3,y=2或x=3,y=-2或x=-3,y=-2,P点坐标为(3,2) 22或(-3,2)或(3,-2)或(-3,-2),均满足方程𝑥0+𝑦0=13. 22综上所述,所求P点的轨迹方程为𝑥0+𝑦0=13. 考点三 直线与椭圆的位置关系 1.(2017北京,19,14分)已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为. 2 3(1)求椭圆C的方程; (2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.求证:△BDE与△BDN的面积之比为4∶5. 解析 (1)设椭圆C的方程为2+2=1(a>b>0). 𝑎=2,由题意得 𝑐 3 =, 𝑎 2 𝑥2𝑦2𝑎𝑏 解得c= 3. 所以b=a-c=1. 2 2 2 所以椭圆C的方程为+y=1. 2 𝑥24 (2)证明:设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n). 由题设知m≠±2,且n≠0. 直线AM的斜率kAM= 𝑛 ,故直线𝑚+2 DE的斜率kDE=- 𝑚+2 . 𝑛 所以直线DE的方程为y=-直线BN的方程为y= 𝑦=-𝑦= 𝑚+2 (x-m). 𝑛 𝑛 (x-2). 2-𝑚 联立 𝑚+2 (x-m),𝑛 𝑛 (x-2),2-𝑚 𝑛(4-𝑚2) . 4-𝑚2+𝑛22 2 解得点E的纵坐标yE=- 由点M在椭圆C上,得4-m=4n. 所以yE=-n. 又S△BDE=|BD|²|yE|=|BD|²|n|, 12 25 45曲一线 让每一位学生分享高品质教育 S△BDN=|BD|²|n|, 所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5. 2.(2016课标全国Ⅱ,21,12分)已知A是椭圆E:+=1的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在E上,MA⊥NA. (1)当|AM|=|AN|时,求△AMN的面积; (2)当2|AM|=|AN|时,证明: 3 2 12 𝑥2𝑦243 π4 𝑥2𝑦243127 解得y=0或y=,所以y1=. 因此△AMN的面积S△AMN=2³³³=1212712144 .(4749127 分) 𝑥2𝑦243(2)证明:将直线AM的方程y=k(x+2)(k>0)代入+=1得 (3+4k)x+16kx+16k-12=0. 由x1²(-2)= 16𝑘2-123+4𝑘22 2 2 2 得x1= 2(3-4𝑘2)3+4𝑘2, 故|AM|=|x1+2| 1+𝑘2= 12 1+𝑘23+4𝑘21𝑘 . 由题设,直线AN的方程为y=-(x+2), 12𝑘 1+𝑘23𝑘2+42 2=故同理可得|AN|=由2|AM|=|AN|得 3 2 .(7分) ,即4k-6k+3k-8=0.(9分) 2 2 3 2 𝑘 23+4𝑘3𝑘+4 设f(t)=4t-6t+3t-8,则k是f(t)的零点,f'(t)=12t-12t+3=3(2t-1)≥0,所以f(t)在(0,+∞)内单调递增. 又f( 3)=15 3-26<0,f(2)=6>0,因此f(t)在(0,+∞)内有唯一的零点,且零点k在( 3,2)内,所以 3 (2)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB的中点为M,直线OM与椭圆E交于C,D,证明:|MA|²|MB|=|MC|²|MD|. 12 𝑥2𝑦2𝑎𝑏 12 曲一线 让每一位学生分享高品质教育 解析 (1)由已知得,a=2b. 又椭圆2+2=1(a>b>0)过点P 3, , 故 3 2+2=1, 𝑥2𝑦2𝑎𝑏 1412 4𝑏𝑏 解得b=1. 2 所以椭圆E的方程是+y=1. 2 𝑥24 (2)证明:设直线l的方程为y=x+m(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2), 𝑥2 由方程组 4 12+𝑦2=1, 1 x+m,2 𝑦= 得x2+2mx+2m2-2=0,① 方程①的判别式为Δ=4(2-m),由Δ>0,即2-m>0,解得- 2 由①得x1+x2=-2m,x1x2=2m-2. 2 所以M点坐标为 -𝑚, ,直线OM的方程为y=-x, 𝑥2 由方程组 4𝑚212+𝑦2=1, 得C - 2, 2 ,D 2,- 2 . 122 𝑦=-x, 2 5 5所以|MC|²|MD|=(-m+ 2)²( 2+m)=(2-m). 