一种快速的基于压缩感知的多普勒高分辨方法

２０１１年４月　西安电子科技大学学报（自然科学版）　Ａｐｒ．２０１１　第３８卷第２期　Ｊ０ＵＲＮＡＩ，　０Ｆ　ⅪＤＩＡＮ　Ｉ　ＩｖＥＲＳＩ］　Ｖ０１．３８　Ｎｏ．２　ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００１－２４００．２０１　１．０２．０１５　一种快速的基于压缩感知的多普勒高分辨方法　刘　寅　，吴顺君　，张怀根　，吴明宇　，李春茂　（１．西安电子科技大学雷达信号处理国家重点实验室，陕西西安７１００７１；　２．南京电子技术研究所，江苏南京２１００３９）　摘要：利用雷达目标在多普勒域的稀疏性，基于压缩感知的目标多普勒估计方法，能够在有限的相干积　累时间内实现多普勒的高分辨．然而，即使采用压缩感知中的一种高效算法——正交匹配追踪算法，其　运算复杂度也相对较高．为了进一步降低运算复杂度，对接收脉冲进行分组，将一维的多普勒估计问题　转化为一个二维的稀疏信号重构问题，进而利用一种针对二维稀疏信号优化的低复杂度正交匹配追踪　算法对其进行估计．仿真表明，该方法具有较高的运算效率，并能够获得接近直接应用传统的正交匹配　追踪算法的多普勒分辨率．　关键词：多普勒雷达；高分辨方法；低复杂度；压缩感知；稀疏表示；正交匹配追踪　中图分类号：ＴＮ９５８．２　文献标识码：Ａ　文章编号：１００１—２４００（２０１１）０２－００８２－０６　Ｌｏｗ　ｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙ　ｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄ　ｓｅｎｓｉｎｇ　ｂａｓｅｄ　Ｄｏｐｐｌｅｒ　ｈｉｇｈ　ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ＬＩＵ　Ｙｉｎ　，ＷＵ　Ｓｈｕｎｊｕｎ　，ＺＨＡＮＧ　Ｈｕａｉｇｅｎ　，ＷＵ　Ｍｉｎｇｙｕ　，ＬＩ　Ｃｈｕｎｍａｏ　ｆ　１．Ｎａｔｉｏｎａｌ　Ｌａｂ．ｏｆ　Ｒａｄａｒ　Ｓｉｇｎａｌ　Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，Ｘｉｄｉａｎ　Ｕｎｉｖ．，Ｘｉ’ａｎ　７１００７１，Ｃｈｉｎａ；　２．Ｎａｎｊｉｎｇ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｎａｎｊｉｎｇ　２１００３９，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：　Ｅｘｐｌｏｉｔｉｎｇ　ｔｈｅ　ｓｐａｒｓｉｔｙ　ｏｆ　ｒａｄａｒ　ｔａｒｇｅｔｓ　ｉｎ　ｔｈｅ　Ｄｏｐｐｌｅｒ　ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ　ｄｏｍａｉｎ，ｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄ　ｓｅｎｓｉｎｇ　ｂａｓｅｄ　Ｄｏｐｐｌｅｒ　ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄｓ　ｃａｎ　ｌｅａｄ　ｔｏ　ｈｉｇｈ　ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｅｓｔｉｍａｔｅｓ　ｏｆ　ｔａｒｇｅｔｓ’Ｄｏｐｐｌｅｒ　ｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｖｅｒｙ　ｌｉｍｉｔｅｄ　ｃｏｈｅｒｅｎｔ　ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ　ｔｉｍｅ．