高数上期末试卷分类解析12-06级_第一至六章

注：刘小兰整理，（11）表示10级学生在11年元旦参加期末考试 一、无穷小的应用

1. (11) 当xa时,f(x)x1是无穷小,则实数a_0 ； lnx2. (09)设x0时,etanxex与xn是同阶无穷小,则n_________3______；

3. (07) 设fx5x7x2，则当x0时（B）

A.fx与x是等价无穷小量 B. fx与x是同阶但非等价无穷小量 C. fx是比x高阶的无穷小量 D. fx是比x低阶的无穷小量 4. （10）当xa时,f(x)

二、求极限、特殊极限、连续性

1. (13)设数列xn满足：0x1，且xn1sinxnn1,2,2. (11)求极限lim(nx1是无穷小,则实数a_0 ； lnxxn存在，并求出此极限 。证明：limn1n121n221nn2)

4x25x13. (06) 极限lim （D）

x2x3A. 2 B.2 C.2 D. 不存在 4. (08) 设annsin解：limanlimnsinnnn22n，求liman

n2n22nlimn2nn22nlimn2

1221n5. （10）求极限lim(n1n1211n2211nn2)． n解：

nnn21n1n2n21

12nn2n12………..3’

limnnn11n122limnnn12lim(nn22nnx22)1…………………….2’

6. （10）求极限limex1x1． x解：limex1x11xx2ln1，………….2’ explimxxxx21111ln(1t)t1121t limxxln1lim2ln1tlimlim2t0t0xt0ttt2t2x1lime1xxxx2e……………….3’

12x11cosxlim17. (08)求极限 x0x212x1解：原式limcos1limex0xx0x2

三、间断点的判断及类型

xxxlncos221limx0xlncos2xx22ln10

x2x1. (09)已知f(x)，指出函数的间断点及其类型． 2|x|(x1)x10,x21,x31为间断点……….2分

x2xx2xf(00)lim1,f(00)lim1,

x0x(x21)x0x(x21)x2x1x2x1f(10)lim,f(10)lim, 2x10x(x21)x102x(x1)2x(x1)x2xf(10)lim,f(10)lim,………3分

x10x(x1)x1x10x(x21)从而x10为第一类跳跃间断点，x21为第一类可去间断点，x31为第二类无穷型间断点

………………………………………………………………………………..1分

2. (08) 设fxlimnn1x，则

nx12fx的间断点为x0，它是第 二 类间断点

3. (06)设f(x)解 由limx013xbxbxax1有无穷间断点x10，有可去间断点x21，求a,b的值

1a(1)0，得a0,b0,b1 fx1bb 因limfx存在，故limx1fxlimx1xb13xbxx1x11b2b0

从而b2

第二章 导数与微分

一、导数定义和几何意义

f21xf211. (13)设f1f12，则lim 8

x0x2. (12) 设g(x)sin2xf(x),其中f(x)在x0处连续问,g(x)在x0处是否可导?如果可导,求出g(0). 3. (11) 设f(x)在x0可导，则limh0f(x02h)f(x03h)=5f'(x0)

hx04. (10) 已知fx有一阶连续导数，且f0f01，求极限limfsinx1

lnfx1

x0解：原式=limx0fsinxf0sinx11f01sinx0xlnfxlnf0lnfxx0x5. (07)求曲线yxe在拐点处的切线方程

解：yexxex11xex，yex(1x)ex1x2ex

2令y0,x2，由于x2时y0，x2时y0，(2,2e)为拐点

2故要求的切线为：y2ee2x2,y4e2e2x

二、简单函数或复合函数求导或求微分 1. (13) 已知y3x2x23xsinx，求

dy dx3cosxdx

2sinx12. (11) 设yln(sinx1)3，则dy3. (10) 设y16!6(6)，则y(x)(2) 712x(12x)4. (09) 若fxxx1x2x35. (09)设

x2008，则f02008!

ddfxgx,hxx2，则fhx（D） dxdx2222A. gx B. 2xgx C. xgx D. 2xgx

xe6. (07)设yx，则ylnexxe1

7. (08)设fu可微，且yf

2sin3x，则dy6fsin3xfsin3xcos3xdx

三、隐函数方程

ey1. (13) 方程y1xe确定了隐函数yyx，则dydx y1xey2. (11) 由方程ytan(xy)确定了隐函数yy(x)，求y(x)的二阶导数 3. (10)由方程xy2xy0确定了隐函数yy(x)，求微分dy．

deylnx2xyeylnxlnxdyydlnx2dxdy0……………5分

即xylnxdyxyy2xydx2dxdy0,dydx……………1分 yxx1xlnxy4. (09)设函数yyx由方程xy解：对方程两边求导书

xx0,y0确定，求

dy dxlnylnx,ylnyxlnx xylnx1

lny1两边求导书，得(lny1)ylnx1,y

四、参数方程

2dyxln1x1. (13) 设yyx由参数方程确定，求

dxytarctantd2yxatsint2. (12) 设函数yy(x)由参数方程所确定,求2.

