浅谈微积分中数列极限的概念

—　．　董秀明　（湖北工业大学理学院，湖北武汉４３００６８）　浅谈微积分中数列极限的概念　摘要：极限是微积分中最基本也是最重要的一个概念．　（２）ｅ是任意给定的正数，具有任意性和给定性．任意性说　微积分可以看成是围绕极限而展开的．例如研究函数的连续　性、可导性、可积性，无穷级数的敛散性等．因此，作为微积分　中的第一个重要概念，对它的透彻理解是相当重要的．　关键词：微积分数列　极限　１．极限在微积分中的重要性　极限的思想是微积分中最重要的思想．微积分的内容可　以分为：极限理论，连续，微分，积分，无穷级数．以及有关的应　用．其中，极限理论统领整个微积分，是微积分的理论基础．连　续、微分、积分在本质上是不同形式的极限．无穷级数的敛散　性是由极限的存在与否进行定义的．例如函数在某点处的导　数就是函数在该点函数值的增量与自变量增量的比值的极　限；而定积分则是某种形式的和式的极限，其中的分割、近似　代替、求和与去极限的思想能解决许多实际问题．这些实际　问题在微积分出现之前是不可能得到完全解决的．因此．深刻　理解极限的定义是至关重要的．然而。对于刚刚接触极限的大　一同学来说，极限不同形式下的概念是很深奥的．理解起来有　很大难度．下面就简单地谈谈极限理论中常见的数列极限的　定义．　２．数列极限的直观引入　对于数列（Ｘ　），我们关心的一个问题是当数列的项数ｎ无限　增大（即ｎ一。。）时，数列的通项ｘ　能否无限接近于某一个确定　的数ａ？若能，则数ａ称为数列当ｎ一　时的极限，并记为ｌｉｍｘ　＝ａ．　∞“　（１）ｎ无限增大．ｎ无限增大。其含义是ｎ充分大．ｎ无限增大　的过程，可以用ｎ＞Ｎ表示，即ｎ的取值从Ｎ＋Ｉ开始．其中Ｎ是存在　的某正整数．　（２）ｘ　无限接近与常数ａ．在数学上，用两数之间的距离描　述它们之间的接近程度，距离越小说明越接近．因此．Ｉｘ－ａｌ度　量了ｘ　与ａ之间的接近程度，ｘ　无限接近于常数ａ，ｆｌＰｘ　与ａ充分　接近．这就相当于“ｘ　与常数ａ的距离Ｉｘ　一ａｌ无限小”，距离要多小　就可以有多小，即距离可以任意小．引入任意正数８，对于任意　正数￡，要求Ｉｘ　一ａｌ＜８，就说明ｘ　和ａ是无限接近的．　在ｎ无限增大时，ｘ　无限接近于ａ，用数学语言精确描述，就　得到了以下数列极限的￡一Ｎ定义：　若对任意给定的正数８，总存在正整数Ｎ，当ｎ＞Ｎ时，有Ｉｘ　一　ａｌ＜ｓ，则称ａ是该数列｛ｘ　｝当ｎ一∞的极限，记作ｌｉｍｘ　．＝ａ　　一ｒｒ　∞．一３．关于定义的注释和常见的理解错误　对于ｌｉｎ—ｍｘ　＝ａ，需要注意理解以下几点：ｏｏ“　　（１）ｏ。既可以是＋∞，又可以是一＋∞．但ｎ一　中∞指＋。。。因　为ｎ取值为正整数，在表示上不存在任何歧义，所以将＋　中的＋　（正号）省掉．　６０　明　无限（或任意）接近于常数ａ，给定性主要用于找到存在的　正整数Ｎ．８无论多小都可以．以小为贵，因此用定义证明数列　极限时，可以要求０＜ｓ＜０．２，但不能作ｓ＞０．２之类这样的要求．　例如：证明ｌｉｍｑｎ　０．其ｑ￣０＜ｌｑｌ＜１．　∞　分析：对于任意的ｓ＞０．关键要找到Ｎ　因为『ｘ　一ａＩ＝ｌｑｎ－￣＿０ｌ：　。ｌ—Ｉｑｒ　要使ＩＸ－ａｌ＜￣，只要　一＜ｓ　上式两端取自然对数得，ｌｎｌｑｌ…＝（ｎ—１）ｌｎｑ＜ｌｎ８，　因为０＜ｌｑｌ＜ｌ，即要求（ｎ一１）＞ｌｎｅ／ｉｎｌｑｌ　从而ｎ满足的条件为ｎ＞ｌｎｄｌｎｌｑｌ＋ｌ　因为０＜ｌｑｌ＜ｌ，故ｌｎｌｑｌ＜０，而ｎ为整数，８任意的正数　①８　Ｅ（０，１），此ｆｉ￣ｎ＞ｌｎｓ／ｌｎｌｑｌ＋１＞０，可以取Ｎ＝［１ｎｓ／ｉｎｌｑｌ＋　１］；　②当８∈［１，１／Ｉｑ１］，此时ｎ＞ｌｎｓ／ｉｎｌｑｌ＋ｌ＞０，可以取Ｎ＝［１ｎｅ／ｌｎｌ　ｑｌ＋１］；　③ｓ∈［１／Ｉｑｌ，＋∞），ｎ＞ｌｎｓ／ｌｎｌｑｌ＋ｌ≤０，此时Ｎ可取任何正整　数，不能取［１ｎｄｌｎｌｑｌ＋１］．　上述三种情况综合考虑，可取Ｎ＝ｍａｘｆ［１ｎｓ／ｌｎｌｑｌ＋１］，１１．　另外，￡任意小的正数，且以小为贵，我们可以限定８范围　为８　Ｅ（０，１），此时可以取Ｎ＝［１ｎｄｌｎｌｑｌ＋１］；但是不能取８∈［１／Ｉ　ｑｌ，＋。。）这样的区间，因为８≥１／Ｉｑ取值不可能是很小的正数了．　找到Ｎ以后．按照定义写出结论即可．　（３）正整数Ｎ是不唯一的，重要的是其存在性，如Ｎ取１０００，　则比１０００大的任何正整数都可以作为Ｎ．Ｎ与８有关，可以记为　Ｎ（￡），说明Ｎ对８的依赖关系，但是不能认为Ｎ是８的函数．　（４）一般来说，可以要求￡越小，Ｎ越大，但Ｎ也可以不随８　减小而增大．　（５）距离Ｉｘ－ａＩ也未必随ｎ的增大而减小．　１，１、ｎ－Ｉ　例如：ｌｉｍ　—二　一＝０　２　ｎ因为。　一　。：　—！：．　：　一。．：—　：　二　：』　ｎ＝２ｋ—ｌ　ｎ　ｎ　【０　ｎ＝２ｋ　从而距离Ｉｘ　一ａｌ不随ｎ的增大而减小．　参考文献：　［１］蔡光兴，李德宜．微积分（经管类）（第二版）［Ｍ］．科学　出版社．２０１１．　［２］同济大学应用数学系．高等数学（第六版）［Ｍ］．高等教　育出版社，２００７．