Ｈｏｗｅｖｅｒ，ｔｈｉｓ　ｉｎｖｏｌｖｅｓ　ａ　ｌａｒｇｅ　ａｍｏｕｎｔ　ｏｆ　ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ　ｅｖｅｎ　ｖｉａ　ａｎ　ｅｆｆｉｃｉｅｎｔ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ－－　Ｏｎｈｏｇｏｎａｌ　Ｍａｔｃｈｉｎｇ　Ｐｕｒｓｕｉｔ（ＯＭＰ）．Ｆｏｒ　ｆｕｒｔｈｅｒ　ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ　ｏｆ　ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ　ｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙ，ｔｈｅ　１　Ｄ　Ｄｏｐｐｌｅｒ　ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ　ｉｓ　ｔｒａｎｓｌａｔｅｄ　ｉｎｔｏ　ａ　２Ｄ　ｓｐａｒｓｅ　ｓｉｇｎａｌ　ｒｅｃｏｖｅｒｙ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｔｈｒｏｕｇｈ　ａ　ｐｕｌｓｅ　ｇｒｏｕｐｉｎｇ　ｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅｎ　ａ　ｌｏｗ　ｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙ　ＯＭＰ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｏｐｔｉｍｉｚｅｄ　ｆｏｒ　２Ｄ　ｓｐａｒｓｅ　ｓｉｇｎａｌｓ　ｉｓ　ｕｔｉｌｉｚｅｄ．Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｉｎｄｉｃａｔｅ　ｔｈａｔ　ｈｉｇｈ　ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ　Ｄｏｐｐｌｅｒ　ｅｓｔｉｍａｔｅｓ　ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｎｇ　ｔｈｏｓｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ＯＭＰ　ｃａｎ　ｂｅ　ｏｂｔａｉｎｅｄ　ｗｉｔｈ　ａｎ　ｉｍｐｒｏｖｅｄ　ｅｆｉｆｃｉｅｎｃｙ．　Ｋｅｙ　Ｗｏｒｄｓ：Ｄｏｐｐｌｅｒ　ｒａｄａｒ；ｈｉｇｈ　ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｍｅｔｈｏｄｓ；ｌｏｗ　ｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙ；ｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄ　ｓｅｎｓｉｎｇ；ｓｐａｒｓｅ　ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ；ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ　ｍａｔｃｈｉｎｇ　ｐｕｒｓｕｉｔ　传统的雷达目标多普勒分辨利用将接收信号通过一个多普勒滤波器组来实现，其多普勒分辨率通常受　到相干积累时间的．