224 2 5 又|MA|²|MB|=|AB|=[(x1-x2)+(y1-y2)]=[(x1+x2)-4x1x2]=[4m-4(2m-2)]=(2-m), 2 2 2 2 2 2 2 141451651654 所以|MA|²|MB|=|MC|²|MD|. 4.(2015北京,20,14分)已知椭圆C:x+3y=3.过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A,B两点,直线AE与直线x=3交于点M. (1)求椭圆C的离心率; (2)若AB垂直于x轴,求直线BM的斜率; (3)试判断直线BM与直线DE的位置关系,并说明理由. 解析 (1)椭圆C的标准方程为+y=1. 2 2 2 𝑥23 所以a= 3,b=1,c= 2. 所以椭圆C的离心率e==. (2)因为AB过点D(1,0)且垂直于x轴, 所以可设A(1,y1),B(1,-y1). 直线AE的方程为y-1=(1-y1)(x-2). 令x=3,得M(3,2-y1). 𝑐 6𝑎3 曲一线 让每一位学生分享高品质教育 所以直线BM的斜率kBM= 2-𝑦1+𝑦13-1 =1. (3)直线BM与直线DE平行.证明如下: 当直线AB的斜率不存在时,由(2)可知kBM=1. 又因为直线DE的斜率kDE= 1-0 =1,所以2-1 BM∥DE. 当直线AB的斜率存在时,设其方程为y=k(x-1)(k≠1). 设A(x1,y1),B(x2,y2),则直线AE的方程为y-1=令x=3,得点M 3, 𝑦1+𝑥1-3𝑥1-2 𝑦1-1𝑥1-2 (x-2). . 𝑥2+3𝑦2=3,2222由 得(1+3k)x-6kx+3k-3=0. 𝑦=𝑘(𝑥-1)所以x1+x2= 6𝑘21+3𝑘2,x1x2= 3𝑘2-3 1+3𝑘2. 直线BM的斜率kBM=因为kBM-1== 𝑦1+𝑥1-3 -𝑦2 𝑥1-23-𝑥2 . 𝑘(𝑥1-1)+𝑥1-3-k(𝑥2-1)(𝑥1-2)-(3-𝑥2)(𝑥1-2) (3-𝑥2)(𝑥1-2) (𝑘-1)[-𝑥1𝑥2+2(𝑥1+𝑥2)-3] (3-𝑥2)(𝑥1-2)(𝑘-1) 2 -3𝑘+312𝑘2 2+2-3 1+3𝑘1+3𝑘 ==0, (3-𝑥2)(𝑥1-2) 所以kBM=1=kDE. 所以BM∥DE. 综上可知,直线BM与直线DE平行. 5.(2015湖南,20,13分)已知抛物线C1:x=4y的焦点F也是椭圆C2:2+2=1(a>b>0)的一个焦点,C1与C2的公共弦的长为2 6.过点 与 同向. F的直线l与C1相交于A,B两点,与C2相交于C,D两点,且 𝐴𝐶𝐵𝐷(1)求C2的方程; (2)若|AC|=|BD|,求直线l的斜率. 解析 (1)由C1:x=4y知其焦点F的坐标为(0,1).因为F也是椭圆C2的一个焦点,所以a-b=1.① 2 2 2 2 𝑦2𝑥2 𝑎𝑏 又C1与C2的公共弦的长为2 6,C1与C2都关于y轴对称,且C1的方程为x=4y, 2 由此易知C1与C2的公共点的坐标为 ± 6, , 所以 96 +=1.② 4𝑎2𝑏22 2 32 联立①,②得a=9,b=8.故C2的方程为+=1. 𝑦2𝑥298 曲一线 让每一位学生分享高品质教育 (2)如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4). 与 = 同向,且|AC|=|BD|,所以 ,从而x3-x1=x4-x2,即x1-x2=x3-x4,于是(x1+x2)2-4x1x2=(x3+x4)2-4x3x4.③ 因 𝐴𝐶𝐵𝐷𝐴𝐶𝐵𝐷设直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx+1. 𝑦=𝑘𝑥+1,2由 2得x-4kx-4=0. 𝑥=4y而x1,x2是这个方程的两根, 所以x1+x2=4k,x1x2=-4.④ 𝑦=𝑘𝑥+1, 得(9+8k2)x2+16kx-=0. 由 𝑥2𝑦2 +=1 而x3,x4是这个方程的两根, 所以x3+x4=-16𝑘 2,x3x4=- 9+8𝑘 9+8𝑘2.⑤ 162𝑘2 4× 将④,⑤代入③,得16(k+1)= 2 (9+8𝑘) 22+9+8𝑘2, 即16(k+1)= 2 2 162×9(𝑘2+1)(9+8𝑘2)2, 6 6所以(9+8k)=16³9,解得k=±,即直线l的斜率为±. 2 446.