适合传输三路数据流的最小距离MIMO预编码

第３１卷第２期　２０１３年３月　应用科学学报　Ｖｂ１．３１　Ｎｏ．２　Ｍａｒ．２０１３　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＡＰＰＬＩＥＤ　ＳＣＩＥＮＣＥＳ－——Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ　ａｎｄ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．０２５５—８２９７．２０１３．０２．００５　适合传输三路数据流的最小距离ＭＩＭＯ预编码　古　强　，　许小东　，　蒋　轶　，　戴旭初　１．中国科学技术大学电子工程与信息科学系，合肥２３００２７　２．高通公司，美国加利福尼亚州圣迭戈市９２１２１　摘　要：基于最大化接收信号的最小欧氏距离准则，提出一种适用于传输三路数据流的多输入多输出预编码新算　法．该算法利用实参数旋转矩阵约束，从几何角度将非凸预编码优化问题的求解转化为离线计算和在线计算两步　实施，并获得表征最小欧氏距离的闭合表达式，其中离线计算部分通过搜索三维空间中依特定条件膨胀的二次曲　面并获得所有可行曲面，而在线计算部分则根据信道条件选择可行曲面，从而构造出相应的预编码矩阵．仿真实验　结果和分析表明，该算法相比于其他同类算法不仅具有较低的计算复杂度，而且随着正交幅度调制星座图的增大　可以获得超过３　ｄＢ的误比特率性能增益．　关键词：多输入多输出；预编码；最小欧氏距离；曲面膨胀　中图分类号：ＴＮ９１１．２２　文章编号：０２５５—８２９７（２０１３）０２—０１３５—０７　Ｍｉｎｉｍｕｍ　Ｄｉｓｔａｎｃｅ－Ｂａｓｅｄ　ＭＩＭＯ　Ｐｒｅｃｏｄｉｎｇ　ｆｏｒ　Ｔｒｉｐｌｅ－Ｓｔｒｅａｍ　Ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ　ＧＵ　Ｑｉａｎｇ　，ｘｕ　Ｘｉａｏ—ｄｏｎｇ　，ＪＩＡＮＧ　Ｙｉ。，ＤＡＩ　Ｘｕ．ｃｈｕ　ｊ．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　ａｎｄ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　０｝Ｃｈｉｎａ，Ｈｅｆｅｉ　２３００２％Ｃｈｉｎａ　２．Ｑｕａｌｃｏｍｍ　Ｉｎｃｏｒｐｏｒａｔｅｄ，Ｓａｎ　Ｄｉｅｇｏ，ＣＡ　９２１２１，ＵＳＡ　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａ　ｎｅｗ　ＭＩＭＯ　ｐｒｅｃｏｄｉｎｇ　ｍｅｔｈｏｄ　ｉｓ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｍａｘｉｍｉｚｉｎｇ　ｔｈｅ　ｍｉｎｉｍｕｍ　Ｅｕｃｌｉｄｅａｎ　ｄｉｓ—　ｔａｎｃｅ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｐｏｉｎｔｓ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｒｅｃｅｉｖｅｄ　ｓｉｇｎａｌ　ｓｐａｃｅ　ｆｏｒ　ｔｒｉｐｌｅ．