选择题（每题2分）
1.对古代埃及数学成就的了解主要来源于( A )A.纸草书B.⽺⽪书C.泥版
D.⾦字塔内的⽯刻
2.对古代巴⽐伦数学成就的了解主要来源于( C )A.纸草书B.⽺⽪书C.泥版
D.⾦字塔内的⽯刻
3.《九章算术》中的“阳马”是指⼀种特殊的( B )A.棱柱B.棱锥C.棱台D.楔形体
4.《九章算术》中的“壍堵”是指⼀种特殊的( A )A.三棱柱B.三棱锥C.四棱台D.楔形体
5.射影⼏何产⽣于⽂艺复兴时期的( C )A.⾳乐演奏B.服装设计C.绘画艺术D.雕刻艺术
6.欧洲中世纪漫长的⿊暗时期过后，第⼀位有影响的数学家是( A )。A.斐波那契B.卡尔丹C.塔塔利亚D.费罗
7.被称作“第⼀位数学家和论证⼏何学的⿐祖”的数学家是( B )A.欧⼏⾥得B.泰勒斯
C.毕达哥拉斯D.阿波罗尼奥斯
8.被称作“⾮欧⼏何之⽗”的数学家是( D )A.波利亚B.⾼斯
C.魏尔斯特拉斯D.罗巴切夫斯基
9.对微积分的诞⽣具有重要意义的“⾏星运⾏三⼤定律”，其发现者是( C )A.伽利略B.哥⽩尼C.开普勒D.⽜顿
10.公元前4世纪，数学家梅内赫莫斯在研究下⾯的哪个问题时发现了圆锥曲线？( C )A.不可公度数B.化圆为⽅C.倍⽴⽅体D.三等分⾓
11.印度古代数学着作《计算⽅法纲要》的作者是( C )A.阿耶波多B.婆罗摩笈多C.马哈维拉D.婆什迦罗
12.最早证明了有理数集是可数集的数学家是( A )A.康托尔B.欧拉
C.魏尔斯特拉斯D.柯西
13.下列哪⼀位数学家不属于“悉檀多”时期的印度数学家？( C )A.阿耶波多B.马哈维拉C.奥马.海亚姆D.婆罗摩笈多
14.在1900年巴黎国际数学家⼤会上提出了23个着名的数学问题的数学家是( A )A.希尔伯特B.庞加莱
C.罗素D.F·克莱因
15.与祖暅原理本质上⼀致的是( D )A.德沙格原理B.中值定理C.泰勒定理D.卡⽡列⾥原理
16．世界上第⼀个把π计算到3.1415926＜π＜3.1415927的数学家是( B )A.刘徽B.祖冲之C.阿基⽶德D.卡⽡列⾥
17．我国元代数学着作《四元⽟鉴》的作者是( C )A.秦九韶B.杨辉C.朱世杰D.贾宪
18．就微分学与积分学的起源⽽⾔( A )A.积分学早于微分学B.微分学早于积分学C.积分学与微分学同期D.不确定
19．在现存的中国古代数学着作中，最早的⼀部是( D )A.《孙⼦算经》B.《墨经》C.《算数书》D.《周髀算经》
20．发现着名公式e iθ=cosθ+i sinθ的是( D )A.笛卡尔B.⽜顿C.莱布尼茨D.欧拉
21．中国古典数学发展的顶峰时期是( D )A.两汉时期B.隋唐时期
C.魏晋南北朝时期D.宋元时期
22．最早使⽤“函数”(function)这⼀术语的数学家是( A )A.莱布尼茨B.约翰·伯努利C.雅各布·伯努利D.欧拉
23．1834年有位数学家发现了⼀个处处连续但处处不可微的函数例⼦，这位数学家是( B ) （注意，书上给的例⼦是1861年魏尔斯特拉斯给出的，但不是历史上最早的）A.⾼斯B.波尔查诺C.魏尔斯特拉斯D.柯西
24．⼤数学家欧拉出⽣于（ A ）A.瑞⼠B.奥地利C.德国D.法国
25．⾸先获得四次⽅程⼀般解法的数学家是( D )A.塔塔利亚B.卡当C.费罗D.费拉利
26．《九章算术》的“少⼴”章主要讨论（ D ）A.⽐例术B.⾯积术C.体积术D.开⽅术
27．最早采⽤位值制记数的国家或民族是( A )A.美索不达⽶亚B.埃及C.阿拉伯D.印度
28．数学的第⼀次危机的产⽣是由于( B )A.负数的发现B.⽆理数的发现
C.虚数的发现D.超越数的发现
29．给出“纯数学的对象是现实世界的空间形式与数量关系”这个关于数学本质的论述的⼈是( B )A.笛卡尔B.恩格斯C.康托D.罗素
30．提出“集合论悖论”的数学家是( B )A.康托尔B.罗素C.庞加莱D.希尔伯特填空题（每空2分）
1．古希腊着名的三⼤尺规作图问题分别是：化圆为⽅、倍⽴⽅体、三等分⾓ . 2．欧⼏⾥得是古希腊论证数学的集⼤成者，他通过继承和发展前⼈的研究成果，编撰出旷世巨着《原本》.