当目标运动速度过快以至于在雷达波束照射期间发生越距离单元走动，或者雷达波　束处于扫描状态，目标的有效相干积累时间将受到极大的．如果将超分辨ＤＯＡ估计的方法，例如　Ｃａｐｏｎ、ＭＵＳＩＣ或者ＥＳＰＲＩＴ等，应用到目标的多普勒高分辨中，需要获取足够多的样本以获得信号协方差矩　阵的充分统计，并且要求不同目标的响应是非相干的．这里的目标多普勒估计问题对应于单个样本，且目标　的响应是完全相干的情况．通常，可以采用类似空间平滑的方式，获得等效的多个样本以及目标间的较弱相　关性．这样处理减小了有效的相干积累时间，多普勒估计的性能将受到一定影响．另外，基于子空间的超分辨　方法要求较高的信噪比，在信噪比较低的场合，其应用会受到极大的．　目标在多普勒域的稀疏性，可应用压缩感知　——这种新的信号处理手段，来求解目标的多普勒高分　收稿日期：２０１０－０７－０９　作者简介：刘寅（１９７９一），男，西安电子科技大学博士研究生，Ｅ—ｍａｉｌ：ｌｉｕｙｉｎ９１３＠ｙａｈｏｏ．ｃｏｌｎ．ｅｌｌ　第２期　刘　寅等：一种快速的基于压缩感知的多普勒高分辨方法　８３　辨问题．压缩感知，利用信号在某一个域内是稀疏的这一先验信息，在信号重构的过程加上这个稀疏性的约　束条件，就可以以少量的观测量恢复出原始的、远高于观测量长度的稀疏信号．将各个感兴趣的多普勒频点　处的复幅度看作一个稀疏信号，各频点处的多普勒矢量构成一个冗余字典，应用压缩感知，则可以在有限的　相干积累时间内实现目标多普勒的高分辨．基于压缩感知的多普勒高分辨方法，在单个样本，目标的响应完　全相干的情况下也能很好地工作．更重要的是，它具有对信噪比相对不太敏感的优点　，能较好地应用于低　信噪比的场合．　压缩感知中的稀疏信号重构方法主要分成如下几大类：（１）ｆ，范数最小化　，即基追踪（Ｂａｓｉｓ　Ｐｕｒｓｕｉｔ，　ＢＰ）的方法；（２）贪婪算法，主要有正交匹配追踪（ＯＭＰ）　和ＣｏＳａＭＰ　等算法；（３）Ｂａｙｅｓｉａｎ压缩感知　的　方法等．其中，ｚ　范数最小化方法涉及到一个运算量相当大的数学规划问题．Ｂａｙｅｓｉａｎ压缩感知的方法能够　获得比ｆ　范数最小化的方法更稀疏的解，但同样运算量非常大．ＣｏＳａＭＰ算法虽然具有相对最低的运算复杂　度和接近ＢＰ算法的重构质量，但对于字典中原子问相关性较高（例如这里由多普勒矢量构成的冗余字典）　的场合，无法适用．而ＯＭＰ算法尽管重构的性能略微差一些，但具有较低的运算复杂度，同时适用于原子问　相关性较高的场合，因而更适合于工程实际中应用．　ＯＭＰ算法需要迭代地计算信号与每个原子的互相关值，当原子个数较多或者每个原子的长度较大时，　其运算量也相对较高．文献［７］提出了一种用于ＭＩＭＯ雷达的二维角度估计的快速ＯＭＰ算法．笔者通过对　接收的脉冲串进行分组，将这里的一维多普勒估计问题转化为一个二维稀疏信号重构的问题，利用文献［７］　中的快速算法针对二维稀疏信号的优化设计，来对目标多普勒进行估计，降低了运算量，同时获得了接近于　直接应用ＯＭＰ算法的性能．　基于压缩感知的多普勒估计　设相干积累脉冲个数为　，脉冲重复频率用Ｆ　表示．假设感兴趣的多普勒频率范围正对应０～Ｆ　．将这　个范围等分成Ⅳ个离散的频点　，…　．频点　的多普勒矢量可以表示为　口（　）＝ｅｘｐ｛Ｌ　，ｊ　［０，１，…，Ｍ一１］　｝．　Ｊ　ｒ　（１）　由各频点处的多普勒矢量构成的矩阵可写成：Ａ＝［ａ（ｆ１），口（　），…，口（ｉＮ）］∈Ｃ　．雷达接收信号先经过　距离上的匹配滤波，然后对每一个距离单元进行多普勒分辨．