2023年河南省中考数学试题(B卷)(附带详
细解析)
第一大题
1. 填空题
1. 若 $\\dfrac{a}{b} = \\dfrac{7}{3}$，则 $\\dfrac{b}{a} = $ $\\boxed{\\dfrac{3}{7}}$。
2. 已知 $\\dfrac{x}{y} = \\dfrac{5}{8}$，则 $\\dfrac{25x}{2y} =$ $\\boxed{15.625}$。
2. 选择题
3. 根据某次调查，小学十年内收到的礼物中，书本占 $25\\%$，文具占 $13\\%$，两者之和为 $\\dfrac{19}{50}$。那么，收到其他礼物的人数与收到书本礼物数的比例为（$\\qquad$）。
A. $\\dfrac{15}{11}$ B. $\\dfrac{11}{15}$ C. $\\dfrac{5}{11}$ D. $\\dfrac{11}{5}$
答案为$\\boxed{A}$。
4. 如果 $a + b = 4$，$a-b = 2$，则 $3a - b =$（$\\qquad$） A. $10$ B. $7$ C. $8$ D. $9$ 答案为$\\boxed{B}$。
第二大题
1. 填空题
1. 打开一个长 $16\ext{ cm}$，宽 $12\ext{ cm}$ 的长方形纸片中，同心圆的直径为 $4\ext{ cm}$，圆外接于长方形，求此同心圆与长方形面积相差的百分比$\\boxed{42}$%。
2. 已知 $\\log_{\\frac{1}{3}}y=\\dfrac{4}{3}$，则 $y=$ $\\boxed{\\dfrac{1}{81}}$。
2. 改错题
3. 已知 $x = 4y$，代入 $3x - 2y = 7$，得 $11y = 7$，则 $y$ 的值为 $\\dfrac{7}{11}$。改正后的计算表述应该为：代入 $x=4y$，
得到 $x =4\\cdot \\dfrac{7}{11} = \\dfrac{28}{11}$，故 $x$ 的值为 $\\dfrac{28}{11}$。
4. 已知 $xy = 12$，$y^2 - x^2 = 20$，则 $y-x=2$。错误原因是应该先根据这两个式子得到 $y+x$，而不是直接减法计算。具体而言，根据 $y^2 - x^2 = (y+x)(y-x)$，可以解得 $y+x=\\dfrac{20}{y-x}$，然后代入 $xy=12$ 解得 $y-x=2$。
第三大题
1. 填空题
1. 外接正四棱锥底面为边长为 $4$ 的正方形，其纵高为 $6$，则这个正四棱锥体积为 $\\boxed{16\\sqrt{2}}$。
2. 下列不能成为奇数的是 $\\boxed{2^2\\cdot 5}$。
2. 解答题
3. 已知
$\\dfrac{a^2}{b+c}+\\dfrac{b^2}{c+a}+\\dfrac{c^2}{a+b}=4$，求证：$\\dfrac{a^3}{(b+c)^2}+\\dfrac{b^3}{(c+a)^2}+\\dfrac{c^3}{(a+b)^2}\\geq\\frac{3}{4}$.