3．中国古代把直⾓三⾓形的两条直⾓边分别称为勾和股，斜边称为弦. 4．“万物皆数”是毕达哥拉斯学派的基本信条.5．毕达哥拉斯学派的基本信条是万物皆数.
6．1687年，⽜顿的《⾃然哲学的数学原理》出版，它具有划时代的意义，是微积分创⽴的重要标志之⼀，被爱因斯坦盛赞为“⽆⽐辉煌的演绎成就”.
7．1637年，笛卡⼉发表了他的哲学名着《更好地指导推理和寻求科学真理的⽅》，解析⼏何的发明包含在这本书的附录《⼏何学》中.
8．⾮欧⼏何的创⽴主要归功于数学家⾼斯、波约、罗巴切夫斯基.9．解析⼏何的发明归功于法国数学家笛卡尔和费马.11．徽率、祖率(或密率)、约率分别是、和.
12．《海岛算经》的作者是__刘徽__，《四元⽟鉴》的作者是__朱世杰_____.
13．秦九韶的代表作是《_数书九章》，他的提出__正负开⽅术_是求⾼次代数⽅程的完整算法，他提出的__⼤衍总数术___是求解⼀次同余⽅程组的⼀般⽅法.
14．我国古代数学家刘徽⽤来推算圆周率的⽅法叫___割圆术____术，⽤来计算⾯积和体积的⼀条基本原理是___出⼊相补原理_原理.
15．对数的发明者__纳⽪尔_____是⼀位贵族数学家，_拉普拉斯_____曾赞誉道：“对数的发明以其节省劳⼒⽽延长了天⽂学家的寿命”.
16.历史上第⼀篇系统的微积分⽂献《流数简论》的作者是__⽜顿______，第⼀个公开发表微积分论⽂的数学家是__莱布尼茨____.
17.古代美索不达⽶亚的数学常常记载在___泥版_____上，在代数与⼏何这两个传统领域，他们成就⽐较⾼的是__代数_______领域.
18．阿拉伯数学家__花拉⼦⽶____的《还原与对消计算概要》第⼀次给出了__⼀元⼆次____⽅程的⼀般解法，并⽤⼏何⽅法对这⼀解法给出了证明.
19.“⾮欧⼏何”理论的建⽴源于对欧⼏⾥得⼏何体系中__第五公设___的证明，最先建⽴“⾮欧⼏何”理论的数学家是___⾼斯___.
20．起源于“英国海岸线长度”问题的⼀个数学分⽀是__分形⼏何____，它诞⽣于___20_世纪. 21．四⾊问题是英国青年⼤学⽣__古德⾥_____于___19_____世纪提出的.
22．在代数和⼏何这两⼤传统的数学领域，古代埃及的数学成就主要在___⼏何_____⽅⾯，美索不达⽶亚的数学成就主要在__代数______⽅⾯.
23．⽤圆圈符号“O”表⽰零，可以说是__印度数学___的⼀⼤发明，有零号的数码和⼗进位值记数在公元8世纪传⼊阿拉伯国家，后⼜通过阿拉伯⼈传⾄___欧洲____.
24．希尔伯特在历史上第⼀次明确地提出了选择和组织公理系统的原则，即：__相容性___、__独⽴性____、__完备性____.25．被称为“现代分析之⽗”的数学家是_魏斯特拉斯，被称为“数学之王”的数学家是_⾼斯__.26.“数学⽆王者之道”，这⾥的“王”是指捷径.