ｓｔｒｅａｍ　ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎ．Ｕｎｄｅｒ　ａ　ｒｅａｌ—ｖａｌｕｅｄ　ｒｏｔａｔｉｏｎ　ｍａｔｒｉｘ　ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ，ｔｈｅ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ　ａｌｇｏｒｉｔｈｍ　ｓｏｌｖｅｓ　ｔｈｅ　ｎｏｎ—ｃｏｎｖｅｘ　ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｗｉｔｈ　ｔｗｏ　ｓｔｅｐｓ　ｆｒｏｍ　ｔｈｅ　ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ　ｖｉｅｗｐｏｉｎｔ，ｎａｍｅｄ　ｏｆｆｌｉｎｅ　ｓｔｅｐ　ａｎｄ　ｏｎｌｉｎｅ　ｓｔｅｐ，ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ．Ｉｎ　ｔｈｅ　ｏｆｉｉｎｅ　ｓｔｅｐ，ａｌｌｆ　ｆｅａｓｉｂｌｅ　ｓｕｒ—　ｆａｃｅｓ　ａｒｅ　ｃｏｌｌｅｃｔｅｄ　ｂｙ　ｅｘｐａｎｄｉｎｇ　ｑｕａｄｒｉｃ　ｓｕｒｆａｃｅｓ　ｗｉｔｈｉｎ　３－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ　ｓｐａｃｅ．Ｉｎ　ｔｈｅ　ｏｎｌｉｎｅ　ｓｔｅｐ，ｔｈｅ　ｐｒｅｃｏｄｅｒ　ｍａｔｒｉｘ　ｉＳ　ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ　ｗｉｔｈ　ｒｅｓｐｅｃｔ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｕｎｉｑｕｅ　ｆｅａｓｉｂｌｅ　ｓｕｒｆａｃｅ　ｃｈｏｓｅｎ　ｂｙ　ｐａｒｔｉｃｕｌａｒ　ｃｈａｎｎｅｌ　ｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎ．　Ｍｅａｎｗｈｉｌｅ．ａ　ｃｌｏｓｅｄ—ｆｏｒｍ　ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｍｉｎｉｍｕｍ　ｄｉｓｔａｎｃｅ　ｉｓ　ａｌｓｏ　ｐｒｏｖｉｄｅｄ　ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ．Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｖａｌｉｄａｔｅ　ｔｈａｔ　ｔｈｅ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ　ｍｅｔｈｏｄ　ｎｏｔ　ｏｎｌｙ　ｏｕｔｐｅｒｆｏｒｍｓ　ｅｘｉｓｔｉｎｇ　ｓｃｈｅｍｅｓ　ｗｉｔｈ　ｌｏｗ　ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ　ｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙ，　ｂｕｔ　ａｌｓｏ　ｈａｓ　ｓｕｐｅｒｉｏｒ　ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ　ｏｆ　ｍｏｒｅ　ｔｈａｎ　３　ｄＢ　ｉｎ　ｔｅｒｍｓ　ｏｆ　ｂｉｔ．ｅｒｒｏｒ—ｒａｔｅ　ｆＢＥＲ１　ｗｉｔｈ　ｉｎｃｒｅａｓｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｑｕａｄｒａｔｕｒｅ　ａｍｐｌｉｔｕｄｅ　ｍｏｄｕｌａｔｉｏｎ（ＱＡＭ）ｃｏｎｓｔｅｌｌａｔｉｏｎｓ．　Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ＭＩＭ０，ｐｒｅｃｏｄｅｒ，ｍｉｎｉｍｕｍ　Ｅｕｃｌｉｄｅａｎ　ｄｉｓｔａｎｃｅ，ｓｕｒｆａｃｅ　ｅｘｐａｎｄｉｎｇ　当收发双方完全已知信道状态信息（ｃｈａｎｎｅｌ　ｓｔａｔｅ　ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ，ＣＳＩ）时，发送端预编码技术可以显　著提升多输入多输出（ｍｕｌｔｉｐｌｅ　ｉｎｐｕｔ　ｍｕｌｔｉｐｌｅ　ｏｕｔｐｕｔ，　来无线和移动通信领域的研究热点．一般地，ＭＩＭＯ　预编码器主要采用最大化互信息量［２】、最小化均方　误差（ｍｉｎｉｍｕｍ　ｍｅａｎ　ｓｑｕａｒｅ　ｅｒｒｏｒ．ＭＭＳＥ）［３－４】、最　ＭＩＭｏ）系统的频谱效率和链路质量ｆ１Ｊ，并成为近年　收稿日期：２０１２一Ｏｌ一０９；　修订日期：２０１２—１２—１９　大化最差子信道的接收信噪比（ｓｉｇｎａｌ　ｔｏ　ｎｏｉｓｅ　ｒａｔｉｏ，　基金项目：国家自然科学基金（Ｎｏ．６１０７１０９４）；国家科技重大专项基金（Ｎｏ．２０１２ＺＸ０３００１００７—００２）　安徽高校省级自然科学研究重点项目　基金（Ｎｏ．ＫＪ２０１２Ａ２８３）资助　通信作者：许小东，博士，讲师，研究方向：无线通信和信号处理，Ｅ—ｍａｉｌ：ｘｄｘｕ＠ｕｓｔｃ．ｅｄｕ．ｃａ；戴旭初，教授，　博导，研究方向：新一代无　线通信系统，Ｅ—ｍａｉｌ：ｄａｉｘｃ＠ｕｓｔｃ．ｅｄｕ．ｃａ　１３６　应用科学学报　第３１卷　ＳＮＲ）ｌ５＿６］，以及在平均功率约束下最大化接收信号　的最小欧氏距离［　］等设计准则．　当采用最大似然（ｍａｘｉｍｕｍ　ｌｉｋｅｌｉｈｏｏｄ，ＭＬ）接　收机时，最小欧氏距离准则与误比特率（ｂｉｔ　ｅｒｒｏｒ　ｒａｔｅ，ＢＥＲ）准则相似，基于该准则设计的预编码器具　有非对角化矩阵结构，因而受到广泛关注，并取得了　许多有益的结论［％１２】．相比而言，诸如ｍａｘ－ｚ￣ｍｊ　算　法　、注水算法（ｗａｔｅｒ　ｆｉｌｌｉｎｇ，ＷＦ）［１４］等其他算法　均采用对角化预编码矩阵，面对ＭＬ接收机时性能相　对较差．