答：由均值不等式，有次均值 $\\geq$ 平均次数，即
$$\\dfrac{a^3}{(b+c)^2}+\\dfrac{b^3}{(c+a)^2}+\\dfrac{c^3}{(a+b)^2} \\geq
\\dfrac{\\left(\\dfrac{a^2}{b+c}+\\dfrac{b^2}{c+a}+\\dfrac{c^2}{a+b}\\right)^2}{\\left(\\dfrac{a}{b+c}+\\dfrac{b}{c+a}+\\dfrac{c}{a+b}\\right)^2}$$
把已知条件代入计算得
$$\\dfrac{a^3}{(b+c)^2}+\\dfrac{b^3}{(c+a)^2}+\\dfrac{c^3}{(a+b)^2}\\geq
\\frac{9}{4\\left(\\frac{a}{b+c}+\\frac{b}{c+a}+\\frac{c}{a+b}\\right)}.$$
易知
$\\frac{a}{b+c}+\\frac{b}{c+a}+\\frac{c}{a+b}\\leq\\frac{3}{2}$，代入可得
$\\dfrac{a^3}{(b+c)^2}+\\dfrac{b^3}{(c+a)^2}+\\dfrac{c^3}{(a+b)^2} \\geq \\frac{9}{4\\cdot\\frac{3}{2}}=\\dfrac{3}{4}$。
4. 已知函数 $f(x)=\\dfrac{2x-1}{x^2+1}$，求
$f(x)f(y)+f\\left(\\dfrac{y}{x}\\right) + f\\left(\\dfrac{x}{y}\\right)$ 的值。
答：$f(x)f(y)+f\\left(\\dfrac{y}{x}\\right) + f\\left(\\dfrac{x}{y}\\right) = \\dfrac{2x-1}{x^2+1}\\cdot\\dfrac{2y-1}{y^2+1}+\\dfrac{2\\cdot\\dfrac{y}{x}-1}{\\left(\\dfrac{y}{x}\\right)^2+1}+\\dfrac{2\\cdot\\dfrac{x}{y}-1}{\\left(\\dfrac{x}{y}\\right)^2+1}
= \\dfrac{(2xy-x-y+1)^2}{(x^2+1)(y^2+1)}$。 因此 $f(x)f(y)+f\\left(\\dfrac{y}{x}\\right) +
f\\left(\\dfrac{x}{y}\\right)=(2xy-x-y+1)^2/(x^2+1)/(y^2+1)$。
第四大题
1. 填空题
1. 下列加粗字组成的巨无霸汉堡全价值约为 $\\boxed{35}$ 元：「芝士牛肉饼」 、「五条培根」、「两片焦香培根」、「青烤洋葱」、「蘑菇」、「千岛酱」、「芝士」和「3块炸薯条」。
2. 一枚废铝箔球体结构如图。已知所用的废铝箔面积为 $1\ext{ m}^2$，如果其被打散，可以涂饰的墙面面积约为 $\\boxed{5\ext{ m}^2}$。
2. 解答题
3. 一家超市将 $p$ 块钱的价值的 $A$ 品牌商品按钞票面值分类装进袋子里出售。设有 $20$ 元、$10$ 元、$5$ 元和 $1$ 元共 $4$ 种面值的钞票。已知装进袋子里的单种面值钞票张数都不少于 $1$，若 $p$ 的所有可能取值中，第 $k$ 小的数恰好是 $84$，则 $k=$$\\boxed{373}$。
4. $15$ 只蚂蚁围绕直径长为 $10$ 厘米的圆形钢线打盹。为了使蚂蚁不打瞌睡，每只蚂蚁看到左右的五只蚂蚁。一开始两只蚂蚁擦肩而过。证明：当两只蚂蚁擦肩而过 $12$ 次后，圆形钢线上的所有蚂蚁都换了至少一个相邻的伙伴。
答：记 $a_n$ 表示第 $n$ 只蚂蚁围绕圆形钢线的时的位置，显然有 $a_n>a_{n+1}$ 或 $a_n$a_1>a_2>\\dots >a_{15}$。将 $15$ 只蚂蚁按照围绕圆形的顺序从 $1$ 到 $15$ 标号，不难发现，刚开始擦肩的两只的编号必须相邻。我们取 $a_1,a_2$ 分别为这两只蚂蚁的位置。因为每一只蚂蚁都可以看到左右五只蚂蚁，所以我们可以以 $a_2$ 为参照，将所有蚂蚁的位置按 $a_2$ 所在的位置与 $a_2$ 之间的夹角从小到大排列，并且以 $7$ 号蚂蚁所在的位置为零度角。比如图中红色箭头为 $a_2$，然后将蓝线上编号依次按照与 $a_2$ 的夹角排序。
在这个排列下，$a_1$ 的位置必定在开头与结尾两个位置中的一个，假设 $a_1$ 在开头，经过一段时间后，为了两者擦肩次数 $+1$，$a_2$ 必须从原来的顺时针移动到逆时针，记 $a_2$ 移动到的位置对应序号为 $k$。此时，因为 $a_2$ 的方向改变了，我们需要重新按夹角排序一次。
根据这个排序，不难发现，$a_1$ 要不然在端点 $15$ 的位置，要不然就从 $15$ 开始一路向左，直到分隔线右侧的 $7$ 号蚂蚁所在的位置，就可以与 $a_2$ 搭配一次擦肩交替。
不断重复上述过程，彻底改变两蚂蚁的焦点必须经过 $12$ 次交替擦肩。归纳出规律即可证毕。