2007年高考数学试题(广东·理)含答案

2007年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷）

数学(理科)

本试卷共4页,21小题，满分150分,考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前,考生务必用黑色字迹的铅笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、

座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型(B）填涂在答题卡相应位置上、将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点

涂黑，如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定

区域内相应位置上,如需改动,先划掉原来的答案，然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号（或题组号）对应的信息点，

再作答．漏涂、错涂、多涂的,答案无效．

5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后,将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：锥体的体积公式V1sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高． 3 如果事件A、B互斥，那么P(AB)P(A)P(B)． 如果事件A、B相互,那么P(A•B)P(A)•P(B)．

ˆ 用最小二乘法求线性同归方程系数公式bxynxyiii1nnxi2nxi12ˆ． ˆybx,a一、选择题：本大题共8小题,每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中,只

有一项符合要求的． 1．已知函数f(x)11x的定义域为M,g(x)ln(1x)的定义域为N,则MB．xx1 C．x1x1

N

A．xx1

D．

2．若复数(1bi)(2i)是纯虚数（i是虚数单位，b是实数）则b＝

A．2

2 B．

1 2

C．1 2 D．—2

3．若函数f(x)sinx

A．最小正周期为

1(xR),则f(x)是 2B．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数

的奇函数 2C．最小正周期为2的偶函数

第 1 页 共 9 页

4．客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地,下列描述客车从甲地出发．经过乙地,最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中,正确的是

A． B． C． D．

25．已知数an的前n项和Snn9n,第k项满足5ak8，则k=

A．9 B．8 C．7 D．6 6．图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1、A2、…、A10（如A2表示身高（单位：cm）（150,155）内的学生人数)．图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm（含160cm，

不含180cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是

A．i〈6 B． i<7 C． i〈8 D． i〈9

7．图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图,公司在年初分配给A、B、C、D四个维修点的这批配件分别调整为40、45、61件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么要完成上述调整，最少的调动件次（n件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n）为

A．15 B．16 C．17 D．18

8．设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“＊\"(即对任意的a,b∈S，对于有序元素对（a,b)，在S中有唯一确定的元素a＊b与之对应），若对任意的a，b∈S，有a*（b＊a）=b，则对任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是 A．（a＊b）＊a=a B．[a*(b＊a）]*(a＊b）=a C．b＊(b＊b)=b D．(a*b）＊ ［b＊（a＊b）］=b

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分,满分30分,其中13～15题是选做题,考生只能选

做二题，三题全答的,只计算前两题得分．

9．甲、乙两个袋中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同．其中甲袋装有4个红球，2个白球，乙袋装有1个红球，5个白球． 现分别从甲、乙两袋中各随机取出一个球，则取出的两球都是红球的概率为 ．（答案用分数表示） 10． 若向量a、b满足|a｜＝|b｜＝1，a与b的夹角为120,则aa＋ab ．

第 2 页 共 9 页

11．在平面直角坐标系xOy中，有一定点A（2，1），若线段OA的垂直平分线过抛物线y2px(p0)的焦点,则该抛物线的准线方程是 ． 12．如果一个凸多面体n棱锥,那么这个凸多面体的所有顶点所确定的

直线共有 条．这些直线有f(n)对异面直线，则f(4)＝ 图4 ; f(n)＝ ．（答案用数字或n的解析式表示）

13．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

2x2cosxt3,圆的参数方程为则圆C的C(参数tR)(参数0，2)，y3ty2sin2圆心坐标为 ，圆心到直线l的距离为 ．

14．(不等式选讲选做题）设函数f(x)2x1x3,则f(2)＝ ；若f(x)2,

则x的取值范围是 ． 15．（几何证明选讲选做题）如图5所法，圆O的直径AB6,C为

圆周上一点，BC3,过C作圆的切线l,过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E，则

∠DAC＝ ，线段AE的长为 ．

图5

三、解答题：本大题共有6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知△ABC顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C(c,0)．

（1）若c5，求sin∠A的值；

(2）若∠A是钝角，求c的取值范围． 17．（本题满分12分）

下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生 产能耗y(吨标准煤）的几组对照数据

x

3 2.5 4 3 5 6 4.5 y 4 （1）请画出上表数据的散点图；

ˆaˆ； (2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程ybx (3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性

同归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? （参考数值：32.5435464.566.5）

第 3 页 共 9 页

18．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在第二象限,半径为22的圆C与直线y=x相切于y2坐标原点O．椭圆2＝1与圆C的一个交点到椭圆两点的距离之和为10．

9a(1）求圆C的方程．

(2）试探求C上是否存在异于原点的点Q,使Q到椭圆右焦点P的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在,请说明理由．

19．(本小题满分14分)

x2如图6所示，等腰△ABC的底边AB=66，高CD=3,

点B是线段BD上异于点B、D的动点．点F在BC边上，且EF⊥AB．现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE．记

BE＝x,V(x)表示四棱锥P—ACFE的体积．

（1）求V（x)的表达式；

（2）当x为何值时，V(x)取得最大值？

（3)当V（x)取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值 20．（本小题满分14分)

