2013年上海市初中毕业统一学业考试
数学试题（含答案全解全析）
(满分120分,考试时间120分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共24分)
一、选择题(本大题共6题,每题4分,满分24分)
1.下列式子中,属于最简二次根式的是( ) A. B. C. D.
2.下列关于x的一元二次方程有实数根的是( ) A.x2+1=0
B.x2+x+1=0
C.x2-x+1=0
D.x2-x-1=0
3.如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位,那么所得新抛物线的表达式是( ) A.y=(x-1)2+2
B.y=(x+1)2+2
C.y=x2+1
D.y=x2+3
4.数据0,1,1,3,3,4的中位数和平均数分别是( ) A.2和2.4
B.2和2 C.1和2 D.3和2
5.如图,已知在△ABC中,点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点,DE∥BC,EF∥AB,且AD∶DB=3∶5,那么CF∶CB等于( )
A.5∶8 B.3∶8
C.3∶5 D.2∶5
6.在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC和BD交于点O,下列条件中,能判断梯形ABCD是等腰梯形的是( ) A.∠BDC=∠BCD
B.∠ABC=∠DAB
C.∠ADB=∠DAC
D.∠AOB=∠BOC
第Ⅱ卷(非选择题,共126分)
二、填空题(本大题共12题,每题4分,满分48分) 7.因式分解:a2-1= .
8.不等式组 -
9.计算: ·=
的解集是 .
.
10.计算:2(a-b)+3b= .
11.已知函数f(x)= ,那么f( )= .
12.将“定理”的英文单词theorem中的7个字母分别写在7张相同的卡片上,字面朝下随意放在桌子上,任取一张,那么取到字母e的概率为 .
13.某校报名参加甲、乙、丙、丁四个兴趣小组的学生人数如图所示,那么报名参加甲组和丙组的人数之和占所有报名人数的百分比为 .
14.在☉O中,已知半径长为3,弦AB长为4,那么圆心O到AB的距离为 .
15.如图,在△ABC和△DEF中,点B、F、C、E在同一直线上,BF=CE,AC∥DF,请添加一个条件,使△ABC≌△DEF,这个添加的条件可以是 .(只需写一个,不添加辅助线)
16.开车从甲地到相距240千米的乙地,如果油箱剩余油量y(升)与行驶里程x(千米)之间是一次函数关系,其图象如图所示,那么到达乙地时油箱剩余油量是 升.
17.当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时,我们称此三角形为“特征三角形”,其中α称为“特征角”.如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°,那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为 .
18.如图,在△ABC中,AB=AC,BC=8,tan C= ,如果将△ABC沿直线l翻折后,点B落在边AC 的中点处,直线l与边BC交于点D,那么BD的长为 .
三、解答题(本大题共7题,19~22题10分,23、24题12分,25题14分,满分78分) 19.计算: +| -1|-π+ .
20.解方程组
21.已知平面直角坐标系xOy(如图),直线y= x+b经过第一、二、三象限,与y轴交于点B,点 A(2,t)在这条直线上,连结AO,△AOB的面积等于1.
- -
- -
0
-
(1)求b的值;
(2)如果反比例函数y= (k是常量,k≠0)的图象经过点A,求这个反比例函数的解析式.
22.某地下车库出口处“两段式栏杆”如图1所示,点A是栏杆转动的支点,点E是栏杆两段的连接点.当车辆经过时,栏杆AEF升起后的位置如图2所示,其示意图如图3所示,其中AB⊥BC,EF∥BC,∠EAB=143°,AB=AE=1.2米,求当车辆经过时,栏杆EF段距离地面的高度(即直线EF上任意一点到直线BC的距离).(结果精确到0.1米,栏杆宽度忽略不计)参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75.
23.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B>∠A,点D为边AB的中点,DE∥BC交AC于点E,CF ∥AB交DE的延长线于点F.
(1)求证:DE=EF;
(2)连结CD,过点E作DC的垂线交DC于点H,交CF的延长线于点G,求证:∠B=∠A+∠HGC.