假设对某个给定的距离单元，在整个无模糊的　多普勒范围０～Ｆ　内存在Ｋ个目标，其中第ｋ个目标的复幅度用ｓ　表示．对于不存在目标的频点处，将该频点　处的目标复幅度看作为０．这样，各频点处的目标复幅度可以构成一个稀疏度为Ｋ的稀疏信号Ｘ，即Ｘ中只有　Ｋ个非零元素ｓ　，ｋ＝１，２，…，　将各个脉冲对应上述给定距离单元的匹配滤波后的噪声残余分量用ｎ　表　示，则匹配滤波后该距离单元的信号可表示为　Ｙ＝Ａｘ＋ｎ．　（２）　以基追踪降噪（ＢＰＤＮ）的方法求解Ｘ，可以归纳为如下的一个ｚ　范数最小化的问题　Ｉ：　ｍ　ｉｎ　Ｈｙ—Ａｘ　ｌ；＋￣ｌｌｘｌｌｔ，　（３）　其中，　是一个平衡信号的保真度和稀疏度的参数，需要精心地调整以获得最佳的重构性能．这一求解过程　涉及到一个运算复杂度相当高的数学规划问题，并且其稀疏信号重构的性能对参数　比较敏感，这个参数如　何选取是一个值得进一步研究的问题．　正交匹配追踪（ＯＭＰ）算法以一种贪婪的方式迭代地搜索稀疏信号中的各非零分量，具有相对较低的运　算复杂度　，是一种工程中比较实用的方法．然而，当积累脉冲个数Ｍ较大（例如当脉冲重频较高时，在一定　的相干积累时间内，积累脉冲个数也随之增大）或／和需要分辨的多普勒频点Ⅳ较多时，运算量仍然是比较　大的．如果能够将一维多普勒分辨问题转化为一个二维稀疏信号重构问题，再利用一种针对二维稀疏信号优　化的低复杂度正交匹配追踪算法来求解，则可以进一步减小运算量．下面通过一种脉冲分组的方式，将这个　一维多普勒分辨问题转化为一个二维稀疏信号重构的问题．　西安电子科技大学学报（自然科学版）　第３８卷　２低复杂度的基于压缩感知的多普勒估计方法　２．１　二维稀疏信号的构造　对于整个脉冲串，可以采用图１（ａ）的方式对其进行分组．每个分组由两个脉冲组成，可得到若干个滑动　的分组．通过适当地选取抽取脉冲的间隔，可使得每个脉冲分组对应的多普勒分辨率高于整个脉冲串的多普　勒分辨率，但是由于分组内的等效脉冲重频降低，无模糊的多普勒分辨范围大大减小，在０～Ｆｒ内出现了多　普勒模糊．　整个　脉冲串　脉冲　分组１　整个　脉冲串　＿　－　（ａ）脉冲分组方式１　－　－　籍－山脉冲　分组２　脉冲　分组３　脉冲　分组２　魈　　ＵＵ　山（ｂ）脉冲分组方式２　　图１对整个脉冲串的两种分组方式　这种多普勒模糊可以通过图１（ａ）中的多个分组之间的关系来求解．换一个角度来看，可以看成再将整　个脉冲串按图１（ｂ）的方式进行分组．图１（ｂ）中的脉冲分组的重频与原脉冲串的相等，因而其无模糊的多普　勒分辨范围与原脉冲串一致，但此时脉冲分组内的相干积累时间减小，多普勒分辨率较低．不过，只要其高于　图１（ａ）中分组的无模糊多普勒范围对应的大小即可．　假设将０～Ｆ　范围内的频点．　，ｉ＝１，２，…，Ⅳ，等分成Ｑ个区间，每个区间内各有Ｐ个频点，即Ⅳ＝ｐＱ．区　间的大小选取为图１（ａ）中的脉冲分组对应的无模糊多普勒范围．每个区间可以作为矩阵的一行，这样原来　的一维频点就排成了一个二维矩阵，如图２所示．将图１（ａ）中分组对应的无模糊多普勒范围选取为这Ｑ个　区间中第１个区间内的频点，表示为　ｉ，ｉ＝１，２，…，Ｐ，则有　。　，，ｉ＝１，２，…，Ｐ．每个区间的多普勒中心用　，其中，ｎ＝ｒｏｏｄ（ｉ—ｌ，　ｍ＝１，２，…，Ｑ表示．可将原始的一维多普勒频点　对应为两个频点　和　Ｐ）＋１，ｍ＝ｒ　／Ｐ］．这里ｍｏｄ（・）表示取余，ｒ・］表示不小于（・）的最小整数．　囡　皿Ｉ　Ｉ　ｌ　Ｉ　Ｉ厶，ｌ　ｌ　Ｉ　ｌ　ｌ　…　Ｉ　ｌ　ｌ　Ｉ　ｌ　厶　区间１　丘　区间２　区间Ｑ　。。　　图２二维稀疏信号的构造　下面来推导以脉冲分组方式构造的信号模型．