高考理科数学三角函数、概率大题历年真题
2013年
16．（12分）（2013•广东）已知函数（1）求（2）若 考点： 专题： 分析： ，的值；
，求
．
，x∈R．
二倍角的正弦；两角和与差的余弦函数． 三角函数的求值；三角函数的图像与性质． （1）把x=直接代入函数解析式求解． 代入函数（2）先由同角三角函数的基本关系求出sinθ的值以及sin2θ，然后将x=2θ+解析式，并利用两角和与差公式求得结果． 解答： 解：（1）（2）因为所以所以， 所以= 点评：
本题主要考查了特殊角的三角函数值的求解，考查了和差角公式的运用，属于知识的简单综合，要注意角的范围． 17．（12分）（2013•广东）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数． （1）根据茎叶图计算样本均值； （2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？
（3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．
考点： 专题： 分析： 解答： 点评：
众数、中位数、平均数；茎叶图；古典概型及其概率计算公式． 概率与统计． （1）茎叶图同的数字是数字的十位，这是解决本题的突破口，根据所给的茎叶图数据，代入平均数公式求出结果； （2）先由（1）求得的平均数，再利用比例关系即可推断该车间12名工人中有几名优秀工人的人数； （3）设“从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人”为事件A，结合组合数利用概率的计算公式即可求解事件A的概率． 解：（1）样本均值为 （2）抽取的6名工人中有2名为优秀工人， 所以12名工人中有4名优秀工人 （3）设“从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人”为事件A， 所以， 即恰有1名优秀工人的概率为． 本题主要考查茎叶图的应用，古典概型及其概率计算公式，属于容易题．对于一组数据，通常要求的是这组数据的众数，中位数，平均数，题目分别表示一组数据的特征，考查最基本的知识点． 2012年
16．（12分）（2012•广东）已知函数小正周期为10π． （1）求ω的值； （2）设的值． 考点： 专题： 分析： ，
，
（其中ω＞0，x∈R）的最
，求cos（α+β）
两角和与差的余弦函数；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 计算题． （1）由题意，由于已经知道函数的周期，可直接利用公式ω=值； （2）由题设条件，可先对，与=解出参数ω的进行化简，求出α与β两角的函数值，再由作弦的和角公式求出cos（α+β）的值． 解答： 解：（1）由题意，函数为10π 所以ω=所以（2）因为分别代入得∵∴∴点评： =，即 ，及， （其中ω＞0，x∈R）的最小正周期本题考查了三角函数的周期公式及两角和与差的余弦函数，同角三角函数的基本关系，属于三角函数中有一定综合性的题，属于成熟题型，计算题． 17．（13分）（2012•广东）某班50位学生期中考试数学成绩的频率直方分布图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]． （1）求图中x的值；
（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ，求ξ的数学期望．
考点： 专题： 分析： 解答： 离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式． 计算题． （1）根据所以概率的和为1，即所求矩形的面积和为1，建立等式关系，可求出所求； （2）不低于8（0分）的学生有12人，9（0分）以上的学生有3人，则随机变量ξ的可能取值有0，1，2，然后根据古典概型的概率公式求出相应的概率，从而可求出数学期望． 解：（1）由30×0.006+10×0.01+10×0.054+10x=1，得x=0.018 （2）由题意知道：不低于8（0分）的学生有12人，9（0分）以上的学生有3人 随机变量ξ的可能取值有0，1，2
2011年
16．（12分）（2011•广东）已知函数f（x）=2sin（x
﹣），
x∈R （1）求f（
∴ ）的值； （2）设α，β∈[0，
]，f（3α+
）=
，f（3β+2π）=，求cos（α+β）的值．
考点： 两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数． 专题： 分析： 计算题；压轴题． （1）把x=的函数值； （2）分别把x=3α+和x=3β+2π代入f（x）的解析式中，化简后利用诱导公式即可求出sinα代入函数f（x）的解析式中，化简后利用特殊角的三角函数值即可求出对应和cosβ的值，然后根据α和β的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα和sinβ的值，然后把所求的式子利用两角和的余弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值． 解答： 解：（1）把x=f（代入函数解析式得： ﹣）=2sin=； ）=2sin（×）=（2）由f（3α+2sin[（3α+sinα=，f（3β+2π）=，代入得： ]=2sinα=，2sin[（3β+2π）﹣]， ]=2sin（β+）=2cosβ= ）﹣，cosβ=，又α，β∈[0，，sinβ=， 所以cosα=则cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=点评： ×﹣×=． 此题考查学生掌握函数值的求法，灵活运用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，是一道中档题． 17．（13分）（2011•广东）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x，y的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据： 1 2 3 4 5 编号 x 169 178 166 175 180 y 75 80 77 70 81 （1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品总数．
（2）当产品中的微量元素x，y满足x≥175，y≥75，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量．
（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中的优等品数ξ的分布列极其均值（即数学期望）． 考点： 离散型随机变量的期望与方差． 专题： 计算题；应用题． 分析： （1）有分层抽样可知各层抽取的比例相等，先计算出甲厂抽取的比例，按此比例计算乙厂生产的产品总数即可． （2）先计算抽取的5件样品中优等品的概率，再由此概率估计乙厂生产的优等品的数量即可． （3）ξ的所有可能取值为0，1，2．由古典概型分别求概率，再求期望即可，此分布列为超几何分布． 解：（1）甲厂抽取的比例件． （2）x≥175，y≥75的有两件，比例为，因为乙厂生产的产品总数35件， 故乙厂生产的优等品的数量为35×=14件． （3）乙厂抽出的上述5件产品中有2件为优等品，任取两件的取法有C5=10种 ξ的所有可能取值为0，1，2． P（ξ=0）=P（ξ=1）=P（ξ=2）=， =， ， 2解答： =，因为乙厂抽出5件，故乙厂生产的产品总数35∴ξ的分布列为： 故Eξ=点评： ． 本题考查分层抽样、样本估计总体、离散型随机变量的分布列和期望等知识，考查利用所学知识解决问题的能力．