每日一题 规范练(第一周)
3
[题目1] (本小题满分12分)(2017·北京卷)在△ABC中，∠A＝60°，c＝a.
7(1)求sin C的值；
(2)若a＝7，求△ABC的面积． 解：(1)根据正弦定理得＝，
sin Asin C所以sin C＝
acc·sin A333
＝sin 60°＝. a714
3
(2)当a＝7时，c＝a＝3.
73
因为sin C＝3，c＜a，
14所以cos C＝1－sinC＝
2
13. 14
32
在△ABC中，sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sin A·cos C＋cos A·sin C＝1313343×＋×＝， 142147
114
所以S△ABC＝acsin B＝×7×3×3＝63.
227
[题目2] (本小题满分12分)已知{an}是等差数列，{bn}是各项均为正数的等比数列，且b1＝a1＝1，b3＝a4，b1＋b2＋b3＝a3＋a4.(导学号 55410152)
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)设cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn. 解：(1)设数列{an}的公差为d，{bn}的公比为q，
1＋3d＝q，
依题意得 2
1＋q＋q＝2＋5d，
2
解得d＝1，q＝2.
所以an＝1＋(n－1)＝n，bn＝1×2(2)由(1)知cn＝anbn＝n·2
n－1
n－1
＝2
n－1
.
，则
Tn＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n·2n－1①
2Tn＝1×2＋2×2＋…＋(n－1)·2①－②得：－Tn＝1＋2＋2＋…＋2
1
2
1
2
n－1
＋n·2②
nnnn－1
1·（1－2）nn－n·2＝－n·2＝(1－n)·2－1.
1－2
1
所以Tn＝(n－1)·2＋1.
[题目3] (本小题满分12分)如图，在四棱锥PABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，ABnBC＝1
2
AD，E，F分别为线段AD，PC的中点．
(1)求证：AP∥平面BEF； (2)求证：BE⊥平面PAC.
证明：(1)设AC∩BE＝O，连接OF，EC. 由于E为AD的中点，
AB＝BC＝12
AD，AD∥BC，
所以AE∥BC，AE＝AB＝BC， 因此四边形ABCE为菱形， 所以O为AC的中点． 又F为PC的中点，
因此在△PAC中，可得AP∥OF. 又OF⊂平面BEF，AP⊄平面BEF. 所以AP∥平面BEF.
(2)由题意知ED∥BC，ED＝BC. 所以四边形BCDE为平行四边形， 因此BE∥CD. 又AP⊥平面PCD， 所以AP⊥CD， 因此AP⊥BE.
因为四边形ABCE为菱形， 所以BE⊥AC.
又AP∩AC＝A，AP，AC⊂平面PAC， 所以BE⊥平面PAC.
2
＝ [题目4] (本小题满分12分)空气质量指数(Air Quality Index，简称AQI)是定量描述空气质量状况的无量纲指数，参与空气质量评价的主要污染物为SO2、NO2、PM10、PM2.5、Q3、CO等六项．空气质量按照AQI大小分为六级：一级0～50为优；二级51～100为良好；三级101～150为轻度污染；四级151～200为中度污染；五级201～300为重度污染；六级＞300为严重污染．
某人根据环境监测总站公布的数据记录了某地某月连续10天AQI的茎叶图如图所示： (1)利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI≤100)的天数(按这个月总共30天计算)；
(2)若从样本中的空气质量不佳(AQI＞100)的这些天中，随机地抽取三天深入分析各种污染指标，求这三天的空气质量等级互不相同的概率．
解：(1)从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为1，空气质量良好的天数为4，511故该样本中空气质量优良的频率为＝，估计该月空气质量优良的频率，从而估计该月空
10221
气质量优良的天数为30×＝15.
2
(2)该样本中轻度污染共3天，分别记为A，B，C；中度污染1天，记为y；重度污染1天，记为z，从中随机抽取三天的所有可能结果表示为：
(A，B，C)，(A，B，y)，(A，B，z)，(A，C，y)，(A，C，z)，(B，C，y)，(B，C，z)，(A，y，z)，(B，y，z)，(C， y，z)，共10个；
其中空气质量互不相同的结果有：(A，y，z)，(B，y，z)，(C，y，z)，共3个． 3
所以这三天的空气质量等级互不相同的概率为.
