大学数学教案第6章

第一节 不定积分的概念和性质 1、 原函数与不定积分的概念

定义1 设f(x)是定义在区间I上的已知函数，如果存在一个函数F(x)，在该区间上每一点x都满足

F/(x)f(x)或fF(x)=f(x)dx

则称函数F(x)为已知函数f*(x)在区间I上的一个原函数。

例如：当xR时（sinx）=cosx,所以sinx是cosx的一个原函数。

2、 关于原函数应该注意的地方

（1） 当函数具备什么条件时，它一定存

在原函数？

（如果函数在一个区间上连续，则在这个区间上函数一定有原函数）

（2） 如果函数有原函数，原函数是否唯

一？

（3） 如果F(x)是f(x)在区间上的一个原

函数，是否f(x)的任何一个原函数都可以表示成F(x)+c的形式？

3、 定义2：函数f(x)的全体原函数成为f(x)

的不定积分，记作

其中f(x)dx，

称

/

注意：求函数的不定积分是求函数的全体原函数，而不是只求一个，因此，不能把积分常数丢掉。

例3：求经过点（-1,0），且其切线的斜率为2x的曲线方程。

3、不定积分的性质 性质1：

f(x)dxf(x)或df(x)dxf(x)dx/f/(x)dxf(x)C或df(x)f(x)C

性质2：两个函数的和与差的不定积分分别等于各个函数的不定积分的和与差，即

fxgxdxfxdxgxdx

证明：

性质3：被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来，即

为积分号，f(x)成为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量。 如果F(x)为f(x)的一个原函数，则F(x)+C就是f(x)的全体原函数，由定义2。

kf(x)dxkf(x)dx

注意：当k=0时，

f(x)dxF(x)c

其中C称为积分常数，

3例1：求4xdx



2例2：求secxdx

kf(x)dxC而kf(x)dx0两者不等

例4：求

1

2xcosxdx

4、 基本积分公式 （1）

kdx = kx + C(k为常数)

x1（2）xdx1C(1) （3）

1xdxlnxC（绝对值）

（4）exdxexC

x（5）axdxalnaC （6）cosxdxsinxC （7）sinxdxcosxC

（8）sec2xdxtanxC

（9）csc2xdxcotxC

（10）secxtanxdxsecxC （11）cscxcotxdxcscxC （12）

11x2dxarcsinxC

（13）

11x2dxarctanxC

例5 求下列不定积分 （1）

1xxdx;(2)11cos2x

例6 求下列不定积分

2（1）x1xdxxx （2）2edx

第二节 换元积分法

1、 第一换元法（凑微分法） 定理1：（第一类换元法） 设F(u)是f(u)的一个原函数，u=x有连续的导函数，那么Fx是fx/x的原函数，即fx/xdxFxC

例1； 求 cotxdx

解： 例2：求

33x1dx

例3：求xx23dx

例4：求sin2xdx

2

2、 第二类换元法

第一类换元法是通过变量代换：ux，将积分

小结：

积分公式的补充：

（14）tanxdxlncosxC （15）cotxdxlnsinxC （16）secxdxlnsecxtanxC （17）cscxdxlncscxcotxC （18）

fxxdx/化为

fudu，

/我们也常常遇到与第一类换元法相反的情形，选择新积分变量为自变量的变量代换

tdt， xt，得fxdxft

定理2：（第二类换元积分法） 设xt具有连续导数

11xdxarctanC x2a2aa/t，且

（19）

/t0，又设ft/t具有原函数

F（t），t1x是xt的反函数，则

（20）

11xadxlnC x2a22axaxdxarcsinC

aa2x21xa221F1x是f(x)的原函数，即第二类换元

法

为

（21）

dxlnxx2a2+



fxdxft/tdtF1xC例26：求

例27：求

dxx22x3

例21：求

a2x2dx(a0)

dx32xx2

例22：求

dxxa22(a0)

例28：求

3

dx9x252

第三节 分部积分法

设uu(x)及vv(x)具有连续导数，则由两函数乘积的导数公式

例6：求xarctanxdx

例7：求arcsinxdx

x例8：ecosxdx

uxvx/u/xvxu(x)v/(x)uxvx/uxvxu(x)v(x)//两端求不定积分

//u(x)v(x)dxu(x)v(x)u(x)v(x)dx……………………………………（1） 即

u(x)dv(x)u(x)v(x)v(x)du(x)………………………………………（2） 公式（1）公式（2）称为分部积分公式

例1：求xcosxdx 解

：

2例9：求xtanxdx



2例10：起tanxsecxdx

xcosxdxxdsinxxsinxsinx=xsinx+cosx+C

2x例2：求xedx



例11：求e 例12：求

d

例3：求(x1)sin2xdx

例4：求

2例5：求xlnxdx

2xcos2xdx

xdx

x31x2dx



4

第四节 几种特殊类型函数的积分

1、 有理函数的不定积分

有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数，其一般形式为

例3：将真分式分式。

例4：将真分式

xx3x2x1分解成部分

Pxa0xna1xn1an…hxQ(x)b0xmb1xm1bm………………………………………（1） 当m>n 时，叫做真分式； 当mn时，叫做假分式。

假分式可化为一个多项式与一个真分式的和。多项式的积分好求，所以我们只需要讨论真分式的积分。

（1） 化有理真分式为部分分式

22x(x1)AA2B1B2C1xD1P(x)1 222Q(x)xa(xa)xb(xb)xpxq2x1分解为部分分

x25x6分解成部分分式

例1：将真分式式

例2：将真分式

(2) 有理函数的积分

从上面的讨论可知，不定有理真分式可以分解成部分分式，因此，计算有理真分式的不定积分就是计算分解成的部分分式的积分，而简单的部分分式的不定积分我们已经会求 例5：求

2x1x25x6dx

1xx12分解为部分分式

x3dx 例6：求x2

5

例7：求 例8：求

xx1dx2

例11：求 例12：求

dx54cosx

xx3x2x1dx

cosx1cosxdx

x21例9：求dx

x(x1)2

3、 简单无理函数的积分举例 例13：求

1dx3x1

2、 三角函数有理式的不定积分

万能公式

x2tan 2 sinxx

1tan2 2 x1tan2 2 cosxx

1tan2 2 所以

2t1t22 R(sinx,cosx)dxR(,)dt2221t1t1t

dx例10、求 6x(x4) 6

本章的复习总结

一、基本知识结构 二、基本方法技巧 三、典型例题

四、巩固提高练习题 五、小结

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