(2014陕西,20,13分)已知椭圆2+2=1(a>b>0)经过点(0, 3),离心率为,左,右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0). (1)求椭圆的方程; (2)若直线l:y=-x+m与椭圆交于A,B两点,与以F1F2为直径的圆交于C,D两点,且满足 12 |𝐴𝐵|5 3=,求直线|𝐶𝐷|4 𝑥2𝑦2𝑎𝑏 12l的方程. 𝑏= 3,解析 (1)由题设知 𝑎=2, 𝑏2=𝑎2-𝑐2, 解得a=2,b= 3,c=1, ∴椭圆的方程为+=1. (2)由(1)知,以F1F2为直径的圆的方程为x+y=1, 2 2 𝑐1 𝑥2𝑦243曲一线 让每一位学生分享高品质教育 ∴圆心到直线l的距离d=2|𝑚|,由 5d<1得|m|<.(*) 2 542∴|CD|=2 1-𝑑2=2 1-𝑚2= 5-4𝑚2. 5 5设A(x1,y1),B(x2,y2), 12 由 𝑥2𝑦2 +43 𝑦=-x+m, =1 得x2-mx+m2-3=0, 由根与系数关系可得x1+x2=m,x1x2=m-3. 2 ∴|AB|= 1+ - [𝑚2-4(𝑚2-3)]=由 |𝐴𝐵|5 34-𝑚2=得 =1, |𝐶𝐷|45-4𝑚2 3122 152 4-𝑚2. 解得m=±,满足(*). 3 ∴直线l的方程为y=-x+或y=-x-. 3312 312 3 教师用书专用(7—10) 7.(2013安徽,21,13分)已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)的焦距为4,且过点P( 2, 3). (1)求椭圆C的方程; (2)设Q(x0,y0)(x0y0≠0)为椭圆C上一点.过点Q作x轴的垂线,垂足为E.取点A(0,2 2),连接AE.过点A作AE的垂线交x轴于点D.点G是点D关于y轴的对称点,作直线QG.问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点?并说明理由. 解析 (1)因为焦距为4,所以a-b=4.又因为椭圆C过点P( 2, 3),所以2+2=1,故a=8,b=4,从而椭圆C的方程为+=1. 2 2 2 2 𝑥2𝑦2𝑎𝑏 23𝑎𝑏 𝑥2𝑦284 (2)由题意,得E点坐标为(x0,0),设D(xD,0),则 𝐴𝐸=(x0,-2 2), 𝐴𝐷=(xD,-2 2), ²𝐴𝐷 =0, 再由AD⊥AE知,𝐴𝐸即x0xD+8=0. 由于x0y0≠0,故xD=-. 因为点G是点D关于y轴的对称点,所以点G ,0 . 故直线QG的斜率kQG= 8=2. 𝑥0-𝑥𝑥0-8 0 8𝑥0 8𝑥0 𝑦0𝑥0𝑦0 又因Q(x0,y0)在椭圆C上,所以 22𝑥0+2𝑦0=8.① 从而kQG=- 𝑥0 . 2𝑦0 曲一线 让每一位学生分享高品质教育 故直线QG的方程为 y=-𝑥08 𝑥- .② 2𝑦0𝑥0 将②代入椭圆C的方程,得 222(𝑥0+2𝑦0)x-16x0x+-16𝑦0=0.③ 2 2再将①代入③,化简得x-2x0x+𝑥0=0. 2 解得x=x0,所以y=y0,即直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点. 8.(2013陕西,20,13分)已知动点M(x,y)到直线l:x=4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍. (1)求动点M的轨迹C的方程; (2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A,B两点,若A是PB的中点,求直线m的斜率. 解析 (1)设M到直线l的距离为d,根据题意得,d=2|MN|. 𝑥𝑦 由此得|4-x|=2 (𝑥-1)2+𝑦2,化简得+=1, 4 3 𝑥2𝑦243 2 2 所以动点M的轨迹方程为+=1. (2)解法一:由题意,设直线m的方程为y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2). 将y=kx+3代入+=1中,有(3+4k)x+24kx+24=0, 2 2 𝑥2𝑦243 2 其中,Δ=(24k)-4³24(3+4k)=96(2k-3)>0, 2 2 由根与系数的关系得x1+x2=-x1x2= 24 24𝑘 3+4𝑘2, ① 3+4𝑘2. ② ③ 123+4𝑘2又因A是PB的中点,故x2=2x1, 将③代入①,②得x1=-可得 -8𝑘 2 8𝑘 3+4𝑘 2 2,𝑥1= 2 , 2 3+4𝑘 32 = 12 3+4𝑘32 2,且 k>, 32 32 32解得k=-或k=,所以直线m的斜率为-或. 