27.被着名数学史家贝尔称为“最伟⼤的埃及⾦字塔”是指莫斯科纸草书中的截棱锥体28. 刘徽是中算史上第⼀个建⽴可靠理论来推算圆周率的数学家.判断题，请在括号内划∨或×（每题2分）：
1.分别在直⾓三⾓形三边向外作正五边形，则两直⾓边上的正五边形的⾯积之和等于斜边上的正五边形的⾯积. ( 对)2.分别以直⾓三⾓形的三边为边向外作三个相似的多边形，则两直⾓边上的多边形的⾯积之和等于斜边上的多边形的⾯积. (错)
3.《⼏何原本》传⼊中国，⾸先应归功于数学家李善兰. ( 错)
4．《⼏何原本》传⼊中国，⾸先应归功于数学家徐光启和利玛窦. ( 对)
5．我国的古代数学是建⽴在算法基础之上的，这可以从中国古代数学家的着作中看出端倪，其中最具代表性的就是《九章算术》. ( 对)
6．⽜顿创造了现在通⽤的微分和积分的符号. ( 错)7．莱布尼茨创造了现在通⽤的微分和积分的符号. ( 对)8．秦九韶的代表作是《九章算术》. ( 错)
9．朱世杰的代表作是《四元⽟鉴》和《算法统宗》. ( 错)10．数学符号系统化⾸先归功于数学家花拉⼦⽶. ( 错)
11．毕达哥拉斯学派是⼀个带有浓厚宗教⾊彩的严密组织，属于唯⼼主义学派，在古希腊有很⼤的影响. ( 对)12．笛卡尔的《⽅》是⼀部伟⼤的数学着作. ( 错)13．欧⼏⾥得在公元前600年左右写了《⼏何原本》. ( 错)14．黎曼⼏何在⼆维的情形最初是⾼斯发展的. ( 对)
15．黎曼所创⽴的⼏何把⼏何整体化，可以说是⼏何学的第四个发展. ( 错)
16．⽜顿是在其⼒学研究中得到微积分成果的，所以这些成果明显地带有⼒学的痕迹.
( 错) 17．1908年，策梅罗提出公理化集合论，将原本直观的集合概念建⽴在严格的公理基础之上，解决了第⼆次数学危机. (错)
18．球⾯三⾓形三内⾓之和⼩于180°. ( 错)10.请列举《九章算术》各章的名称和主要研究内容.
11．简述莱布尼茨⽣活在哪个世纪、所在国家及在数学上的主要成就。
答：莱布尼茨于 16 年出⽣在德国的莱⽐锡，其主要数学成就有：从数列的阶差⼊⼿发明了微积分；论述了积分与微分的互逆关系；引⼊积分符号；⾸次引进“函数”⼀词；发明了⼆进位制，开始构造符号语⾔，在历史上最早提出了数理逻辑的思想。12．花拉⼦⽶(什么时代、什么地⽅的数学家、代表着作和重要贡献)。
答：花拉⼦⽶是九世纪阿拉伯数学家，代表着作有：《代数学》和《印度的计算术》；主要贡献有：提出“还原”与“对消”的解⽅程的基本变形法则；给出了⼀次和⼆次⽅程的⼀般解法，⽤⼏何⽅法给出证明；给出了四则运算的定义和法则。13．写出数学基础探讨过程中所出现的“三⼤学派”的名称、代表⼈物、主要观点。
答：⼀，逻辑主义学派，代表⼈物是罗素和怀特⿊德，主要观点是：数学仅仅是逻辑的⼀部分，全部数学可以由逻辑推导出来。⼆，形式主义学派，代表⼈物是希尔伯特，主要观点是：将数学看成是形式系统的科学，它处理的对象不必赋予具体意义的符号。三，直觉主义学派，代表⼈物是布劳维尔，主要观点是：数学不同于数学语⾔，数学是⼀种思维中的⾮语⾔的活动，在这种活动中更重要的是内省式构造，⽽不是公理和命题。14．朱世杰(什么朝代、什么地⽅的⼈、代表着作和数学创造)。
答：朱世杰是13 世纪⾄14 世纪元代数学家，燕⼭⼈。代表着作是《四元⽟鉴》，其主要数学成就是求解⽅程的四元术、⾼阶等差数列研究及其在内插法上的应⽤。
15.秦九韶是什么时代、什么地⽅的数学家，简述他的代表着作和重要数学贡献.