24.如图,在平面直角坐标系xOy中,顶点为M的抛物线y=ax2+bx(a>0)经过点A和x轴正半轴上的点B,AO=BO=2,∠AOB=120°. (1)求这条抛物线的表达式; (2)连结OM,求∠AOM的大小;
(3)如果点C在x轴上,且△ABC与△AOM相似,求点C的坐标.
25.在矩形ABCD中,点P是边AD上的动点,连结BP,线段BP的垂直平分线交边BC于点Q,垂足为点M,连结QP(如图).已知AD=13,AB=5,设AP=x,BQ=y. (1)求y关于x的函数解析式,并写出x的取值范围;
(2)当以AP长为半径的☉P和以QC长为半径的☉Q外切时,求x的值;
(3)点E在边CD上,过点E作直线QP的垂线,垂足为F,如果EF=EC=4,求x的值.
答案全解全析：
1.B ∵ = , =2 , =.故A、C、D排除,选B.
2.D 在x-x-1=0中,Δ=b-4ac=(-1)-4×(-1)=5>0.故选D.
3.C 原抛物线向下平移1个单位,则所得新抛物线的表示式为y=x+1.故选C.
评析 本题比较容易,根据二次函数图象的平移规律“上加下减,左加右减”进行解题.考查二次函数图象的平移.
4.B ∵数据已经从小到大排列,
∴中位数为( + )÷ = ,平均数为( + + + + +4)÷6= . 故选B.
5.A ∵DE∥BC,∴AE∶EC=AD∶DB= ∶ , ∵EF∥AB,∴BF∶FC=AE∶EC= ∶ , 故CF∶CB= ∶8.故选A.
6.C 若满足∠BDA=∠CAD,则∠ACB=∠DBC,∴BO=OC,OD=OA.故AC=DB.对角线相等的梯形是等腰梯形,故选C.
2
2
2
2
7.答案 (a+1)(a-1)
解析 利用平方差公式分解得a-1=(a+1)(a-1). 8.答案 x>1
解析 两个不等式的解集分别为x>1,x>-3,根据“同大取大”知,不等式组的解集为x>1. 9.答案 3b 解析
2
·=·=3b. 10.答案 2a+b
解析 原式=2a-2b+3b=2a+b. 11.答案 1 解析 f( )=12.答案
( ) = =1.
解析 ∵字母e在单词出现两次,单词一共7个字母,∴概率为 . 13.答案 40%
解析 百分比为( + )÷( +8 + +4 )=4 %. 14.答案 解析 如图,连结OA,过点O作OC⊥AB于点C.根据垂径定理得:AC=AB=2.
∴OC= -A = - = .
15.答案 答案不唯一,如∠ABC=∠DEF
解析 ∵BF=CE,∴BC=EF,∵AC∥DF,∴∠ACB=∠DFE.添加∠ABC=∠FED,可由“ASA”公理推断出△ABC≌△DEF.
16.答案 20
解析 设直线解析式为y=kx+b.将(0,35),(160,25)代入可得y=-+35.当x=240时,y=20,
6
即到达乙地时油箱剩余油量是20升.
评析 本题考查利用待定系数法求解一次函数解析式. 17.答案 °
解析 当特征角是 °时,角β= °,另一个角为 8 °- °- °= °,∴最小内角的度数为 °. 18.答案
4
解析 如图1,过点A作AH⊥BC交BC于点H,∴BH=HC=4,∵tan C=,∴AH=6,AC= .如图2,R为AC中点,则RC= .过点R作RM⊥BC于点M,∴RM= ,CM= .∴BM=6.设BD=x,∴DM=6-x,∵直线l垂直平分BR,∴BD=RD=x,在Rt△DRM中,利用勾股定理建立方程:3+(6-x)=x,解得x=4,即BD=4.
2
2
2
图1
图2
19.解析 8+| -1|-π+
0
-
=2 + -1-1+2=3 . - - , 20.解析
- - , 由 可得:(x-2y)(x+y)=0, 所以x=2y或x=-y, 则原方程组可以转化成为 - - , - - ,或
- .
- , - ,或
. -
解得
评析 本题考查可化为两个二元一次方程组的二元二次方程组的求解方法.对方程 因式分解是解决这道题的关键.