为使图１（ａ）中脉冲分组对应的不模糊多普勒范围刚好与　上述的等分区间相一致，则要求按图１（ａ）的方式抽取脉冲时，脉冲重复问隔应选取为原来的Ｑ倍．这样共得　到Ｍ—ｐ个脉冲分组，每个分组由２个脉冲构成．其中第１个分组在频点　处的多普勒矢量为　ａａｌ　）：ｅｘｐｆｊ　［ｏ，ｉ　Ｉ　１．　（４）　令　＝［口　。　），ａａｌ（　），…，ａａｌｆｉＮ）］．第　个分组与第１个分组的多普勒响应矩阵　。之间相差一个由下式　表示的对角矩阵，即　＝ｄｉａｇ｛ｅｘｐ［ｊ　】，ｅＸｐ［ｊ　，ｅｘｐ［ｊ　】），　（５）　第２期　刘　寅等：一种快速的基于压缩感知的多普勒高分辨方法　８５　其中，ｄｉａｇ｛．｝表示由矢量（・）构成的对角阵．　考虑到对于图１（ａ）中的脉冲分组会出现多普勒模糊，令，Ａ　＝［ａａｌ（ｆａ　），ａａｌ（　），…，ａａｌ（　）］，则此方　式下的第ｉ个脉冲分组的接收信号可表示为　Ｙ　＝［Ｙ［ｉ］，Ｙ［Ｑ＋ｉ］ｒ＝　１　＋ｎ嘣＝Ａ　Ｘ＋ｎ　，　（６）　其中，　＝［ｎ　［ｉ］，ｎ　［Ｑ＋ｉ］］Ｔ．Ｙ［ｉ］和ｎ　［ｉ］分别表示矢量Ｙ和ｎ　的第　个元素，且在后文中沿用这种表　示方法．式（６）中第３个等号即对应多普勒的模糊问题．Ｘ　ｉ是将Ｑ个区间的各频点处目标的复幅度对应地加　口　权叠加起来的结果，即　＝∑　，其中　＝ｄｉａｇ｛ｅｘｐ［ｊ　】，ｅｘｐ［ｊ　，ｅｘｐ［ｊ　］），　＝［Ｘ［（ｍ一１）Ｐ＋１］，Ｘ［（ｍ一１）Ｐ＋２］，…，　［，扎尸］］　．　可以看到，由于　是稀疏的，叠加后的Ｘ　也是稀疏的．但在这种叠加过程中，可能出现复幅度相消的问题．不　过，可通过采用多个脉冲分组作为不同的样本来有效地克服，这将在后面详细说明．　如果将各脉冲分组的接收信号作为不同的样本，则可以得到这样的信号形式：　Ｙ　＝［Ｙ　Ｙａ２，…，Ｙ　ｏ）］＝Ａ　ｌ　＋Ⅳ　，　（７）　其中，Ｘ　＝［Ｘ　ａｌ’　丑２，…，Ｘ　（　一口）］，Ｎ　＝［ｎ　ｒａ１，ｎｒａ２，…，ｎ　（肘Ｑ）］．　按照图１（ｂ）的方式，可以构造　。个脉冲数为Ｍ—Ｑ的脉冲分组．类似地，图１（ｂ）中的第ｉ个脉冲分组　的接收信号可表示为　Ｙ　：［Ｙ［（ｉ一１）（　一Ｑ）＋１］，ｙ［（ｉ一１）（Ｍ—Ｑ）＋２］，…，ｙ［ｉ（Ｍ—Ｑ）］ｒ—Ａ　Ｘ　＋，ｌ　，（８）　其中，Ａ　：Ｅａ　（　），ａｂｌ（厂ｄ　：），…，口　（　口）］，Ｘ　＝∑　ｘ　，元由　＝［，ｌ　［（ｉ一１）（　一Ｑ）＋１］，ｎ　ｒ［（　一　１）（　—Ｑ）＋２］，…，ｎ　ｒ［　（　—Ｑ）］］　．这里，口ｂ　（　）＝ｅｘｐ｛ｊ　Ｅｏ，ｌ，…，Ｍ—Ｑ一１　Ｉ　Ｔ　｝，　：ｄｉａｇ｛ｅｘｐ［ｊ　］，ｅｘｐ［ｊ　・，　ｅｘｐ［ｊ　邶　】），　ｘ　＝［Ｘ［ｍ］，Ｘ［ｍ＋Ｐ］，…，Ｘ［ｍ＋（Ｑ一１）Ｐ］］Ｔ．　将图１（ｂ）中各分组的接收数据作为不同样本，排列起来，则有　Ｙｂ＝［Ｙｂｌ，　ｂ２，…，　ｂ盯１］　Ａｂｌ［ｘｂ１，ｘｂ２，…，　ｂ＾，１］＋［，ｌｒｂ１，Ｈ　ｒｂ２，…，，ｌ　ｂＭ１］：ＡｂｌＸｂ＋Ⅳｒｂ　．　（９）　由于图１（ｂ）中的脉冲分组的多普勒分辨率较低，每个区间内的各频点均可用该区间的多普勒中心近似，因　而得到了式（８）和式（９）中的近似关系．　上述的　和　中均只有少数的若干行是非零的．　中的非零行的位置反映了模糊后的目标多普勒频　率，而　中的非零行表明了多普勒解模糊后所在的区间．它们分别对应目标多普勒在图２的矩阵中所在的　列和行，它们的交叉部分则表明了目标多普勒可能出现的位置．　２．２基于二维稀疏信号重构的多普勒估计　正交匹配追踪算法在每一步迭代中，需要对字典中每个原子进行搜索，找到与残余信号相关性最大的原　子．对于二维稀疏信号，可将这一搜索过程分解为按行搜索和按列搜索．