秦九韶约公元1202-1261年南宋安岳⼈，代表着作《数书九章》。重要数学贡献：“正负开⽅术”、“⼤衍总数术”16.简述笛卡尔的⽣活年代、所在国家、代表着作以及在数学上的主要成就.
笛卡尔（1596-1650）出⽣于法国的拉哈耶。主要着作有《⽅》其中包括：《折光学》、《⼤⽓现
象》和《⼏何学》。主要成就有：开创性地⽤代数⽅法研究⼏何问题，把代数⽅程和曲线、曲⾯联系起来；引出了变量和函数的概念。
23.三次数学危机分别发⽣在何时？主要内容是什么？是如何解决的？
第⼀次数学危机: 公元前六世纪, 毕达哥拉斯悖论:⽆理数的发现。欧多克索斯的解决⽅式，是借助⼏何⽅法，避免直接出现⽆理数；⽆理数的使⽤在⼏何中是允许的，合法的，在代数中就是⾮法的，不合逻辑的。
第⼆次数学危机：⼗七世纪，贝克莱悖论：“⽆穷⼩量究竟是否为0”的问题：⽆穷⼩量在当时实际应⽤⽽⾔，它必须既是0，⼜不是0。从形式逻辑⽽⾔，这⽆疑是⼀个⽭盾。极限理论、实数理论和集合论三⼤理论的完善，微积分学坚实牢固基础的建⽴。
第三次数学危机：⼗九世纪下半叶，罗素悖论：罗素构造了⼀个集合S：S由⼀切不是⾃⾝元素的集合所组成，康托尔集合论是有漏洞的。公理化集合系统的建⽴，成功排除了集合论中出现的悖论。24.⽜顿、莱布尼兹微积分思想的异同有哪些？
⽜顿发明微积分主要是依靠⾼度的归纳算法的能⼒，与⽜顿流数论的运动学背景不同，莱布尼茨创⽴微积分⾸先出于⼏何问题的思考，尤其是特征三⾓形的研究。尽管在背景⽅法、形式上存在差异、各有特⾊，但⼆者的功绩是相当的，他们都使微积分成为能普遍适⽤的算法，同时⼜都将⾯积、体积及相当的问题归结为反切线（微分）运算25.数系扩充的原则是什么？
a．从数系A扩充到数系B必须是A真包含于B，即A是B的真⼦集．
b．数系A中定义了的基本运算能扩展为数系B的运算，且这些运算对于B中A的元来说与原来A 的元间的关系和运算相⼀致．c．A中不是永远可⾏的某种运算，在B中永远可⾏，例如，实数系扩充为复数系后，开⽅的运算就永远可⾏．再如，⾃然数系扩充为整数系后，减法的运算就能施⾏等．
d． B是满⾜上述条件的惟⼀的最⼩的扩充，例如，⾃然教系只能扩充为整数系，⽽不能⼀下⼦扩展为实数系．数系A的每⼀次扩充，都解决了原来数系中的某些⽭盾，随之应⽤范围也扩⼤了．但是，每⼀次扩充也失去原有数系的某些性质，⽐如，实数系扩充到复数系后，实数系的顺序性质就不复存在，即在复数系中不具有顺序性．26.《⼏何原本》中的5条公理和5条公设分别是什么
公理是：1.等于同量的量彼此相等2.等量加等量，和相等3.等量减等量，差相等4.彼此重合的图形是全等得5.整体⼤于部分公社是：1.假定从任意⼀点到任意⼀点可作⼀直线2.⼀条有限直线可不断延长3.以任意中⼼和直径可以画圆4.凡直⾓都彼此相等 5.若⼀直线落在两直线上所构成的同旁内⾓和⼩于两直⾓那么把两直线⽆线延长，它们将在同旁内⾓和⼩于两直⾓的⼀侧相交
27.四元数系的发现者是谁？这⼀发现的意义是什么？发现者：爱尔兰数学家哈密顿也是其中⼀员。
意义：四元数是历史上第⼀次构造的不满⾜乘法交换律的数系。四元数本⾝虽然没有⼴泛的应⽤，但它对于代数学的发展来说是⾰命性的。哈密顿的作法启⽰了数学家们，他们从此可以更加⾃由地构造新的数系，通过减弱、放弃或替换普通代数中的不同定律和公理，就为众多代数系的研究开辟了道路。28.简述阿波罗尼奥斯的⽣活时代及主要数学成就？亚历⼭⼤时期，约公元前262-前190.