解法二:由题意,设直线m的方程为y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2). ∵A是PB的中点, ∴x1=2, ① 𝑥2曲一线 让每一位学生分享高品质教育 y1= 3+𝑦22. ② 又1+1=1, 2𝑥22𝑦2 +=1, ④ 43𝑥2𝑦243③ 𝑥=2,𝑥2=-2,联立①,②,③,④解得 2或 𝑦2=0𝑦2=0,即点B的坐标为(2,0)或(-2,0), 所以直线m的斜率为-或. 9.(2013重庆,21,12分)如图,椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,离心率e=,过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A,A'两 2 23232 点,|AA'|=4. (1)求该椭圆的标准方程; (2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P,P',过P,P'作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q外.求△PP'Q的面积S的最大值,并写出对应的圆Q的标准方程. 解析 (1)由题意知点A(-c,2)在椭圆上,则由e=得b 2 22 (-𝑐)222 +=1.从而𝑎2𝑏2e+2=1. 𝑏 2 4 4 =2=8,从而1-𝑒 a 2 𝑏2 =2=16. 1-𝑒 故该椭圆的标准方程为+=1. (2)由椭圆的对称性,可设Q(x0,0).又设M(x,y)是椭圆上任意一点,则 2 |QM|=(x-x0)+y=x-2x0x+𝑥0+8 1-2 2 2 2 𝑥2𝑦2 168 𝑥2122 =(x-2x0)-𝑥0+8(x∈[-4,4]). 162 设P(x1,y1),由题意知,P是椭圆上到Q的距离最小的点,因此,上式当x=x1时取最小值,又因x1∈(-4,4),所以上式当x=2x0时取最 2 小值,从而x1=2x0,且|QP|=8-𝑥0. 2 由对称性知P'(x1,-y1),故|PP'|=|2y1|, 1 2 12 𝑥21 |x0| 16 所以S=|2y1||x1-x0|=³2 8 1- 222 = 2 (4-𝑥0)𝑥0= 2 -(𝑥0-2)2+4. 当x0=± 2时,△PP'Q的面积S取到最大值2 2. 曲一线 让每一位学生分享高品质教育 2 此时对应的圆Q的圆心坐标为Q(± 2,0),半径|QP|= 8-𝑥0= 6,因此,这样的圆有两个,其标准方程分别为(x+ 2)+y=6, 2 2 (x- 2)+y=6. 10.(2013山东,22,14分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C的中心在原点O,焦点在x轴上,短轴长为2,离心率为. 2 222 (1)求椭圆C的方程; 6(2)A,B为椭圆C上满足△AOB的面积为的任意两点,E为线段AB的中点,射线OE交椭圆C于点P.设 𝑂𝑃=t 𝑂𝐸,求实数t的值. 4 解析 (1)设椭圆C的方程为2+2=1(a>b>0), 𝑎2=𝑏2+𝑐2, 解得a= 2,b=1. 由题意知 𝑐= 2, 𝑎 𝑥2𝑦2 𝑎𝑏 2𝑏=2. 因此椭圆C的方程为+y=1. 2 2 𝑥22 (2)(i)当A,B两点关于x轴对称时,设直线AB的方程为x=m,由题意知- 2 𝑥22 得|y|= 2-𝑚2 . 2 2 2-𝑚 6所以S△AOB=|m| =. 2 4 3 2 12 解得m=或m=.① 2 2 11 又 𝑂𝑃=t 𝑂𝐸=t( 𝑂𝐴+ 𝑂𝐵)=t(2m,0)=(mt,0), 2 2 (𝑚𝑡)2 =1.② 2 因为P为椭圆C上一点,所以由①②得t=4或t=, 2 2 43 又因为t>0,所以t=2或t= 2 3. 3(ii)当A,B两点关于x轴不对称时, 设直线AB的方程为y=kx+h. 将其代入椭圆的方程+y=1,得(1+2k)x+4khx+2h-2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2). 2 2 2 2 𝑥22由判别式Δ>0可得1+2k>h, 2 2 此时x1+x2=- 4𝑘ℎ 1+2𝑘2,x1x2= 2ℎ 2ℎ2-2 1+2𝑘2, y1+y2=k(x1+x2)+2h= 1+2𝑘2, 所以|AB|= 1+𝑘2 (𝑥1+𝑥2)2-4𝑥1𝑥2 曲一线 让每一位学生分享高品质教育 =2 2 1+ 𝑘21+2𝑘2-ℎ2 1+2𝑘2. 