然而，由于最小距离预编码器优化问题的离　可以表示为　＝ＨＦｓ＋佗　（１）　式中，Ｈ　Ｅ　ＣＭｒ　帆是信道矩阵，Ｆ　Ｅ　ｃＭｔｘ３表示预　编码矩阵，ｓ　Ｅ　Ｃ３　代表取自方型ＱＡＭ符号集的３　路数据流输入信号，而ｎ∈ｃＭｒｘ１是循环平稳复高　斯噪声．不失一般性，假设ｓ和ｎ均满足零均值和单　位方差统计特性，即Ｅ『８８Ｈ］：ｊｒ３，Ｅ『ｎｎＨ］＝／Ｍｒ，　其中（．）Ｈ表示共轭转置，　表示　维单位矩阵．用集　合　表示所有可能的输入向量，则接收信号的最小欧　氏距离可以表示为　散组合特性，目前仍然无法获得普适解法．文献ｆ７１　利用角度参数使信道矩阵和预编码矩阵参数化，然后　根据数值搜索方法得到全局最优的复参数预编码器，　但只适用于两路数据流、调制方式限定为二进制　相移键控（ｂｉｎａｒｙ　ｐｈａｓｅ　ｓｈｉｆｔ　ｋｅｙｉｎｇ，ＢＰＳＫ）或者４　阶正交幅度调制（ｑｕａｄｒａｔｕｒｅ　ａｍｐｌｉｔｕｄｅ　ｍｏｄｕｌａｔｉｏｎ，　ＱＡＭ）等低阶调制场景．文献『８１利用ＱＡＭ调制星　座点分布的自相似性，将文献『７ｌ提出的方法拓展到　１６一ＱＡＭ．需要指出的是，由于缺乏关于最小欧氏距　离的闭合表达式，文献『７－８１均依赖于穷尽搜索设计　预编码器，故计算复杂度较高，且随着数据流数目的　增大呈指数增长．为了拓展至高维数据流情形，文　献『９—１Ｏ１采用子信道配对方式获得一种次优ＭＩＭ０　预编码器，但只适用于数据流数目为偶数的情形．针　对３路数据流传输这一常见场景，文献『１１１提出了一　种ＳＮＲ—ｌｉｋｅ　ｍａｘ—ｄ　ｉ　算法，该算法的基本思路是把３　路Ｍ—ＱＡＭ信号转换为１路Ｍ３一ＱＡＭ信号并选择在　最强的虚拟子信道中传输，从而有效降低了算法复杂　度．然而，正如本文在仿真实验中所指出的那样，这　种处理方式是以较大程度地牺牲预编码器性能作为代　价的．　本文兼顾性能和计算复杂度，基于最大化最小欧　式距离准则，提出一种适合３路数据流传输的ＭＩＭＯ　预编码新算法．该算法建立在以下事实基础上：１）将　预编码矩阵为实参数矩阵对整体性能的影响极　小［１０】；２）实对称矩阵与空问中的二次曲面一一对应．　因此，该算法的新颖特征在于它从几何观点出发，将　预编码矩阵的非凸优化求解转化为寻找三维空问中依　特定条件膨胀的二次曲面，且基于这种曲面膨胀原理　可以较易获得关于最小欧氏距离的闭合表达式，从而　可获得较好的ＢＥＲ性能并有效降低算法复杂度．　１　系统模型和问题描述　假设收发两端均可完全获得ＣＳＩ，考虑在一准静　态ＭＩＭＯ平坦衰落信道中传输３路数据流，发　射天线数和接收天线数分别为　和Ｍ　，则接收信号　ｄ　ｉｎ一ｍｉｎ　　ｌ（２）　。　，　，∈５ＩＩＨＦ（ｓ　一　Ｊ）ｌ，≠　，式中，符号　为求取向量范数．　本文将发送功率约束为正实数　，研究基于该约　束的最小欧式距离最大化问题，即　（Ｐ１）：Ｆｏｐｔ　＝ａｒｇｍａｘｄ　ｉ　Ｆ∈ＣＭｔ×３　ｓ．ｔ．（ＦＦＨ）＝　式中，ｔｒａｃｅ（・）为矩阵求迹操作．当接收端采用ＭＬ均　衡器时，最小欧氏距离准则在高ＳＮＲ区域可以渐进　等效为ＢＥＲ准则［７】＿　定义差向量　＝８ｉ—ｓｊ，其中ｉ≠Ｊ．