dxya1costxtln(1t)d2y3. (10)求由参数方程所确定函数的二阶导数2． 32dxyttdy(3t2)(t1)……………3分 dx4.

d2y(6t5)(t1)…………….3分

tdx23xt9t5. (09)设函数yyx由参数方程确定，求曲线yyx向下凸的x的取值范围 2yt2t2t2232tt22dy2t2d2y3t9解： 2,2223dx3t9dx3t99(t3)曲线下凸要求yx0，即32tt3t1t0,t1,3

2因此对于xt9t,x10,54，由于在端点连续，可取x的取值范围为10,54

3xln1t22dyt26. (08) 设参数方程，求 2udxduy21u0t21t2dy1t2td2yddydtdt11解： ，22t2tdxdxdt2dx24tdx2dx1t21t2

xlnsint1sin2td2y7. (07)设确定了y是x的函数，求2

dx2y1sint2dx1sintcost,dycostsint,dyytsint

解 dtsint1sin2t1sin2tdt1sin2tdxxtcostcostsintd2yddydddt12sintsintcost1sint 2dxdxdxdxdxdtdxdt

五、分段函数的连续性、可导性

1xarctan2,x01. (12) 设函数f(x) ，讨论f(x)在点x0处的连续性 xx00,x,x012.(11)设函数f(x)1ex ，讨论f(x)在点x0处的连续性与可导性

x00,22lnxa,x13.(10)设函数f(x)在点x1处可导，求a,b的值．

b(x1)1,x1ef1f10f10

从而f(1)0limlnxalimex10x1022b(x1)1,ln1a20,a0…………3分

f(1)limx10fxf1ln1x1lim1 x10x1x1bx1fxf1e1f(1)limlimb

x10x10x1x1由可导知f(1)f(1)f(1),b1……………………………………………………..2分

x,x04. (09)设x具有二阶连续导数，且00，若fxx

a,x0（1）确定a，使fx在,内连续； （2）求fx

解：（1）连续则必有af0limfxlimx0x0x0x00

(2)当x0时fxxxx

x2fxf0lim而f0limx0x0x0xx0x0limx0xx0x2

limx0x02x10 2xxx,x02x所以fx 10,x02xeb,x05. (08) 确定常数a,b的值，使函数f(x)在x0处连续且可导

arcsinax,x0解：f0limfxlimarcsinax0，f0limfxlim(eb)1b

xx0x0x0x0f0e0b1b，

由f(x)在x0处连续知f0f0f0,1b0,b1

fxf0exb1bex1f0limlimlim1

x0x0x0x0xxf0limfxf0arcsinax0axlimlima x0x0xx0xx0由f(x)在x0处可导知f0f0,a1

e2x1,x06. (07)设fxx,，讨论fx及fx在x0处的连续性

2,x0e2x12f0，故fx在x0处的连续 解 因为limfxlimx0x0xe2x122x2xfxf0e12x2e2f0limlimxlimlim2 2x0x0x0x0x0xx2x当x0时，

fx2xe2xe2x1x2,limfxlimx0x02xe2xe2x1x24xe2xlim2f0 x02x故fx在x0处连续

7. (07) [本题10分]设fx在a,b连续、可导且fx单调增，x0a,b，

fxfx0,xx0xx0x. fx,xx00证明：x在a,b内也单调增

解 因limxf00，故x在x0处连续

x0

xf(x)(xx0)fxfx0(xx0)2

记gxfxxx0fxfx0fxfxx0,在x与x0之间 当xx0,xx0,fxf,gx0 从而在a,x0内x0。

又x在x0处连续，故x在(a,x0]单调增， 当x0x,x0x,ffx,gx0 从而在(x0,b)内x0。

又x在x0处连续，故x在[x0,b)单调增， 综上述，x在a,b内也单调增

六、高阶导数

1. (13) 设fxxsinxcosx，求y220130

第三章 微分中值定理与导数的应用

一、洛必达法则 1. (13) 求极限lim2. (12) 求极限limx011 2x0x2sinxxtanx

x2sinx3. (11) 求极限limex1x1 x1x1xC0，试确定常数n和C的值．

x22arctanxln4. (09)已知limx0xn用罗比达法则…….2分

n3,C2……….3分

esinxexcosx5. (07) 计算极限lim

x0x3esinx(1excosxsinx)xcosxsinxcosxx(sinx)cosx1sin0elimlim 解 原式lim332x0x0x0xx3x3

二、极值

1. (11) 设f(x)xex，则f2. (11) 指出数列

n(n)(x)在点x(n1)处取极小值en1

n中最大的数，并说明理由

1x解：设f(x)x，f'(x)x(1lnx)/x2， 故 f'(e)0。…………….2’