因为点O到直线AB的距离d=|ℎ| 1+𝑘2, 所以S=1△AOB2|AB|d =1 1+2𝑘2-ℎ2 |2 ³2 2 1+𝑘21+2𝑘 2²|ℎ 1+𝑘2= 2 1+2𝑘2-ℎ2 1+2𝑘2|h|. 6 1+2𝑘2-ℎ2 又S 6△AOB=4 ,所以 21+2𝑘 2|h|=4 .③ 令n=1+2k2 ,代入③整理得3n2 -16h2 n+16h4 =0, 解得n=4h2 或n=4h2 3 , 即1+2k2 =4h2 或1+2k2 =4h2 3 .④ 又 𝑂𝑃=t 𝑂𝐸=1t( 𝑂𝐴+ 𝑂𝐵)=1 t(x2𝑘ℎ𝑡2 2 1+x2,y1+y2)= -1+2𝑘 2, ℎ𝑡1+2𝑘2 , 因为P为椭圆C上一点, 所以t2 1 2𝑘ℎ 2 2 -1+2𝑘 2 2 + ℎ 1+2𝑘 2 =1, 即 ℎ22 1+2𝑘2t=1.⑤ 将④代入⑤得t2 =4或t2 =43 , 又知t>0, 故t=2或t= 2 33, 经检验,适合题意. 综合(i)(ii),得t=2或t=2 33. 三年模拟 A组 2016—2018年模拟²基础题组 考点一 椭圆的定义及其标准方程 1.(2018宁夏银川一中月考,5)过点( 3,- 5),且与椭圆𝑦2+𝑥2259 =1有相同焦点的椭圆的标准方程为() 曲一线 让每一位学生分享高品质教育 A.+=1 C.+=1 答案 C 2.(2018广东惠州二调,10)设F1,F2为椭圆+=1的两个焦点,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,则A. 514𝑥2𝑦295 |𝑃𝐹2| 的值为( |𝑃𝐹1| 𝑦2𝑥2204𝑥2𝑦2204 B.𝑥2𝑦2 +=1 2 54𝑥2𝑦2 =1 42 5D.+ ) B. 59C. 49D. 513答案 D 3.(2017湖南长沙一模,5)椭圆的焦点在x轴上,中心在原点,其上、下顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点,则椭圆的标准方程为( ) A. 2𝑦2 2+=1 2B.+y=1 D.+=1 𝑦2𝑥242 𝑥222 C.+=1 答案 C 𝑥2𝑦242 4.(2017河南三市联考,5)“mn>0”是“方程mx+ny=1表示椭圆”的( ) A.必要不充分条件 C.充要条件 答案 A 5.(2017甘肃兰州联考,6)已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为,且椭圆G上一点到其两个焦点的距离之和为 2 322 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 12,则椭圆G的方程为( ) A.+=1 C.+=1 答案 A 6.(2016河南八市重点中考,14)在平面直角坐标系中,已知△ABC的顶点A(-4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆+=1上,则 sin𝐴+sin𝐶 = sin𝐵 𝑥2𝑦2259𝑥2𝑦249𝑥2𝑦2369 B.+=1 D.+=1 𝑥2𝑦294𝑥2𝑦2936 . 答案 5 4 考点二 椭圆的几何性质 曲一线 让每一位学生分享高品质教育 7.(2018黑龙江哈六中12月模拟,9)椭圆C:2+2=1(a>b>0)的左焦点为F,若F关于直线 3x+y=0的对称点A是椭圆C上的点,则椭圆C的离心率为( ) A. 12 𝑥2𝑦2𝑎𝑏 B. 3-12 C. 2 3D. 3-1 答案 D 8.(2018河南百校联盟12月联考,5)已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)与直线x=b在第一象限交于点P,若直线OP的倾斜角为30°,则椭圆C的离心率为( ) A. 13 𝑥2𝑦2𝑎𝑏 B. 3 3C. 3 6D. 23 答案 B 9.(2017黑龙江哈六中模拟,13)椭圆x+my=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的2倍,则m的值为 . 答案 1 4 2 2 考点三 直线与椭圆的位置关系 10.(2018河南开封调研,10)已知椭圆2+2=1(a>b>0)的一条弦所在直线方程是x-y+5=0,弦的中点坐标是M(-4,1),则椭圆的离心率是( ) A. 12𝑥2𝑦2𝑎𝑏 B. 2 2C. 2 3D. 5 5答案 C 11.