八年级初二二次根式复习讲义(非常全面)(最新整理)

二次根式

3、如果代数式m1mn有意义，那么，直

知识点一：二次

根式的概念

【知识要点】

二次根式的定义：形如

的式子叫二次根

式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．角坐标系中点P（m，n）的位置在（　　）

A、第一象限　　B、第二象限　　C、第三象限　　D、第四象限

【例3】若y=x5+5x+2009，则x+y=

x50解题思路：式子a（a≥0），,5x0x5，y=2009，则x+y=2014【典型例题】【例1】下列各式1）举一反三：1、若x11x(xy)2，则x－y的值为（）A．－1B．1 11,2)5,3)x22,4)4,5)()2,6)1a,7)a22a1C．2D．353，

其中是二次根式的是_________（填序号）．举一反三：1、下列各式中，一定是二次根式的是（）A、2、若x、y都是实数，且y=2x332x4，求xy的值3、当a取什么值时，代数式2a11取值最小，并求出这个最小值。已知a是5整数部分，b是5的小数部分，求a1的值。b2aB、10C、a1D、a21222、在a、ab、x1、1x、3中是二次根式的个数有______个1【例2】若式子有意义，则x的取值范围是．x3若3的整数部分是a，小数部分是b，则3ab。若17的整数部分为x，小数部分为y，求x21y的值.

举一反三：1、使代数式x3有意义的x的取值范围是（）

x4A、x>3且x≠4

B、x≥3 C、x>4D、x≥3

知识点二：二次根式的性质

【知识要点】

1.非负性：a(a0)是一个非负数．注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到．2.(a)2a(a0)．注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负

2、使代数式x2x1有意义的x的取值范围是

2欢迎阅读

数或非负代数式写成完全平方的形式：

a(a)2(a0)3.a2|a|a(a0)a(a0)注意：（1）字母不一定是

正数．

（2）能开得

尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．4.公式a2|a|a(a0)a(a0)与(a)2a(a0)的区别与联系（1）a2表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数．（2）(a)2表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数．（3）a2和(a)2的运算结果都是非负的．【典型例题】【例4】若a2b3c420，则abc．

举一反三：1、若m3(n1)20，则mn的值为。2、已知x,y为实数，且x13y220，则xy的值为（）

A．3

B．–3

C．1

D．–

1

3、已知直角三角形两边x、y的长满足｜x2－4｜＋y25y6＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿＿.

4、若

ab1与a2b4互为相反数，则

ab2005_____________。

（公式(a)2a(a0)的运用）

【例5】化简：a1(a3)2的结果为（）

A、4—2aB、0 C、2a—4D、4举一反三：

1在实数范围内分解因式:x23=；m44m24=

2化简：33133已知直角三角形的两直角边分别为2和5，则斜边长为（公式a2aa(a0)a(a0)的应用）【例6】已知x2,则化简x24x4的结果是A、x2B、x2C、x2D、2x举一反三：1、根式(3)2的值是()A．-3B．3或-3 C．3　D．92、已知a<0，那么│a2－2a│可化简为（）A．－aB．aC．－3aD．3a3、若2a3，则2a2a32等于（）A.52aB.12aC.2a5D.2a124、若a－3＜0，则化简a6a94a的结果是（）(A)－1(B)1(C)2a－7(D)7－2a

5、化简4x24x12x32得（）

（A）　2　（B）4x4　（C）－2　　（D）4x4a22a16、当a＜l且a≠0时，化简a2a＝．

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7、已知a0，化简求值：

4(a1)24(a1a)2a【例7】如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a－b│+(ab)2的结果等于（）

A．－2bB．2bC．－2aD．2a举一反三：实数a在数轴上的位置如图所示：化简：a1(a2)2______．【例8】化简1xx28x16的结果是2x-5，则x的取值范围是（）（A）x为任意实数（B）1≤x≤4（C）x≥1（D）x≤1

举一反三：若代数式(2a)2(a4)2的值是常数2，则a的取值范围是（　　）Ａ．a≥4Ｂ．a≤2Ｃ．2≤a≤4Ｄ．a2或a4【例9】如果aa22a11，那么a的取值范围是（）A.a=0B.a=1 C.a=0或a=1D.a≤1举一反三：1、如果aa26a93成立，那么实数a的取值范围是（）2、若(x3)2x30，则x的取值范围是（）（A）x3（B）x3（C）x3（D）x3【例10】化简二次根式aa2a2的结果是（A）a2(B)a2(C)a2(D)

a21、把二次根式a1a化简，正确的结果是（）

A.aB.aC.aD.a2、把根号外的因式移到根号内：当b＞0时，

bxx＝；(a1)11a＝。知识点三：最简二次根式和同类二次

根式

【知识要点】

1、最简二次根式：（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式．2、同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。【典型例题】【例11】在根式1)a2b2;2)x5;3)x2xy;4)27abc，最简二次根式是（）A．1)2)B．3)4)C．1)3)D．1)4)解题思路：掌握最简二次根式的条件。举一反三：1、45a,30,212,40b2,54,17(a2b2)中的最简二次根式是。2、下列根式中，不是最简二次根式的是（）A．7B．3C．