对应这里的多普勒估计问题，相当于　将原脉冲串的信号模型对应的字典Ａ，分解为两个子字典Ａ　和Ａ　。．先分别在这两个子字典中进行搜索，确　定多普勒估计在二维稀疏信号矩阵中所在的列和行的位置．然后选取找到的行和列的交叉部分，作为非零元　素在这个二维信号中可能出现的位置．再将这个二维信号拉伸为一个长的一维信号（这里相当于还原为一　维信号），在这个一维信号对应的字典中，只在非零元素可能出现的区域附近进行搜索．由于长的一维信号　对应的字典Ａ中原子个数和每个原子的长度都比子字典Ａ　和Ａ　中的大得多，因而，明显缩小了在字典Ａ　中的搜索范围，降低了整个算法的运算复杂度．　西安电子科技大学学报（自然科学版）　第３８卷　假设目标的个数是已知的．实际中对于目标个数（即稀疏度）未知的情况，可以通过设置误差门限，或者使　用其他稀疏度自适应的方法，在进行多普勒分辨的同时获得目标的个数．这里限于篇幅，不进行详细讨论．　具体的算法描述如下：　输入：字典Ａ，整个脉冲串信号Ｙ，目标个数　；　输出：目标的复幅度估计Ｓ和多普勒估计对应的下标集合　；　初始化：构造脉冲分组接收数据ｙａ和１，ｂ，及其分别对应的子字典Ａ　和Ａ　；令残余数据矩阵Ｒ　＝　，　Ｒ　＝ｙｂ，残余矢量ｒ　；目标多普勒估计对应的下标集合／生＝　．　算法的步骤如下：　（１）对子字典Ａ　，中的每个原子，计算其与残余数据矩阵Ｒ　的各列的互相关模值之和，找出由这些和值　形成的多普勒谱中的主要谱峰（即大于某一给定门限的谱峰）为　Ｍ－Ｑ　＝ｍａｉ　ｎ　＿　ｐ　ｅ　ａｋｓ（∑ｆ口　（　）Ｒ　［　，ｍ］Ｉ）・　这里用Ｒ　［　，　］表示　的第ｍ列，且下文中也采用类似的表示方法．　（２）对子字典Ａ　．中的每个原子，找出相应的主要谱峰为　ＭＩ　Ｏｂ　ｍａ　描ａｋｓ（　ｆ　Ｈ。（，ｄ　）　［　，ｍ］ｆ）・　（３）选取　和　的交叉部分作为非零元素的可能位置，并向附近的区域适当地扩展，作为字典Ａ中的　缩小后的原子搜索范围　，找到与残余矢量ｒ的互相关模值最大的原子在字典Ａ中的下标：Ａ＝　ａｒ　ｇ，ｍａｘ（１ｒ“口（　）１），并将其添加到多普勒估计对应的下标集合中，＝　ｕ｛ＡＡＡ｝．　（４）求解目标复幅度的最小二乘估计：＝　Ｓ　ａｒｇｍｉｎ　ｌ　Ｉｒ　Ａ　一　Ｉ，，这里Ａ表示Ａ中由Ａ指示的对应列构成　的一个子矩阵．　（５）更新：计算，＝，一Ａ　，并且根据，．重新构造相应的矩阵　和　．　重复上述的（１）～（５）步共Ｋ次，得到Ｋ个目标的复幅度估计和多普勒估计．　上述步骤（３）中，在　和　的交叉部分附近适当扩大范围作为非零元素的可能位置，可以使得算法更　加稳定．对于前面提到　及Ｘ　的复幅度相消问题，由于不同的脉冲分组对应不同的叠加系数，而将不同分　组的信号看作多个样本，这样在（１）、（２）两步中考察对应多个样本的互相关的模值之和，就可以有效地抑制　复幅度相消的问题．　２．３运算量比较　在ＯＭＰ算法的每步迭代中，最耗时的操作对应为在字典中对原子进行搜索．对于文中的信号模型，直接　采用原始的正交匹配追踪算法，其对应字典中的原子个数和每个原子的长度分别为Ｎ＝Ｐｑ和　．由于每步　迭代的运算复杂度为０（ＰＱＭ），因而其总的运算量为０（ＫＰＱＭ）　．而对于文中采用的方法，其（１）、（２）两　步的运算复杂度分别为Ｏ（２Ｐ（Ｍ—Ｑ））和０（Ｑ（Ｍ—Ｑ）Ｍ。）．注意，这里有（Ｍ—Ｑ）Ｍ　≤　假设第（３）步中　选取的行和列（经过适当扩展范围后）分别占原来的总行数和总列数的比例为０．３和０．４，则扩展后的行列　交叉部分对应的原子个数仅占整个字典Ａ的原子个数的１２％，因此，文中采用的方法的运算量约为　０．１２０（ＫＰＱＭ），即约为原始的正交匹配追踪算法的１２％，有效降低了运算复杂度．　