当0xe,f'(x)0,f(x)单调递增，当xe,f'(x)0,f(x)单调递减…………2’ 又2e3，因此2,33中最大的数就是所以

1xn中最大的数，

n233

n中最大的数是

n2233………………….2’

3. (07)在曲线yx1上求一点M，使它到点P5,0的距离为最小 解 设MM0,uyx5x1x5

22222

du2x212x2(x5)4x36x100 dxd2u2 求得唯一解x11，又212x60

dx 故u在唯一驻点x11处取得极小值也是最小值 相应地y11212，故所求点为1,2

三、拐点、渐近线

1. (12) 曲线yxlne1,x0的渐近线方程为______________ x2. (11) 曲线ylnx的拐点为 （1，0）

3. (10)若曲线yax3bx2的拐点为（1, 3），则常数a1x39，b； 224. (10)曲线y(2x1)e的渐近线方程为x0,y2x1；

四、罗尔定理，拉格朗日中值定理

1. (11) 写出拉格朗日中值定理，并给出证明 2. (10)设函数f(x)在[0,1]上连续，且

10f(x)dx0，xf(x)dx1，试证：

01（1）存在 [0,1]，使得f()4；

（2）若f(x)在[0,1]上可导，则存在(0,1)，使得f'()4．

1（1）1(x)f(x)dx02110x12f(x)dx，由积分第一中值定理的，存在

[0,1]，使得10x12111f(x)dxf()xdxf()，故存在 [0,1]，使得f()4……….3分

024（2）由积分中值定理，存在c[0,1]，使得则存在(0,1)，使得f()f(c)…………………..2分 3. (09)当0xy10f(x)dxf(c)0.由拉格朗日中值定理，

f'()(c)f'()，由（1）知f'()4.

2时，证明：yxcosytanytanxcosycosxyxcosx

2222证：在区间x,y上函数fttant满足lagerange定理的条件，从而存在x,y使得

tanytanxyxsec22yxyxyx, cos2cos2xcos2y222从而yxcosytanytanxcosycosxyxcosx

另证：当0xyy2时，由积分种植定理与单调性有

11yx1yx22dt2tanytanx2yx,x,y从而得证

cosxxcostcoscosy

五、泰勒中值定理

1. (13) 写出fxxex带有拉格朗日型余项的n阶麦克劳林公式 2. (12) sinx带有皮亚诺型余项的n阶麦克劳林公式为:

3. (11) 设函数f(x)在(,)上三阶可导，且f(x)和f'''(x)在(,)有界.试证：f'(x)和f''(x)在

(,)有界.

4. (10)

f(x)lnx在

x01处带有皮亚诺型余项的

n阶泰勒公式为

111(x1)(x1)2(x1)3(1)n1(x1)no((x1)n)．

23n5. (09)设fx在a,a上二阶导数连续a0，且f00，证明：在a,a上至少存在一点使得

af3fxdx

3aa证：令Fxftdt，则由已知，Fx在a,a上三阶导数连续，在x0x00处作二阶泰勒展开，有

FxF0F0xF02F3f02f3xxxx 2!3!26!a从而3af1f2fxdx3a3f（由介值定理） FaFaa23另证：由已知在x00处作一阶泰勒展开，有fxf0f0xf2x 2!3由最值定理有mfxM，由对称区间积分性质3fxdxfx2dx

2aa2ma32Ma3222由估值公式 mxdxfxdxMxdx33aaaaaaaa332从而m，由介值定理使a,afxdxMffx2dx 332aa2aaaaa因此af33afxdx

第四章 不定积分

一、直接积分、凑微分法 1、(13) 计算2、(10) 求

11cosxdx 1sinxdx

cos2x2解：原式=secxtanxsecxdxtanxsecxc

3、设f(x)为连续函数，则4、求

f(2x1)dx （答案：

1f(2x1)C） 21dx （答案：exln(1ex)C） xxe(1e)tanx1cosxdx （答案：lnC）

1cosxcosx5、求

二、第二类换元法 1、（12）计算

dxx2132

2、计算不定积分

x21x2dx

解：令xsint,t,,则tarcsinx，dxcostdt 22则 原式sin2t1sin2tcostdt1cos2ttsin2ttsintcostdtcc 224221xarcsinx1x2c 22