1D．223、下列根式不是最简二次根式的是(　)

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A.a21　　　　　　B.2x1　　　　　　

C.2b4　　　　D.0.1y4、下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？3ab(1)3a2b(2)2(3)x2y2(4)ab(ab)(5)5(6)8xy5、把下列各式化为最简二次根式：(1)12(2)45a2bx2y(3)x【例12】下列根式中能与3是合并的是()A.8B.27C.25D.12举一反三：1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（）A、3和18B、3和13C、a2b和ab2D、a1和a12、在二次根式：①12；②23；③23；④27中，能与3合并的二次根式是。3、如果最简二次根式3a8与172a能够合并为一个二次根式,则a=__________.知识点四：二次根式计算——分母有

理化

【知识要点】

1．分母有理化

定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。2．有理化因式：

两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：

①单项二次根式：利用aaa来确定，如：a与a，ab与ab，ab与ab等分别互为有理化因式。②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如ab与ab，ab与ab，axby与axby分别互为有理化因式。3．分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。【典型例题】【例13】把下列各式分母有理化（1）148（2）4337（3）1113212（4）550【例14】把下列各式分母有理化（1）2x28x3y（2）ab（3）x8x3（4）a2b5b2a5【例15】把下列各式分母有理化：（1）2533321（2）53（3）3223举一反三：1、已知x2323，y2323，求下列各式的值：（1）

xyxy（2）x23xyy22、把下列各式分母有理化：（1）ababab（2）a2a2a2a2（3）ba2b2ba2b2欢迎阅读

小结：一般常见的互为有理化因式有如下几类：①

与；?????????????②与；

③

与；??????④

与

．

知识点五：二次根式计算——二次根

式的乘除【知识要点】1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。ab=a·b（a≥0，b≥0）2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。a·b＝ab．（a≥0，b≥0）3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根ab=ab（a≥0，b>0）4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。ab=ab（a≥0，b>0）注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．【典型例题】【例16】化简(1)916(2)1681(3)5215(4)9x2y2(x0,y0)(5)12×623【例17】计算（1）??（2）

??????（3）??（4）

（5）??????（6）??（7）

?????????（8）

【例18】化简：

3b2(1)(2)9a2(a0,b0)(3)9xy2(x0,y0)(4)5x169y2(x0,y0)【例19】计算：(1)123(2)311128(3)416（4）8xx【例20】能使等式x2x2成立的的x的

取值范围是（）A、x2B、x0C、0x2D、无解

知识点六：二次根式计算——二次根

式的加减【知识要点】需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数．

【典型例题】

【例20】计算（1）32127520.53127；（2）12543102053245；457欢迎阅读

（3）32181575313412；（4）12631327332228448714721】（1）3xy4x2y2【例xy4x4y（2）abababab（3）127a3a23aa3a3a34108a（4）a1a1a4bb2b（5）81a35aa3a4a5（6）xyxyyyxxxy2知识点七：二次根式计算——二次根式的混合计算与求值【知识要点】1、确定运算顺序；　　2、灵活运用运算定律；　　3、正确使用乘法公式；　　4、大多数分母有理化要及时；　　5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化；【典型习题】1、2bab5(33b2ab)3a2、Error!(2+4Error!－3)

3、

1x2y·（-4y213x）÷

6x2y4、

(72223)3765、(23326)(23326）6、

(325)2(45)(45)7、(265)10(265)118、

13m9m(10mm252m21m)(m0)【例21】1．已知：，求

的值．

2．已知，求的值。

3．已知：，求的值．4．求的值．5．已知、是实数，且，求的值．

知识点八：根式比较大小【知识要点】1、根式变形法当a0,b0时，①如果ab，则ab；②如果ab，则ab。

2、平方法当a0,b0时，①如果a2b2，则

ab；②如果a2b2，则ab。

3、分母有理化法通过分母有理化，利用分子

的大小来比较。

4、分子有理化法通过分子有理化，利用分母的大小来比较。5、倒数法

6、媒介传递法适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。

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7、作差比较法

在对两数比较大小时，经常运用如下性质：①

ab0ab；②ab0ab8、求商比较法

它运用如下性质：当a>0，b>0时，则：①

ab1aba；②b1ab【典型例题】

【例22】比较35与53的大小。【例23】比较21与的大小。3121【例24】比较1514与1413的大小。【例25】比较76与65的大小。【例26】比较73与873的大小。