主要成就：贡献涉及⼏何学和天⽂学，但最重要的数学成就是在前⼈⼯作的基础上创⽴了相当完美的圆锥曲线理论。《圆锥曲线论》就是这⽅⾯的系统总结。这部以欧⼏⾥得严谨风格写成的巨着对圆锥曲线研究所达到的⾼度，直⾄17世纪笛卡尔，帕斯卡出场之前，始终⽆⼈能够超越。
30.试论述“论证⼏何学的⿐祖”的主要数学成就.
泰勒斯，古希腊⼈。利⽤⽇影预测了⽇蚀、⾸先引⼊命题思想、证明了“圆的直径把圆分成相等的两部分”“等腰三⾓形两地⾓相等”“两相交直线形成的对顶⾓相等”“如果⼀个三⾓形有两⾓⼀边分别与另⼀个三⾓形对应⾓对应边相等，那么这两个三⾓形全等”、数学上的泰勒斯定理（半圆上的圆周⾓为直⾓）。论述题
1.论述数学史对数学教育的意义和作⽤.
数学史进⼊课程是数学新课程改⾰的重要理念之⼀。在课程变⾰由结构——功能视⾓向⽂化——个⼈视⾓转变的过程中，⽂化融⼊是师⽣对课程改⾰适应性的⼀个重要因素。对数学学科⽽⾔，数学史是数学⽂化⽣成的⽂库性资源，是最具权威的课程资源，具有明理、哲思与求真三重教育价值。
(1)明理：数学知识从何⽽来数学史展⽰数学知识的起源、形成与发展过程，诠释数学知识的源与流；
(2)哲思：数学是⼀门什么样的科学数学史明晰数学科学的思想脉络和发展趋势，让学⽣领悟数学科学的本质，引发学⽣对数学观问题⾃觉地进⾏哲学沉思，有利于学⽣追求真理和尊崇科学品德的形成
(3)求真：数学科学有什么⽤数学史引证数学科学伟⼤的理性⼒量，让学⽣感悟概念思维创⽣的数学模式对于解析客观物质世界的真理性，提⾼学⽣对数学的科学价值、应⽤价值、⽂化价值的认识。学习数学史可以帮助⼈们—理解数学的本质、掌握数学的思想与⽅法、重⾛数学家数学发现的(思维的)关键性步⼦。
因此，要重视数学史在数学教学中的意义和作⽤，通过数学教学展现数学知识的发现历程，让学⽣了解数学知识的来龙去脉，是数学教学的有效策略。展现数学知识的发现过程，不是简单叙述数学史实，重复数学家的“原发现过程”。⽽是需要教师开展教育取向的数学史研究，从中获得对数学教学的启⽰，引导学⽣重⾛数学发现之路。
2.论述东⽅古代数学和西⽅古代数学各⾃的主要特征、对现代数学的影响，及其对数学教育的启⽰. 古希腊数学的三个阶段：古典时期的希腊数学----哲学盛⾏、学派林⽴、名家百出；亚历⼭⼤学派时期----希腊数学顶峰时期，代表⼈物：欧⼏⾥得，阿基⽶德，阿波罗尼奥斯；希腊数学的衰落----罗马帝国的建⽴，唯理的希腊⽂明被务实的罗马⽂明代替
a古希腊数学与哲学的交织：古希腊早期的⾃然科学往往是与哲学交织在⼀起的，古希腊的⾃然哲学乃是古代⾃然科学的⼀种特殊形态，虽然有许多错误的东西，但也有不少合理的知识和包含着合理成分的猜测．恩格斯说：“在希腊哲学的多种多样的形式中，差不多可以找到以后各种观点的胚胎、萌芽．因此，如果理论⾃然科学想要追溯⾃⼰今天的⼀般原理发⽣和发展的历史，它就不得不回到希腊⼈那⾥去．”
b 与希腊数学相⽐，中世纪的东⽅数学表现出强烈的算法精神，特别是中国与印度数学，着重算法的概括，不讲究命题的数学推导。所谓“算法”，不只是单纯的计算，⽽是为了解决⼀整类实际或科学问题⽽概括出来的、带⼀般性的计算⽅法。c算法倾向本来是古代河⾕⽂明的传统，但在中世纪却有了质的提⾼。这⼀时期中国与印度的数学家们创造的⼤量结构复杂、应⽤⼴泛的算法，很难再仅仅被看作是简单的经验法则，它们是⼀种归纳思维能⼒的产物。