已知a是实数，函数f(x)2ax2x3a．如果函数yf(x)在区间[1,1]上有零点，求a的取值范围．

21．(本小题满分14分）

已知函数f(x)xx1,、是方程f(x)0的两个根（），f(x)是fx22的导数，设a11，an1an（1）求、的值；

f(an)，(n1,2,)． f(an)(2）证明:任意的正整数n，都有an； （3）记bnln

第 4 页 共 9 页

an,(n1,2,)，求数列｛bn｝的前n项和Sn．

an2007年普通高等学校全国招生统一考试 （广东卷）数学（理科)参

一、选择题

题号 答案

二、填空题

1 C 2 A 3 D 4 B 5 B 6 C 7 B 8 A nn1nn1n21159． 10． 11．x 12．，

2292413．(0,2），22 14．6，1,1 15．30 ，3

三、解答题

16．解：（1）∵A3,4,B0,0, ∴AB5，sinB4． 5当c5时，BC5，AC53042225, BCAC根据正弦定理，得, sinAsinB∴sinA25． 5（2）∵A3,4，B0,0，Cc,0， ∴AB5，ACc3242,BCc．

222根据余弦定理，得cosAABACBC2ABAC22．

2若A为钝角，则cosA0,即ABACBC0，

2222即5c34c0,

解得c

25． 3第 5 页 共 9 页

17．解:（1）如下图

76543210012产量

（2)

能耗345i1xiyi＝32。5＋43＋54＋64。5＝66。5，

nx＝

3456＝4.5,

42.5344.5y＝＝3。5，

4n2xii13242526286，

b＝

66.544.53.50.7,

8644.52a＝3.5－0。74。5＝0.35．

故线性回归方程为y＝0.7x＋0。35．

（3)根据回归方程的预测,现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为 0。7100＋0。35＝70。35，

故耗能减少了90－70。35＝19。65（吨）

18．解：（1）设圆心坐标为(m，n）（m<0,n>0），则该圆的方程为xmyn8，已知该圆与直线y＝x相切,那么圆心到该直线的距离等于圆的半径,则

22mn2＝22．

即mn＝4 ① 又圆与直线切于原点，将点（0，0)代入，得m2＋n2＝8． ② 联立方程①和②组成方程组解得

m222，故圆的方程为x2y28． n2第 6 页 共 9 页

x2y21． （2)a＝5，∴a＝25,则椭圆的方程为

2592

其焦距c＝259＝4，右焦点为(4，0),那么OF＝4．

要探求是否存在异于原点的点Q，使得该点到右焦点F的距离等于OF的长度4,我们可以转化为探求以右焦点F为顶点，半径为4的圆x4y8与(1）所求的圆的交点数．

22124,y＝． 55412即存在异于原点的点Q（，），使得该点到右焦点F的距离等于OF的长．

5519．解：（1）∵EFAB，∴EFPE．

又∵PEAE，EFAEE,且PE在平面ACFE外, ∴PE平面ACFE．

∵EFAB，CDAB，

通过联立两圆的方程解得x＝∴EFCD．

∴

EFxCD6EFxx． CDBDBD6所以四边形ACFE的面积

116262SACFESABCSBEF663x96x．

22612∴四棱锥PACFE的体积VPACFE163SACFEPE36xx． 336即Vx36x63x(0x36）． 3662x． 12（2)由(1)知Vx36令Vx0,解得x6．

∵当0x6时，Vx0，当6x36时，Vx0, ∴当BEx6时,Vx有最大值，最大值为V6126． (3）(解法1)过点F作FG所成的角．

第 7 页 共 9 页

AC交AE于点G，连接PG，则PFG为异面直线AC与PF

∵ABC是等腰三角形， ∴GBF也是等腰三角形． 于是FGBFPF从而PGBE2EF242，

PE2GE2BE2BE262．

PF2FG2PG21． 在GPF中,根据余弦定理,得cosPFG2PFFG7故异面直线AC与PF所成的角的余弦值为

1． 7(解法2)以点E为坐标原点，向量EA，EF，EP分别为x,y，z轴的正向建立空间直角坐标系，

于是AC36,3,0，PF0,6,6．

异面直线AC与PF所成角的余弦为cos则E0,0,0，P0,0,6，F0,6,0,A666,0,0，C366,3,0．

ACPFACPF361，

33427故异面直线AC与PF所成的角的余弦值为

1． 73不在区间［－1，1］上． 220．解:当a＝0时，函数为fx2x3，其零点x＝

当a≠0时，函数fx在区间[－1，1］分为两种情况： ①方程fx0在区间1,1上有重根． 此时48a3a0,解得a37． 2当a37371,1． 时，fx0的重根x22②函数在区间［─1,1]上只有一个零点,但不是fx0的重根． 此时f1f10,即a5a10,解得1a5． ③函数在区间［─1，1］上有两个零点，此时

0,371a11,解得或a5． 22af1f10.第 8 页 共 9 页

综上所述，如果函数在区间[─1,1］上有零点，那么实数a的取值范围为

37,21,．

15, 221．解：（1）解方程x2＋x－1＝0得x＝

由，知1515,． 22f(an)an21（2）∵fx2x1，∴an1an． f(an)2an12222an22an1an2an1an． an12an12an12an1下面用数学归纳法证明，当n1时,an0成立． ①当n1时，a11350，命题成立． 2②假设nk（k1）时命题成立,即ak0，此时ak0． 则当nk1时,ak1ak2ak120，命题成立．

根据数学归纳法可知，对任意的正整数n,有an0．

an．

（3）根据（2），同理可得an12an1∵an（n1,2,3,215512）,且a11，∴b1ln＝4ln． 2151212an1an1anln2ln2bn1， bnln2anaan1n1即数列bn为首项为b1，公比为2的等比数列． 故数列bn前n项和Snb112n122n14ln5151． 2n24ln22第 9 页 共 9 页