21.解析 (1)因为直线y=x+b经过第一、二、三象限,所以点B在y轴正半轴上,所以b>0.
因为S△AOB=·b· = ,所以b=1,点B的坐标为(0,1).
(2)由(1)知直线的解析式是y= x+1.
又因为点A(2,t)在直线上,所以可得到A(2,2).因为点A在反比例函数的图象上,所以k= × =4,所以反比例函数的解析式为y=.
4
22.解析 过点A作AH∥BC,EH⊥AH. ∵∠EAB= 4 °,∴∠EAH= °,∠AEH= °, ∴cos∠AEH=cos °=≈ .8. ∵AE= . ,∴EH=AE· .8= . 6.
∴栏杆EF距离地面的高度是 . 6+ . = . 6≈ . 米. 23.证明 ( )∵DF∥BC,DB∥FC, ∴四边形DBCF为平行四边形.
又∵D为Rt△ACB斜边中点,DE∥BC, ∴==, ∴DE= BC,又DF=BC,∴DE= DF, ∴EF=DE.
( )∵D为AB中点,∴DC=DB=AD, ∴∠B=∠DCB.
∵∠EHC=∠ACB= °,∴∠HEC+∠ACD= °, ∠DCB+∠ACD= °,∴∠HEC=∠DCB. ∵∠HEC为△EGC的外角, ∴∠HEC=∠ECG+∠G, 又AD∥CF,∴∠ECG=∠A, ∴∠HEC=∠A+∠HGC, ∴∠B=∠A+∠HGC.
24.解析 ( )∵OA=OB= ,∠AOB= °,作AF⊥x轴, ∴∠AOF=6 °,可得到点A(-1, ),B(2,0). 代入y=ax+bx(a>0)中,
,(- ) (- ) , 可得 解得
, - ,∴y= x- x.
(2)y= x- x= (x-2x+1)- = (x-1)- ,
22
2
2
2
∴点M的坐标为 ,- .
过点M作MQ⊥x轴,则MQ=,OQ= ,tan∠QOM==, ∴∠QOM= °,∠AOM= °+ °= °. (3)连结AB,由(1)知∠AOF=6 °. 又∵OA=OB,∴∠OAB=∠ABO= °, ∴∠ABx= °=∠AOM,
∴点C在B点的右侧,设点C(c,0). △AOM相似于△ABC可分两种情况讨论: ∠CAB=∠MAO,即△ABC∽△AOM,
=
,易知AB=2 ,BC=c-2,AO=2,OM= , = ⇒c=4,∴C1(4,0).
则
- ∠CAB=∠AMO,即△ABC∽△MOA,
=,AB=2 ,BC=c-2,AO=2,OM= ,
则
-
=
⇒c=8,∴C2(8,0),
综上两种情况,点C坐标为(4,0)或(8,0). 25.解析 ( )∵AD∥BC,∴∠APB=∠PBQ, ∵QM是PB的垂直平分线,∴∠QMB=∠PAB= °, ∴△APB∽△MBQ,∴ = . ∵AP=x,AB= ,∠BAD= °,
∴BP= A = ,又BM= = ,BQ=y,AP=x,
则 =
,
化简得y=( ≤x≤ ).
(2)如图所示,∵☉P与☉Q外切,∴圆心距PQ=AP+CQ=x+(13-y). ∵QM是PB的垂直平分线,∴BQ=PQ=y,
, ( - ),
即y=x+(13-y),又由(1)知y=,则 解得 , .
∴x= .
(3)连结EQ,∵EC=EF=4, ∠EFQ=∠ECQ= °,EQ=EQ, ∴△ECQ≌△EFQ,∴∠EQC=∠EQF,
又DM为BP的垂直平分线,则可得∠PQM=∠BQM, ∴ (∠EQF+∠PQM)= 8 °,∴∠EQM= °, 则可知∠EQC=∠APB,又∵∠ECQ=∠PAB= °, ∴△APB∽△CQE,∴ = ,代入(1)中的y=
2
-
= ,
,
6 6
整理之后可得13x-130x+125=0,解得x=检验,当x=
6 6
,
时,在定义域内,∴x=
6 6
.