c这种能⼒与欧⼏⾥得⼏何的演绎风格迥然不同却⼜相辅相成。东⽅数学在⽂艺复兴以前通过阿拉伯⼈传播到欧洲，与希腊式的数学交汇结合，孕育了近代数学的诞⽣。d就繁荣时期⽽⾔，中国数学在上述三个地区是延续最长的。从公元前后⾄公元14世纪，先后经历了三次发展⾼潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期以及宋元时期，其中宋元时期达到了中国古典数学的顶峰。3.试论述三⾓学的发展历史及其对⾼中三⾓函数教学的启⽰
三⾓学这门学科是从确定平⾯三⾓形和球⾯三⾓形的边和⾓的关系开始的，其最初的研究⽬的是为了改变天⽂学中的计算。古代三⾓学的萌芽可以说是源⾃于古希腊哲学家泰利斯的相似理论。古希腊天⽂学家喜帕恰斯，曾着有三⾓学12卷，可以认为是古代三⾓学的创始⼈。到15世纪，德国的
雷格蒙塔努斯的《论三⾓》⼀书的出版，才标志古代三⾓学正式成为独⽴的学科。16世纪法国数学家韦达则更进⼀步将三⾓学系统化，他已经对解直⾓三⾓形，斜三⾓形等作出了阐述，并且还有正切定理以及和差化积公式等。直到18世纪瑞⼠数学家欧拉才研究了三⾓函数。这使三⾓学从原先静态研究三⾓形的解法中解脱出来，成为反映现实世界中某些运动和变化的⼀门具有现代数学特征的学科。
启⽰：从只是发⽣发展的历史⾓度考察，在任意⾓三⾓函数的教学中不宜过早的引⼊单位圆定义，⽽是应该在学⽣掌握了任意⾓三⾓函数的终边定义之后，再借助单位圆定义法帮助学⽣理解终边坐标法。这样做，不仅符合数学知识的发⽣发展历程，⽽且更便于学⽣理解三⾓函数的数学本质，2.教师的教学要抓住概念的本质。要让学⽣从锐⾓三⾓形的复习中，联系⾼中的函数概念，深刻认识到锐⾓三⾓⽐试相似⽐，与点的选取⽆关，同时更要突出⽐值只与⾓α的⼤⼩有关，想让学⽣理解α确定时，⽐值唯⼀确定，明确这⾥与⽐值之间的映射关系。⽐值是⾓α的函数，认识到三⾓函数是⾓与⽐值之间的映射关系，并进⼀步体会弧度制的意义，3.要做好教学设计，教师要对从旧知识引出新知识做好设计，不能过分强化复习，旧知识，避免学⽣仿照定义锐⾓三⾓⽐得办法，试图任然采⽤直⾓三⾓形的边之⽐来定义任意⾓的三⾓函数。
在研究⽅法上，要抓住时机恰当引⼊平⾯坐标系这个研究⼯具，通过终边坐标法建⽴起任意三⾓函数的定义。最后对单位圆定义法要慎重处理，关于单位圆定义法与终边坐标法之⽐较。4、集合论的发展经历了那⼏个阶段
第⼀个阶段：朴素集合论。在分析的严格过程中，⼀些基本概念如极限、实数、级数等的研究都涉及到⽆穷多个元素组成的集合，这样就导致了集合论的建⽴，狄利克雷、黎曼等⼈都研究过这⽅⾯的问题，但只有康托尔在这⼀过程中系统的发展了⼀般集的理论，开拓了⼀个全新的数学领域。康托尔于19世纪末创⽴的集合论被称为朴素集合论。康托尔是奠定了⽆穷点集的初步基础，康托尔关于实数不可数性的发现，是为建⽴超穷集合论⽽迈出的真正有意义的⼀步集合论提出伊始，曾遭到许多数学家的激烈反对。1902年罗素得出的罗素悖论，证明朴素集合论是有漏洞的，造成了第三次数学危机。
第⼆个阶段：公理化集合论。 1908年，策梅罗提出公理化集合论，后经改进形成⽆⽭盾的集合理系统，简称ZF公理系统。原本直观的集合概念被建⽴在严格的公理基础之上，从⽽避免了悖论的出现。这就是集合论发展的第⼆个阶段，公理化集合论。因⽽较地解决了第三次数学危机。
6.试论述探究勾股定理的证明在初中数学教学中的意义，并给出勾股定理的三个推⼴结论.