令包含所有　的集合为　，则式（２）可以写成　ｍｉ喇ｎ　ＩＩＨＦ￣Ｉ　Ｉ对信道矩阵日做奇异值分解（ｓｉｎｇｕｌａｒ　ｖａｌｕｅ　ｄｅ—　ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ，ＳＶＤ）：Ｈ＝ＵＡＨ　Ｈ，其中Ｕ∈　ＣＭｒ　Ｍｒ，Ｖ∈ｃＭｔ　Ｍｔ是酉阵．令　为日的秩，　则ＡＨ对角线上包含了Ｈ的Ｋ个奇异值｛　Ｈ，　）　并以降序排列．文献ｆ１５１已经证明，最优的预编码　矩阵Ｆ的左奇异矩阵是Ｈ的右奇异矩阵，即Ｆ的　ＳＶＤ分解可以表示为Ｆ＝　Ｂ，其中酉阵Ｂ是　Ｆ的右奇异矩阵．在这里只考虑３路数据流的情　况，即Ｆ＝Ｖ　Ｂ，其中　由　的前３个列向量构　成，　包含Ｆ的３个奇异值ｆ５ｒｉ）　并以降序排列．　用ＡＨ∈Ｒ弘。表示ＡＨ的主子矩阵，则式（３）可重　写为　＝　ｍｉｎ　ｌ　ｌＨ　Ｂ　ＩＩ　问题（Ｐ１）是一个非凸优化问题，由于具有ＮＰ　ｈａｒｄ特性（１５］，若直接利用文献『７—１１１中采用的穷尽　搜索方法求解，将导致计算复杂度过高，几乎不可实　现．ＳＮＲ－ｌｉｋｅ　ｍａｘ—ｄ　ｉ　算法尽管具有较低的计算复　杂度，但性能损失较大，这一点很容易在本文的仿真　实验中观察到．　第２期　古强等：适合传输三路数据流的最小距离ＭＩＭＯ预编码　１３７　２　基于曲面膨胀的ＭＩＭＯ预编码方法　本文限定旋转矩阵Ｂ为实正交阵，已有研究表　明这种对预编码器的整体性能影响很小［１０］．事实　上，将旋转矩阵Ｂ限定为实矩阵，不仅可以大大简化　运算规模，而且便于对ｄ２ｍｉ　做出较清晰的几何解释，　从而为运用曲面膨胀原理获得优化问题（Ｐ１）的近似　解，从而为推导出　；　的闭合表达式提供可能．　２．１几何解释　式（４）中，ｄ　ｉ　需在复值向量集合　中进行计　算．当Ｂ限定为实矩阵时，ｄ　ｉ　实际上可以在实值向　量集合中计算获得，其理论依据源于引理１．　引理１对于实矩阵Ｂ，输入信号可采用方型　Ｍ—ＱＡＭ调制，则ｄ　ｉ　可由式（５）计算获得　最　ｌ　ｌＨ　Ｂ叫Ｉｌ　（５）　式中，ｗ＝Ｑ０　＼ｆ０），Ｑ＝｛一、／／Ｍ＋ｌ，一、／Ｍ＋２，　…，、／／　一１｝Ｔ，０代表所有元素均为０的向量．　证明　由　∈　可知，　＝Ｒｅｆ　∈Ｑ０　及　｛＝Ｉｍ｛　｝∈Ｑ　１，且　和　不能同时取０，其中　Ｒｅｆ．１和Ｉｍｆ．）分别代表取实部和虚部．由于Ｂ是一　个实矩阵，积ｊ　的表达式可以分解为　ｄ　ｉ　：　ｍｉｎ　｛ＩＩＡＨ￣Ｂ＝　ｌ　ｌ＋Ｉｌ　Ｈ　Ｂ　ｔＩ　（耋　）∈Ｑ。×　＼｛０　（６）　根据方型ＱＡＭ星座图的实部虚部对称性，当且仅当　式Ｉ取得非零最小值而第２项（第１项）为０时整体才能　ｌ　Ｈ　Ｂｚ　＋ｌ　ＩＨ　Ｂ　ｔ　中第１项（第２项）　取得最小值．不失一般性，只需计算ｌｌＡＨ￣，Ｂｘ　ｌｌ在　集合Ｗ上的最小值即可．证毕　显然，集合Ｗ中的所有元素构成了３维空间的　有限网格点阵列，如图１所示．这种几何理解将为后　续处理带来方便．　直接求解非凸优化问题（Ｐ１）非常复杂，为了便　于从几何观点求解该问题，考虑另一种形式的优化问　题，即给定单位最小欧式距离约束的最小化发送功率　问题　（Ｐ２）　Ｅｏｐｔ＝ａｒｇｒａｉｎｐ　ｓ．ｔ．Ｉ　ＩＨ　Ｂ　ＩＩ　≥１，＂∈ｗ，ＢＢＴ＝　式中，实变量ｐ—ｔｒａｃｅ（　），符号（．）