３仿　真　假设相干积累脉冲个数为Ｍ＝３０，脉冲重频为Ｆ　＝１　０００　Ｈｚ．将０～Ｆ　等分成Ⅳ＝１　０００个频点，即多普勒　频率间隔为ａｆ＝１　Ｈｚ．按照文中的方法，这些频点被等分成Ｑ＝２５个区间，每个区问的频点数为Ｐ＝４０．按图　１（ａ）的方式，构造得到Ｍ—Ｑ＝５个脉冲分组．按图１（ｂ）的方式，将每Ｍ—Ｑ＝５个脉冲划分成一个分组，共　得ＮＭ　＝６个脉冲分组．假设存在Ｋ＝３个目标，其多普勒频率分别为３２０　Ｈｚ、３５０　Ｈｚ和６００　Ｈｚ．各个目标相对　匹配滤波后的噪声残余分量的平均信噪比用ＳＮＲ表示，３个目标的相对信噪比（相对这个平均信噪比）分别　第２期　为一１　ｄＢ、１　ｄＢ和０　ｄＢ．　刘　寅等：一种快速的基于压缩感知的多普勒高分辨方法　ｌ　Ｏ　８７　鞋　孽ｇ　　０　Ｏ　目ｉ０　Ｏ　以下给出了文中采用的方法（ＦＯＭＰ）和原始的正交匹配追踪算法与其他高分辨方法，包括Ｃａｐｏｎ、ＭＵＳＩＣ和　ＥＳＰＲＩＴ方法，进行多普勒估计比较所得的结果．其中对于Ｃａｐｏｎ、ＭＵＳＩＣ和ＥＳＰＲＩＴ方法，为了获得足够的样本，采　用类似空间平滑的方式，选取前后相连的　：１０个脉冲作为一个脉冲分组，这样滑动后共得到　一　＋１＝２１　个样本．图３展示了除ＥＳＰＲＩＴ方法外的上述其他各种方法得到的多普勒谱．可以看到，在低信噪比的情况下，　Ｃａｐｏｎ和ＭＵＳＩＣ方法均无法将前两个目标分辨开来，而ＯＭＰ和ＦＯＭＰ方法可以很好地将它们分辨．　Ｉ　．　ｆ　＼—、—　ｒ、　．　＼　一　多普勒频率／ｋＨｚ　图３　多普勒谱估计，ＳＮＲ为０　ｄＢ　图４　多普勒估计均方根误差随信噪比变化关系　图４给出了上述３个目标的多普勒估计的均方根误差的平均值随平均信噪比变化的曲线．由于在较低　信噪比的情况下，Ｃａｐｏｎ和ＭＵＳＩＣ方法的分辨率较低，对上述的３个目标并不能完全分辨，因而，这里只对文　中的方法与原始的ＯＭＰ方法及ＥＳＰＲＩＴ方法进行了比较，Ｍｏｎｔｅ　Ｃａｒｌｏ仿真次数为４００次．结果表明，ＯＭＰ和　ＦＯＭＰ的方法对信噪比不是特别敏感，在低信噪比的情况下也能够很好地工作．另外注意到，对于ＦＯＭＰ，在　行列交叉部分扩展时，可以调整扩展单元的个数．图中的　＝５和ｎ＝３即分别表示扩展单元的个数．其中，　ｎ＝５时的ＦＯＭＰ的性能已经非常接近ＯＭＰ方法．此时，选取的扩展单元较多，算法更为稳健，不过运算复杂　度的改善程度也较低．　４结束语　通过构造脉冲分组的方式，将一维的多普勒估计问题转化为一个二维的稀疏信号重构的问题，从而利用　一种针对二维稀疏信号优化的快速正交匹配追踪方法进行多普勒估计．仿真结果表明，笔者的方法在有效地　降低运算复杂度的同时，能够获得接近直接应用ＯＭＰ方法的性能．对于低信噪比、目标运动较快以至于相干　积累时间比较有限的场合，笔者提出的方法能够有效地进行多普勒高分辨，并具有较低的运算复杂度，是一　种工程中较实用的方法．　参考文献：　［１］Ｄｏｎｏｈｏ　Ｄ　Ｌ．Ｃｏｍｐｒｅｓｓｅｄ　Ｓｅｎｓｉｎｇ［Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ　ｏｎ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｔｈｅｏｒｙ，２００６，５２（４）：１２８９—１３０６．　【２］Ｃａｎｄ￣ｓ　Ｅ　Ｊ，Ｒｏｍｂｅｒｇ　Ｊ，Ｔａｏ　Ｔ．Ｒｏｂｕｓｔ　Ｕｎｃｅｒｔａｉｎｔｙ　Ｐｒｉｎｃｉｐｌｅｓ：Ｅｘａｃｔ　Ｓｉｇｎａｌ　Ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ　ｆｒｏｍ　Ｈｉｇｈｌｙ　Ｉｎｃｏｍｐｌｅｔｅ　Ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ　ｈｆｆｏｒｍａｔｉｏｎ［Ｊ】．