(2016天津和平调研考试,13)过椭圆+=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为 . 答案 5 3 𝑥2𝑦2𝑎𝑏 32 12 𝑥2𝑦25412.(2018湖南益阳、湘潭9月联考,20)已知椭圆E:2+2=1(a>b>0)经过点 1, ,离心率为. (1)求椭圆E的方程; (2)设点A、F分别为椭圆的右顶点、右焦点,经过点F作直线交椭圆于C,D两点,求四边形OCAD面积的最大值(O为坐标原点). 𝑎2+4𝑏2=1,𝑎=2, 𝑐1解析 (1)由题设得:=,解得 𝑏= 3, 𝑎2 𝑐=1. 𝑎2=𝑏2+𝑐2,∴椭圆方程为+=1. (2)设直线CD的方程为x=ky+1,与椭圆方程+=1联立得(3k+4)y+6ky-9=0. 设C(x1,y1),D(x2,y2), 𝑥2𝑦243 2 2 19 𝑥2𝑦243 曲一线 让每一位学生分享高品质教育 ∴y1+y2=-6𝑘 23𝑘+4 ,y1y2=- 9 23𝑘+412 , 12 ∴S四边形OCAD=S△OCA+S△ODA=³2³|y1|+³2³|y2|=|y1-y2| = (𝑦1+𝑦2)2-4𝑦1𝑦2= 12 𝑘2+13𝑘+4 2=12𝑡12 =, 3𝑡2+13𝑡+1𝑡其中t= 𝑘2+1,t≥1. ∵t≥1,∴f(t)=3t+单调递增,∴3t+≥4, ∴S四边形OCAD≤3(当且仅当k=0时取等号). 故四边形OCAD的面积的最大值为3. 1𝑡 1𝑡 B组 2016—2018年模拟²提升题组 (满分:75分 时间:60分钟) 一、选择题(每小题5分,共15分) 1.(2018贵州贵阳摸底测试,12)P是椭圆2+2=1(a>b>0)上的一点,A为左顶点,F为右焦点,PF⊥x轴,若tan∠PAF=,则椭圆的离心率e为( ) A. 3 2𝑥2𝑦2𝑎𝑏 12B. 2 2C. 3 3D. 12 答案 D 2.(2017江西上饶一模,10)设F1,F2为椭圆C1:2+2=1(a1>b1>0)与双曲线C2:2-2=1(a2>0,b2>0)的公共焦点,它们在第一象限内交于点M,∠F1MF2=90°,若椭圆的离心率e1=,则双曲线C2的离心率e2为( ) A. 92 34 𝑥2𝑦2𝑎1𝑏1 𝑥2𝑦2𝑎2𝑏2 B. 3 2 2 C. 32 D. 54 答案 B 3.(2017江西九江模拟,10)已知椭圆2+2=1(a>b>0),F1,F2为椭圆的左、右焦点,O为坐标原点,点P为椭圆上一点,|OP|=a,且 4 𝑥2𝑦2𝑎𝑏 2|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等比数列,则椭圆的离心率为( ) A. 4 2B. 3 2C. 3 6D. 4 6答案 D 二、填空题(每小题5分,共15分) 4.(2018江西赣中南五校联考,15)已知点P是圆F1:(x+1)+y=16上任意一点(F1是圆心),点F2与点F1关于原点对称,线段PF2的垂直平分线m分别与PF1,PF2交于M,N两点,则点M的轨迹方程为 . 2 2 曲一线 让每一位学生分享高品质教育 答案 𝑥2𝑦2 +=1 43 𝑥222 2 5.(2017广东五校联考,16)已知椭圆C:+y=1的两焦点为F1、F2,点P(x0,y0)满足0<0+𝑦0<1,则|PF1|+|PF2|的取值范围 𝑥2 2是 . 答案 [2,2 2) 6.(2016湖南长沙一中月考,15)如图,∠OFB=,△ABF的面积为2- 3,则以OA为长半轴,OB为短半轴,F为一个焦点的椭圆方程为 . π6 答案 𝑥2𝑦2 +=1 82三、解答题(每小题15分,共45分) 7.(2018河南新乡一模,20)已知直线l:y=2x-2与椭圆Ω:(1)求Ω的离心率; (2)若以线段AB为直径的圆C经过坐标原点,求Ω的方程及圆C的标准方程. 𝑏 解析 (1)e= 1-2= 1-𝑎 2𝑥2𝑦2 +=1(m≠0)交于4𝑚2𝑚2A,B两点. 𝑚21 3= 1-=. 24𝑚42 𝑦=2𝑥-2, 得17x2-32x+16-4m2=0, (2)由 𝑥2𝑦2 2+2=1, 4𝑚 𝑚 设A(x1,y1),B(x2,y2),则Δ=(-32)-68(16-4m)>0, 2 2 x1+x2=,x1x2= 321716-4𝑚2 . 17由已知得 𝑂𝐴² 𝑂𝐵=x1x2+y1y2=x1x2+4(x1-1)(x2-1)=5x1x2-4(x1+x2)+4=0, 即5² 16-4𝑚2322 -4²+4=0,∴m=1,且满足1717𝑥2 4 2 Δ>0. 