Ｔ表示共轭转置．　从形式上看，优化问题（Ｐ１）与（Ｐ２）并不相同，但事实　上两者的最佳解之问存在确定性关系，如引理２所述．　图１　４一ＱＡＭ方式Ｆ情况１对应的可行曲面　Ｆｉｇｕｒｅ　１　Ｆｅａｓｉｂｌｅ　ｑｕａｄｒｉｃ　ｓｕｒｆａｃｅ　ｆｏｒ　４－ＱＡＭ　ｉｎ　Ｃａｓｅ　１　引理２针对实矩阵Ｂ，输入信号采用方型　Ｍ—ＱＡＭ调制，优化问题（Ｐ１）的解Ｆ０　与优化问　题（Ｐ２）的解　ｐｔ及Ｂ。ｐｔ满足关系　Ｆｏｐｔ＝（Ｐｏ／∑　ｔｒａｃｅ（￣ｏ２ｐｔ））　。ｐｔＢ。ｐｔ　（７）　证明对于任意实对角阵　，可以用参数Ｐ、＝垒一　　０１、０２来表征［１１］：　＠　ｇ　Ｃ　Ｏ　Ｓ　假设给定实矩阵Ｂ和对角阵　Ｈ，则由引理１知　．　Ｓ　ｄ　ｉ　：　ｍｉｎ　∈ｗＩｌ　Ｈ　Ｂ　ｌＣ　　ｌｐ－　ｍ∈ｉｎｗ　ｗＴＢＴ　Ｈ＠。Ｂｗ，　即　与预编码器功率增益成正比．因此，给定发　ｏ　Ｓ　２　送功率约束的最小距离最大化问题的最佳解Ｆ０．Ｓ　。　与给定最小距离约束的最小化发送功率问题的最　Ⅱ　佳解Ｆ＝　。ｐｔ．Ｓ　Ⅱ　Ｂ０ｐｔ之问仅相差一标量功率因子　Ｐ０／ｔｒａｃｅ（　２　，不难验证引理２成立．证毕　２　考虑到（Ｐ１）和（Ｐ２）两个问题的等价性，将集中　８　精力求解（Ｐ２）．假设Ａ＝ＢＴ　ＡＨＢ，则（Ｐ２）的　约束条件可以写成二次型的形式　切ＴＡｗ≥１，Ｗ∈ｗ　（９）　因为Ａ是一个半正定的实对称矩阵，方程ＷＴＡｗ　＝１与３维空间中的中心位于原点的二次曲面　一一　对应，称Ａ为曲面矩阵．因此，优化问题（Ｐ２）的约　束条件可以从几何上解释为：所有由集合Ｗ定义的　网格点均不包含在　内部．　不妨假设　＝　０ＡＨ　ｄｉａｇ（　１，Ａ２，Ａ３），即　扎＝　备　２，ｉ＝１，２，３，其中　１≥　２≥　３．由解析　几何相关理论可知，　的方向由旋转矩阵Ｂ决定，而　的大小和形状由　决定，ｌ／ｖ％，ｉ＝１，２，３即　的　第ｉ个半主轴的长度．因此，优化问题（Ｐ２）可以用几　何语言描述为：通过调整参数九和旋转矩阵Ｂ，寻找　１３８　应用科学学报　第３１卷　空问中符合形状和方向约束的二次曲面　，从而使得　盯　达到最小，即使Ｐ最小化，同时保证　不包含　ｉ‘＝——１。　ｍａｘ—ｄ　ｉ　算法类似，而与ＳＮＲ－ｌｉｋｅ　ｍａｘ－ｄ　ｉ　算法不　同的是，本文仅当第１虚拟子信道的增益显著大于其　他两个虚拟子信道时，才选择使用该预编码器，且性　能损失较小．　任何由集合Ｗ定义的网格点．　此外，作为引理２的直接推论，可以求出接收信　号的最小欧氏距离的闭合表达式．　推论１与式（７）中预编码矩阵Ｆ０。ｔ对应的最小　欧氏距离ｄ　ｉ　可以由闭合表达式（１０）得到　２＝情况２　ｒａｎｋ（Ａ）＝２，即　１，　２＞０，　３＝０　此时可行曲面　是一个中心位于原点的椭圆　柱面（ｅｌｌｉｐｔｉｃ　ｃｙｌｉｎｄｅｒ，ＥＣ），曲面上恰好有５对关　于原点对称的临界点．图２给出了一种可行的椭圆　Ｐｏ／ｔｒａｃｅ（　Ｐｏ　（１０）　柱面，该曲面母线方向为（ｋ　，　２，ｋ３）＝（０，１，、／／Ｍ），　２．