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ　ｏｎ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｔｈｅｏｒｙ，２００６，５２（２）：４８９—５０９．　【３］Ｍａｌｉｏｕｔｏｖ　Ｄ，￣ｅｔｉｎ　Ｍ，Ｗｉｌｌｓｋｙ　Ａ　Ｓ．Ａ　Ｓｐａ￣ｅ　Ｓｉｇｎａｌ　Ｒｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ　Ｐｅｒｓｐｅｃｔｉｖｅ　ｆｏｒ　Ｓｏｕｒｃｅ　Ｌｏｃａｌｉｚａｔｉｏｎ　ｗｉｔｈ　Ｓｅｎｓｏｒ　Ａｒｒａｙｓ【Ｊ】．　ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ　ｏｎ　Ｓｉｇｎａｌ　Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２００５，５３（８）：３０１０—３０２２．　［４］Ｔｒｏｐｐ　Ｊ　Ａ，Ｇｉｌｂｅｒｔ　Ａ　Ｃ．Ｓｉｇｎａｌ　Ｒｅｃｏｖｅｒｙ　ｆｒｏｍ　Ｒａｎｄｏｍ　Ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｓ　Ｖｉａ　Ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ　Ｍａｔｃｈｉｎｇ　Ｐｕｒｓｕｉｔ［Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ　ｏｎ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｔｈｅｏｒｙ，２００７，５３（１２）：４６５５－４６６６．　［５］Ｎｅｅｄｅｌｌ　Ｄ，Ｔｒｏｐｐ　Ｊ　Ａ．ＣｏＳａＭＰ：ｈｅｒａｔｉｖｅ　Ｓｉｇｎａｌ　Ｒｅｃｏｖｅｒｙ　ｆｒｏｍ　Ｉｎｃｏｍｐｌｅｔｅ　ａｎｄ　Ｉｎａｃｃｕｒａｔｅ　Ｓａｍｐｌｅｓ［Ｊ】．Ａｐｐｌｉｅｄ　ａｎｄ　Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ　Ｈａｒｍｏｎｉｃ　Ａｎａｌｙｓｉｓ，２００９，２６（３）：３０１—３２１．　［６］Ｊｉ　Ｓ　Ｈ，Ｘｕｅ　Ｙ，Ｃａｒｉｎ　Ｌ．Ｂａｙｅｓｉａｎ　Ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｖｅ　Ｓｅｎｓｉｎｇ［Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓ　ｏｎ　Ｓｉｇｎａｌ　Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２００８，５６（６）：２３４６－２３５６．　［７】Ｌｉｕ　Ｙ，Ｗｕ　Ｍ　Ｙ，Ｗｕ　Ｓ　Ｊ．Ｆａｓｔ　ＯＭＰ　Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｏｒｆ　２Ｄ　Ａｎｇｌｅ　Ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ　ｉｎ　ＭＩＭＯ　Ｒａｄａｒ【Ｊ】．Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ　Ｌｅｔｔｅｒｓ，２０１０，４６（６）：　４４４－４４５．　（编辑：齐淑娟）