故Ω的方程为+y=1. 设圆C的圆心为(x0,y0), 则x0= 𝑥1+𝑥2162 =,y0=2(x0-1)=-. 21717 4 65. 17|AB|= 1+22² (𝑥1+𝑥2)2-4𝑥1𝑥2= 曲一线 让每一位学生分享高品质教育 故圆C的标准方程为 𝑥-162 + 𝑦17 + 22260 =. 172 𝑥2𝑦2 𝑎𝑏 8.(2018四川成都一模,8)已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)的右焦点为F( 3,0),长半轴与短半轴长度之比等于2. (1)求椭圆C的标准方程; (2)设经过点A(1,0)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M,N.若点B(0,1)在以线段MN为直径的圆上,求直线l的方程. 解析 (1)∵c= 3,=2,a=b+c, 𝑏 2 2 2 𝑎 ∴a=2,b=1. ∴椭圆的标准方程为+y=1. (2)易知当直线l的斜率为0时,不合题意. 当直线l的斜率不为0时,设直线l的方程为x=my+1, 设M(x1,y1),N(x2,y2). 𝑥=𝑚𝑦+1,22由 2消去x可得(4+m)y+2my-3=0. 2 𝑥+4𝑦=4∴Δ=16m+48>0,y1+y2= 2 𝑥24 2 -2𝑚-3 ,y1y2=. 24+𝑚4+𝑚2∵点B在以MN为直径的圆上, =0. ∴ 𝐵𝑀² 𝐵𝑁 =(my1+1,y1-1)²(my2+1,y2-1) ∴ 𝐵𝑀² 𝐵𝑁=(m+1)y1y2+(m-1)(y1+y2)+2=0, ∴(m+1)² 22 -3-2𝑚 +(m-1)²+2=0. 24+𝑚4+𝑚22 整理,得3m-2m-5=0,解得m=-1或m=. ∴直线l的方程为x+y-1=0或3x-5y-3=0. 9.(2017湖南六校联盟联考,20)已知椭圆E:2+2=1(a>b>0)的离心率为,点F1,F2是椭圆E的左、右焦点,过F1的直线与椭圆E交于A,B两点,且△F2AB的周长为8. (1)求椭圆E的标准方程; (2)动点M在椭圆E上,动点N在直线l:y=2 3上,若OM⊥ON,探究原点O到直线MN的距离是否为定值,并说明理由. 解析 𝑎2-𝑏2 (1)由题意得 𝑎2𝑥2𝑦2𝑎𝑏 12 53 =,解得a=2,b= 3, 4 4𝑎=8, 𝑥2𝑦2431 所以椭圆E的标准方程为+=1. (2)设原点O到直线l的距离为d. ①若直线ON的斜率不存在, 曲一线 让每一位学生分享高品质教育 则|ON|=2 3,|OM|=2,所以|MN|=4,d= |𝑂𝑀|²|𝑂𝑁| = 3. |𝑀𝑁| ②若直线ON的斜率存在,设直线OM的方程为y=kx(k≠0), 代入+=1得x= 2 𝑥2𝑦24312𝑘 12 3+4𝑘2, ∴y= 2 2 3+4𝑘2, 1𝑘 易知直线ON的方程为y=-x,代入y=2 3, 得N(-2 3k,2 3), |MN|=|ON|+|OM|=(-2 3k)+(2 3)+则|MN|²d=|OM|²|ON|⇒d= 2 2 2 2 2 2 12(1+𝑘2)48(1+𝑘2)23+4𝑘2=3+4𝑘2, |𝑂𝑀|2²|ON|2 |𝑀𝑁|2=3,则d= 3. 综上所述,原点O到直线MN的距离为定值 3. C组 2016—2018年模拟²方法题组 方法1 求椭圆标准方程的方法 1.(2017河北衡水六调,8)已知A(-1,0),B是圆F:x-2x+y-11=0(F为圆心)上一动点,线段AB的垂直平分线交BF于P,则动点P的轨迹方程为( ) A.+=1 C.-=1 答案 D 2.(2016河南三市调研,8)已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)的离心率为,且与抛物线y=x交于A、B两点,若△OAB(O为坐标原点)的 2 𝑥2𝑦2𝑎𝑏 22 2 2 𝑥2𝑦21211𝑥2𝑦232 B.-=1 D.+=1 𝑥2𝑦232 𝑥2𝑦23635 面积为2 2,则椭圆C的方程为( ) A.+=1 答案 A 𝑥2𝑦284 B.+y=1C.+=1 𝑥22 2 𝑥2𝑦2126 D.+=1 𝑥2𝑦2128 方法2 求椭圆的离心率(范围)的方法 3.(2018河北衡水中学六调,10)已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为M,N,若在椭圆C上存在点H,使kMHkNH∈ -,0 ,则椭圆C的离心率的取值范围为( ) A. 2𝑥2𝑦2𝑎𝑏 122 ,1 B. 0, 22 C. 32 ,1 D. 0, 32 答案 A 曲一线 让每一位学生分享高品质教育 4.