对勾股定理的证明在初中教学中能使学⽣清楚这个命题的证明过程及⽅法，使学⽣能够更加熟悉的运⽤勾股定理解决简单问题，使学⽣能够更家熟悉的运⽤勾股定理的逆定理判定直⾓三⾓形。有利于培养学⽣学⽣⾃学、探索能⼒和发展思维，符合知识认知规律，且⽅法简单，易学易⽤。
第⼀推⼴：（实数域）勾股数中各数相同的实数倍仍是勾股数；第⼆推⼴：（复数域）勾股数中各数相同的复数倍仍是勾股数；第三推⼴：勾股数中各数相同的A倍仍是勾股数。(A为⽅阵)7. 试论述数学如何促进社会进步.
数学在其发展的早期主要是作为⼀种实⽤的技术或⼯具，⼴泛应⽤于处理⼈类⽣活及社会活动中的各种实际问题。早期数学应⽤的重要⽅⾯有：⾷物、牲畜、⼯具以及其他⽣活⽤品的分配与交换，房屋、仓库等的建造，丈量⼟地，兴修⽔利，编制历法等。随着数学的发展和⼈类⽂化的进步，数学的应⽤逐渐扩展和深⼊到更⼀般的技术和科学领域。从古希腊开始，数学就与哲学建⽴了密切的联系，近代以来，数学⼜进⼊了⼈⽂社会科学领域，并在当代使⼈⽂社会科学的数学化成为⼀种强⼤的趋势。与此同时，数学在提⾼全民素质、培养适应现代化需要的各级⼈才⽅⾯也显现出特殊的教育功能。数学在当代社会中有许多出⼊意料的应⽤，在许多场合，它已经不再单纯是⼀种辅助性的⼯具，它已经成为解决许多重⼤问题的关键性的思想与⽅法，由此产⽣的许多成果，⼜早已悄悄地遍布在我们⾝边，极⼤地改变了我们的⽣活⽅式。
A; 数学与当代科学技术：在科学发展的进程中，数学的作⽤⽇见凸现。⼀⽅⾯，⾼新技术的基础是应⽤科学，⽽应⽤科学的基础是数学；另⼀⽅⾯，随着计算机科学的迅猛发展，数学兼有了科学与技术的双重⾝份，现代科学技术越来越表现为⼀种数学技术。当代科学技术的突出特点是定量化，⽽定量化的标志就是运⽤数学思想和⽅法。精确定量思维是对当代科技⼈员的共同要求。所谓定量思维是指⼈们从实际中提炼数学问题，抽象为数学模型，⽤数学计算求出此模型的解或近似解，然后回到现实中进⾏检验，必要时修改模型使之更切合实际，最后编制解题的计算机软件，以便得到更⼴泛和⽅便的应⽤。⾼技术的⾼精度、⾼速度、⾼⾃动、⾼质量、⾼效率等特点，⽆⼀不是通过数学模型和数学⽅法并借助计算机的控制来实现的。电⼦计算机的发明与使⽤是第⼆次世界⼤战以来对⼈类⽂明影响最为深远的科技成就之⼀。电⼦计算机是数学与⼯程技术相结合的产物，⽽在其发展的每个历史关头，数学都起了关键的作⽤。天体物理中的数值模拟。
B ;数学与当代⼈⽂社会科学：简单数学⽅法解决社会科学难题如问卷调查；传统的社会科学领域中经济学是运⽤数学⽅法最成功数学化的学科，现代数理经济学研究数学概念和数学技巧是经济学的基础；数学⽅法进⼊历史科学领域，导致了计量史学的诞⽣；19 世纪中叶，许多数学家和语⾔学家进⾏了⽤数学⽅法研究语⾔学问题的实践，获得了许多重要结果；现代军事科学研究中⼴泛应⽤了数学中的蒙特卡罗⽅法。⽤蒙特卡罗⽅法可以建⽴战⽃的概率模型，在实战前对作战双⽅的军事实⼒、政治、经济、地理、⽓象等因素进⾏模拟。
C:数学在艺术领域的应⽤：数理逻辑、绘画、⾳乐等领域之间深刻的共同规律，三维电脑动画，其理论基础就是数。
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