三、分部积分法 1、（12）计算

sinxlntanxdx

lnx,　　　x12、(11)设f(x)1，求f(x)dx 1,x121x2lnxdx,　　　　x1,xlnxxC,　　x11解：f(x)dx1 ＝11dx,x12xarctanxC2,x1221x 因为f(x)在x1连续，所以1C13、

1C2 24ln(1lnx)xdx （答案：1lnxln(1lnx)(1lnx)C）

1x1xdxx1 （答案：x21ln2xC） 4、计算不定积分2xln1x1x5、已知f(x)的一个原函数为ex，求xf(x)dx （答案：2x2exexC）

22236、(09) 计算secxdx

23解： 原式secxdtanxsecxtanxtanxsecxdxsecxtanxsecxdxsecxdx

1111secxtanxsecxdxsecxtanxlnsecxtanxc 2222

四、换元法与分部积分法结合 1、（13）计算

xarctanx1x2dx

2、求

xexex1dx （答案：(2x4)ex14arctanex1C）

x11C）

x1112x1C） 23、求

lnxdx （答案：2x1lnx4x12lnx14、arctan2x1dx （答案：(x1)arctan2x1



第五章 定积分及其应用

一、基本性质

21、(13)

011x2dx

4112、(12)

x21sinx11x22dx

3、(09) [3分]

2x14x2dx2

1 x4、(09) [3分] 已知fx的一个原函数为xlnx，则fx1215、(08) 曲线yxlnx42

e21 1xe的弧长等于4二、应用定积分定义计算极限

nn1、(13) 求极限lim22nn1n22、(12)求极限limn 2nnn124n114n24. 224nn13、(10)求极限lim11nn1n21 nn11解：原式=lim2n11n1n4、(09) lim(n11111dxln1x0ln2 n1nn01x14n1214n4214nn22)．

111dx

6n04x2解：原式lim(n114n2114n21n4n2)

三、定积分的换元法+分部积分法

1、(13) 设fx在,连续，且fxfx,x,0。证明

ln2fxdx0.

2、(13) 计算

0ex1dx.

3、(12) 在下列两个积分4、（12）

0excos2xdx,22excos2xdx,中确定哪个积分值大,并说明理由．

21e1elnxdx

5、(11)

3dxx21x2（答案：223） 36、(10) 解：令161arctanx1dx．

x1u，则x1u2302，当x1时u0，当x16时u3 3原式=

arctanud1u3221u22arctanu0301udu

216u316u23 33307、(09) 计算x1x01432dx

2解：令xsint，则2xdxcostdt。当x0时取t0，当x1时取t， 2211131324原式1sintcostdtcostdt

22242232002321,x021x8、设f(x)，求f(x1)dx（答案：ln(e1)）

01,x0x1e

四、广义积分

1、(13) 判别广义积分

lnx1dx的敛散性. x11ee2、(12)

设a0,求0eaxsinxdx

sxnexdx（答案：03、(11)设s0，求 Inn!） sn14、(10)

11dx． x2xee解：原式=limbb1exdx11x1b1 limarctanelimarctane2x2bbeeee44e1b5、(09) 计算

11x21x1x2222dx

b12x1dxlimarctanx 222b21x1x1x1解：原式=

12xx21dx1111limarctanbarctan1 22b1b1142

五、变上限积分函数的导数及应用

1、(13) 设fx，且

x310ftdtx，则f71. 12dx222、(12) 01tdt_____________: dx3、(12)已知

y0edtx0t2sinx0cos2tdt0,求dy. dx4、(10)求极限limx(arctant)2dtx212（答案：）

45、(10)已知函数f(x)连续，g(x)解：g(x)x0t2f(tx)dt，求g'(x)．

0-x(ux)2f(u)du

xx00g'(x)2uf(u)du2x6、(09)设fx1xf(u)du

1f xlntdt,x0，求fx1t1x解：对flnt1111t1u1dttdtdut，作换元，则。当时，当时ux， 2x1tuux1x1xx1lnulnt1u从而fdududt 21uu1tt1x11u11ulnlntlntlnt111dtdtdtln2tln2x 因此fxftt1t22x11t111xxxx1lnx1lnx1另解：令gxfxf,gxx2,g10