(2018湖北武汉部分重点中学调研,11)已知A,B分别为椭圆+2=1(0 𝑥2𝑦29𝑏 B. 4 2C. 13 D. 2 2答案 B 5.(2016福建厦门双十、南安一中、厦门海沧实验中考,9)已知直线l:y=kx+2过椭圆2+2=1(a>b>0)的上顶点B和左焦点F,且被圆x+y=4截得的弦长为L,若L≥ 2 2 𝑥2𝑦2𝑎𝑏 4 5,则椭圆离心率5e的取值范围是( ) A. 0, 55 B. 0, 2 5 5 C. 0, 3 5 5 D. 0, 4 5 5 答案 B 6.(2017河北百校联盟联考,14)已知椭圆C1:2+2=1(a>b>0)与椭圆C2:2+2=1(a>b>0)相交于A、B、C、D四点,若椭圆C1的一个焦点为F(- 2,0),且四边形ABCD的面积为,则椭圆C1的离心率e为 . 答案 2𝑥2𝑦2𝑎𝑏𝑦2𝑥2𝑎𝑏 163 2 方法3 与直线和椭圆的位置关系有关问题的求解方法 7.(2016河北唐山统考,11)平行四边形ABCD内接于椭圆+=1,直线AB的斜率k1=1,则直线AD的斜率k2=( ) A. 12 𝑥2𝑦242 B.- 12 C.- 14 D.-2 答案 B 8.(2018湖北重点中学12月联考,21)已知椭圆E:2+2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),直线x=c交椭圆E于A,B两点,△ABF1的周长为16,△AF1F2的周长为12. (1)求椭圆E的标准方程与离心率; (2)若直线l与椭圆E交于C、D两点,且P(2,2)是线段CD的中点,求直线l的一般方程. 𝑎=4,4𝑎=16, 解析 (1)由题知 2𝑎+2𝑐=12,解得 𝑏=2 3, 𝑎2=𝑏2+𝑐2,𝑐=2,∴椭圆E的标准方程为+=1,离心率e==. (2)易知直线l的斜率存在,设为k, 𝑦2𝑥21+112 C(x1,y1),D(x2,y2),则 16 𝑦2𝑥22216𝑥2𝑦2 1612𝑐1𝑎2𝑥2𝑦2𝑎𝑏 设 =1, =1, + 12 曲一线 让每一位学生分享高品质教育 ∴∴ 222𝑥21-𝑥2𝑦1-𝑦2+=0, 1612 (𝑥1-𝑥2)(𝑥1+𝑥2)(𝑦1-𝑦2)(𝑦1+𝑦2) +=0, 1612又P(2,2)是线段CD的中点,∴x1+x2=4,y1+y2=4, ∴k= 𝑦1-𝑦2𝑥1-𝑥2 =-, 3 434 故直线l的方程为y-2=-(x-2),化为一般形式即3x+4y-14=0. 9.(2017广东七校第二次联考,20)已知圆E:x+ 𝑦- =经过椭圆C:2+2=1(a>b>0)的左、右焦点F1,F2,且与椭圆C在第一象限的 2 12924 𝑥2𝑦2 𝑎𝑏 (λ≠0). =λ𝑂𝐴交点为A,且F1,E,A三点共线,直线l交椭圆C于M,N两点,且𝑀𝑁(1)求椭圆C的方程; (2)当△AMN的面积取到最大值时,求直线l的方程. 解析 (1)∵圆E经过椭圆C的左、右焦点F1,F2, ∴c+ 0- =,解得c= 2. 2 129 24 ∵F1,E,A三点共线,∴AF1为圆E的直径. ∴AF2⊥F1F2,∴|AF2|=|AF1|-|F1F2|=9-8=1, ∴2a=|AF1|+|AF2|=3+1=4,∴a=2. 由a=b+c,得b= 2,∴椭圆C的方程为+=1. 2 2 2 2 2 2 𝑥2𝑦2 42 (2)由(1)可得,点A的坐标为( 2,1), 由题意知直线l的斜率为,设直线l的方程为y=x+m, 2 2 2 2联立得 𝑦= 22𝑥2𝑦2 +422 x+m, =1, 2 整理得x+ 2mx+m-2=0, 设M(x1,y1),N(x2,y2), 由Δ=( 2m)-4(m-2)>0,得-2 2 𝑥+𝑥2=- 2m,∵ 1 𝑥1𝑥2=𝑚2-2, ∴|MN|= 1+² (𝑥1+𝑥2)2-4𝑥1𝑥2= 12-3𝑚2. 又点A到直线l的距离d= 2122× 2-1+m 2=|m|, 3 6 2 +(-1)2 211 6∴S△AMN=|MN|d= 12-3𝑚2²|m| 2 2 3 曲一线 让每一位学生分享高品质教育 = 22 (4-𝑚2)𝑚2≤ 2²(4-𝑚 2 2 2 2)+𝑚2 2 = 2, 当且仅当4-m=m,即m=± 2时,等号成立. ∴当△AMN的面积取最大值时,直线l的方程为y=x+ 2或y=x- 2. 22 2 2
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