正切函数的性质与图

正切函数的性质与图象（1）

学习目标：

知识目标：1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象；

2.用正切函数图象解决函数有关的性质；

能力目标：1.理解并掌握作正切函数图象的方法； 2.理解用函数图象解决有关性质问题的方法；

德育目标：培养认真学习的精神； 一、复习：

问题：正弦曲线是怎样画的？

正切线?

练习正切线，画出下列各角的正切线：

．

下面我们来作正切函数和余切函数的图象． 二、新知探究：

1．正切函数ytanx的定义域是什么？ x|xk,kz 22．正切函数是不是周期函数？ tanxtaxnxR且,xk2,k，z

 ∴是ytanxxR,且xk,kz的一个周期。 2 是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。 3．作ytanx，x2,的图象

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说明：（1）正切函数的最小正周期不能比小，正切函数的最小正周期是；

（2）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数

ytanxxR，且x2kkz的图象，称“正切曲线”。

y

322O232x（3）由图象可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线xk无穷多支曲线组成的。

4．正切函数的性质 引导学生观察，共同获得： （1）定义域：x|x2kZ所隔开的k,kz； 2（2）值域：R

观察：当x从小于k 当x从大于

22kz，xk22 时，tanxkkz，xk时，tanx。

（3）周期性：T；

（4）奇偶性：由tanxtanx知，正切函数是奇函数；

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（5）单调性：在开区间k,kkz内，函数单调递增。 225.余切函数y=cotx的图象及其性质（要求学生了解）：

向左平移个ycotxtanxtanx——即将ytanx的图象，

222单位，再以x轴为对称轴上下翻折，即得ycotx的图象

定义域：xR且xk,kz 值域：R， 当xk,kkz时y0，当xk,kkz时y0 22周期：T

奇偶性：奇函数

单调性：在区间k,k1上函数单调递减 6.例题探究： 例1比较tan1317与tan的大小 45解：tan13217，tan， tantan44552,ytanx在0,内单调递增， 5225又：04tan4tan,tan4tan21317,即tantan 545例2讨论函数ytanx的性质 4金太阳教育网 www.jtyjy.com

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略解：定义域：x|xR且xk,kz 4值域：R 奇偶性：非奇非偶函数 单调性：在k34,k上是增函数 4图象：可看作是ytanx的图象向左平移例3求函数y＝tan2x的定义域 4单位 解：由2x≠kπ＋

得x≠

k22，(k∈Z) ，(k∈Z)

k2＋

4∴y＝tan2x的定义域为：｛x｜x∈R且x≠＋

4，k∈Z｝

例4观察正切曲线写出满足下列条件的x的值的范围：tanx＞0 解：画出y＝tanx在(－为：0＜x＜

22，

2)上的图象，不难看出在此区间上满足tanx＞0的x的范围

2结合周期性，可知在x∈R，且x≠kπ＋上满足的x的取值范围为(kπ，kπ＋

2)(k∈Z)

例5不通过求值，比较tan135°与tan138°的大小 解：∵90°＜135°＜138°＜270°

又∵y＝tanx在x∈(90°，270°)上是增函数 ∴tan135°＜tan138°

三、巩固与练习

P．71．练习2，3，6

求函数y＝tan2x的定义域、值域和周期、并作出它在区间［－π，π］内的图象 解：（1）要使函数y＝tan2x有意义，必须且只须2x≠即x≠

42＋ｋπ，ｋ∈Z

＋

k2，ｋ∈Z

4k2∴函数y＝tan2x的定义域为｛x∈R｜，x≠（2）设ｔ＝2x，由x≠

4k2，ｋ∈Z｝ ＋

，ｋ∈Z｝知ｔ≠

2ｋπ，ｋ∈Z

∴y＝tanｔ的值域为（－∞，＋∞） 即y＝tan2x的值域为（－∞，＋∞） （3）由tan2（x＋

2）＝tan（2x＋π）＝tan2x

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∴y＝tan2x的周期为

2．

（4）函数y＝tan2x在区间［－π，π］的图象如图

四、小 结：本节课学习了以下内容：

1.因为正切函数ytanx的定义域是{x|xR,xkx2,kZ}，所以它的图象被

2,32,......等相互平行的直线所隔开，而在相邻平行线间的图象是连续的。

2.作出正切函数的图象，也是先作出长度为一个周期（-π/2，π/2）的区间内的函数的图象，然后再将它沿x轴向左或向右移动，每次移动的距离是π个单位，就可以得到整个正切函数的图象。

讨论函数的单调性应借助图象或相关的函数的单调性；形如y＝tan(ωx)，

kx≠

2 (k∈Z)的周期T＝

；注意正切函数的图象是由不连续的无数条曲线组成的 金太阳教育网 www.jtyjy.com