11x1xxxxln从而fxf121gxlnx 2x2xxt1dt在0,1内有且仅有一个实根 7、(08)证明方程

1001t2xt21证明：设fx dt01t210xxt21111dtx(1)dtxxarctanx则fxx连续且可导 01t21001t21010x1x3fxxarctanxx1xarctanx,f00，且连续可导 221x1x3x21x2x32x1x23x2x4fx10,x0,1，

1x2(1x2)21x21x22从而fx在0,1上单调增，故当x0,1时fxf00，故而fx在0,1上单调增，因此fx在0,1上若有零点则必为惟一的一个零点 又f0110,f11arctan110.110.80.10.10 10104由闭区间上连续函数的零点定理，fx在0,1上确有零点

2xxt1dt在0,1内有且仅有一个实根 因此fx在0,1上确有惟一零点，也即方程20101t

六、极坐标+直角坐标求面积

a21、(13) 求双扭线racos2在圆xy内部的图形的面积.

222223a22、(11)求心形线ra(1cos)所围成的图形的面积．（答案：）

23、(10)求r2sin和r2cos2围成图形的公共部分的面积．

1613142解：S(2sin)dcos2d=

20622、(07)设由ycosx,y0,x0在第一象限围成的图形为D，其面积为S0.又曲线yasinxa0将D分为左右两部分D1,D2，其面积分别为S1,S2，求a的值使S1:S22:1

222解： S1S02cosxdx

3303 设交点的横坐标为x0，则cosx0asinx0,tanx0 S11 ax00(cosxasinx)dxsinx0acosx0a211a2a21a2a1a2a

225从而1a2a,1a2a,a即为所求

3312

七、求体积

1、(13) 求由yex1,xln3和y0所围成的平面图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积. 2、（12）求由yx,x2和y0所围成的平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积.

3、(11)求摆线xa(tsint),ya(1cost)(a0)的一拱0t2与x轴所围成的平面图形绕y2a旋转所得旋转体的体积．

解：V(2a)2a 8a23222a0(2ay(x))2dx

20(aacost)2a(1cost)dt72a3

x4、(10)求由曲线ye,x1,x2及x轴所围成的平面图形绕y轴旋转所成立体的体积． 解：V221xf(x)dx2e2

25、 (09) 设直线yax0a1与曲线yx所围成的图形面积为S1，它们与直线x1所围成的面积为S2.（1）试确定常数a的值，使达到最小，并求出最小值；（2）求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积

解：令faS1S2131a2axxdxxaxdx3a32 0a2a12则faa12 0a222122时达到最小，最小值为f 2236由问题的实际意义及定义域内驻点的唯一性可知，当a222V2

02222xxdx2212222 x2xdx30212八、求弧长

1、(12)求心形线ra1cos的全长

九、原函数存在定理+证明+综合

1、 (13) 设fx在0,1上可微，且f12xfxdx。试证：存在0,1，使f120f0.

2、(13) 设fx函数在闭区间a,b上连续，证明：fx在闭区间a,b上存在原函数.

3、（12）设函数f(x)在闭区间a,b上连续, g(x)在闭区间a,b上不变号,证明:至少存在一点

a,b,使得f(x)g(x)dxf()g(x)dx

aabb4、(10)设函数f(x)在(,)上连续，利用定义证明函数F(x)x0f(t)dt在(,)上可导，且F'(x)f(x)．

F(xx)F(x)证明：lim=limxx0xn0xxxf(t)dtx

因为f(x)在(,)上连续，由积分中值定理得

F(xx)F(x)f()xf()，其中xx，01

x0xxlim再利用f(x)的连续性得，limf()f(x).故F'(x)f(x)

x05、(07) 已知fx的一个原函数是ex，求xfxdx

2解：由于fx的一个原函数是ex，从而

2fxdxexc1,fxex2x

22222xx2x因此xfxdxxdfxxfxfxdxx(2xe)ec2x1ec

6、 (08)设fx在0,1上可导，且f02fx21f2f0 ，试证：，使dx0,11221x1证明：由积分中值定理，f02fxf1f1dx21,,1 12221x121221fxf0f0F 令Fx，则Fx在0,上连续可导，且F01x21022由罗尔定理，0,1，使F0,1f2f0



第六章 解析几何

1．(09)已知三点M(1,2,1),A(2,3,1)和B(1,3,0),计算：(1)以MA,MB为邻边的平行四边形的面积；(2)求同时垂直于MA,MB的单位向量n0．

SMAMB{1,1,1}3…………3分

n03{1,1,1}……………………….3分 32、(08) [3分] 设a{1,2,2},b{2,1,2}，则abab{12,12,6}

3．(07) [3分]已知ABC的三个顶点的坐标为A1,0,1,B2,1,0,C0,1,1，则ABC

 2