10
[题目5] (本小题满分12分)设f(x)＝e(ln x－a)(e是自然对数的底数，e＝2.71 828…)．
(1)若y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝2ex＋b，求a，b的值；
x1(2)若函数f(x)在区间，e上单调递减，求a的取值范围． e
11xxx解：(1)因为f′(x)＝e(ln x－a)＋e·＝eln x＋－a，
x
x
所以由题意，得f′(1)＝e(1－a)＝2e， 解得a＝－1.
3
所以f(1)＝e(ln 1－a)＝e， 由切点(1，e)在切线y＝2ex＋b上， 得e＝2e＋b，b＝－e， 故a＝－1，b＝－e. (2)由题意可得f′(x)＝
11xeln x＋－a≤0在，e上恒成立． xe1x因为e＞0，所以只需ln x＋－a≤0，
x11
即a≥ln x＋在，e上恒成立．
xe1
令g(x)＝ln x＋.
x11x－1
因为g′(x)＝－2＝2，由g′(x)＝0，得x＝1.
xxx x g′(x) g(x) 1，1 e－ 1e
(1，e) ＋ g＝ln ＋e＝e－1，g(e)＝1＋， e
1
因为e－1＞1＋，
e
1
1e
1所以g(x)max＝g＝e－1， e
故a≥e－1.
故实数a的取值范围是[e－1，＋∞)．
112
[题目6] (本小题满分12分)(2017·浙江卷)如图，已知抛物线x＝y，点A－，，
24B，，抛物线上的点P(x，y)－＜x＜，过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(导学号 2422
55410153) 39
1
3
4
(1)求直线AP斜率的取值范围； (2)求|PA|·|PQ|的最大值．
132
解：(1)由题意得P(x，x)，－＜x＜.
22设直线AP的斜率为k， 1
41
故k＝＝x－∈(－1，1)，
12x＋2
x2－
故直线AP斜率的取值范围为(－1，1)． 132
(2)由(1)知P(x，x)，－＜x＜，
2211
则直线AP的方程为：y＝kx＋k＋，
24139
直线BQ的方程为：y＝－x＋＋，
k2k411
y＝kx＋k＋，24
联立直线AP与BQ的方程
139
y＝－kx＋2k＋4，3＋4k－k点Q的横坐标是xQ＝， 2
2k＋2
122
因为|PA|＝1＋kx＋＝1＋k·(k＋1)，
2（k－1）（k＋1）
|PQ|＝1＋k(xQ－x)＝－，
k2＋1
2
2
2
所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1). 令f(k)＝－(k－1)(k＋1)， 因为f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)，
11当k∈－1，时，f′(k)＞0；当k∈，1时， 22
2
3
3
f′(k)＜0，
111所以f(k)在区间－1，上单调递增，，1上单调递减．因此当k＝时，|PA|·|PQ|
22227
取得最大值. 16
第一周 星期天 2018年3月25日
[题目7] 在下面两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按
5
所做第一个题目计分．
1x＝2＋t，2
1．(本小题满分10分)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为
3y＝2t参数)，若以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsinθ－4cos θ＝0.
(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程； (2)已知直线l与曲线C交于A，B两点，设M(2，0)，求1
x＝2＋t，2
解：(1)直线l的参数方程为(t为参数)，
3
y＝2t消去参数，得普通方程y＝3(x－2)．
曲线C的极坐标方程为ρsinθ－4cos θ＝0，直角坐标方程为y＝4x.
1x＝2＋t，2
(2)将直线l的参数方程(t为参数)代入y＝4x，整理可得3t－8t－32＝
3
y＝2t2
2
2
2
2
1－1的值．
|MA||MB|
0，
设A、B对应的参数分别为t1，t2， 832
则t1＋t2＝，t1t2＝－. 33所以
1－1＝t1＋t2＝1.
|MA||MB|t1t24
2．(本小题满分10分)设函数f(x)＝|2x＋3|－|2x－a|，a∈R. (1)若不等式f(x)≥5的解集非空，求实数a的取值范围；
1(2)若函数y＝f(x)的图象关于点－，0对称，求实数a的值． 2
解：(1)||2x＋3|－|2x－a||≤|2x＋3－2x＋a|＝|3＋a|， 因为不等式f(x)≥5的解集非空， 所以|3＋a|≥5，所以a≤－8或a≥2.
1(2)因为函数y＝f(x)的图象关于点－，0对称， 2
11所以fx－＋f－x－＝0， 22
6
所以|2x＋2|－|2x－1－a|＋|－2x＋2|－|－2x－1－a|＝0， 由于对任意x为实数均成立，所以a＝1.
7