２　曲面膨胀原则　与优化问题（Ｐ１）相同，严格求解（Ｐ２）几乎是　不可能的，但可以依据几何解释得到它的一个近似解．　（Ｐ２）的优化目标可以写成ｍｉｎ　Ｐ＝ｍｉｎ∑九／　备　显然Ｐ是关于　ｉ的严格递增函数，或者说是关于　的半主轴参数的严格递减函数．因此，在网格空问中，　通过选择九控制曲面　的形状，通过选择Ｂ来控　制曲面的方向，从而让曲面最大程度膨胀，同时保证　曲面内部不包含任何网格点．基于该原则可以获得问　题（Ｐ２）的多个局部最优解，比较这些局部最优解即　可得到（Ｐ２）的近似解．定义满足曲面膨胀原则的曲　面为可行曲面，可行曲面上的网格点称为临界点．不　同的Ａ矩阵对应不同的空间曲面，因此，若令ｒａｎｋ（．）　表示矩阵求秩，则本文将根据矩阵Ａ的秩分成３种情　况分别讨论．　情况１　ｒａｎｋ（Ａ）＝１，即　１＞０，　２，　３＝０　此时　是一个中心位于原点的一对平行平　面（ｐａｒａｌｌｅｌ　ｐｌａｎｅｓ，ＰＰ），如图１所示．容易验证　Ｐ＝　１／　备　与平行平面间的距离平方成反比，于　是（Ｐ２）的优化目标等效于寻找一对间距最大的平行　平面．其方程可以写成（ａｗ１＋ｂｗ２＋ＣＷ３）　一１，相应　的曲面矩阵为　０２　ｎｂ　ａｃ　０ｂ　６２　６ｃ　（１１）　０ｃ　６ｃ　ｃ２　显然ＡＰＰ有３个待定参数，则　上有３对关于原点　对称的临界点．对于　—ＱＡＭ来说，可行曲面的一组　临界点为：（０，０，１）、（０，一１，、／／Ｍ一１）、（一１，￣／Ｍ一１，　、／／Ｍ一１），由待定系数法可以求出各个系数分别为　ａ＝Ｍ、ｂ＝、／／Ｍ、ｅ＝１，由式（１１）可以求出ＡＰＰ．　值得指出的是，在这种情况下，预编码器实际上　将３路Ｍ—ＱＡＭ信号转换为１路Ｍ３一ＱＡＭ信号并　选择在最强的虚拟子信道传输，这一点与ＳＮＲＪ＿ｌｉｋｅ　其中Ｍ为ＱＡＭ调制阶数．柱面与平面Ｗ３＝０　相交得到的准线如图３所示，它是一个中心位于　二维平面原点的椭圆，其形状由（１，０）、（０，１／　）　和（１，一１／　）三个点确定．假设其归一化方程为　ＷＴＧ　＝１，Ｇ∈Ｒ２　，则有　Ｇ＝　２　图２　４－ＱＡＭ方式下情况２对应的可行曲面　Ｆｉｇｕｒｅ　２　Ｆｅａｓｉｂｌｅ　ｑｕａｄｒｉｃ　ｓｕｒｆａｃｅ　ｆｏｒ　４－ＱＡＭ　ｉｎ　Ｃａｓｅ　２　ｌｗ２　◆—————、１　Ｏ　一一　Ｌ　．／　（１，一Ｏ．５）　图３情况２中柱面与平面Ｗ３＝０相交所得准线示意图　Ｆｉｇｕｒｅ　３　Ｄｉｒｅｃｔｒｉｘ　ｏｆ　ｆｅａｓｉｂｌｅ　ｃｙｌｉｎｄｅｒ　ｓｕｒｆａｃｅ　ｉｎ　Ｃａｓｅ　２　根据母线和准线方程可以推知椭圆柱面的方程，　相应的曲面矩阵为　ＡＥｃ＝　ＴＧ　（１３）　第２期　古强等：适合传输三路数据流的最小距离ＭＩＭＯ预编码　１３９　步骤１根据曲面膨胀原则计算３种情况下所有　可行曲面及其曲面矩阵Ａ　；　二　］　步骤２给定信道矩阵日，根据式（１０）计算与　Ａｉ对应的最小欧氏距离ｄ　ｉ　情况３　ｒａｎｋ（Ａ）＝３，即　１，　２，入３＞０　步骤３在所有可行曲面中选择使ｄ　ｉ　．ｉ最大的　这是最一般的情况，此时　是一个中心位于原点　Ａ　，令其为Ａ。。ｔ；　的椭球面（ｅｌｌｉｐｓｏｉｄ，ＥＳ），如图４所示．其方程可以　步骤４对Ａ。ｐｔ进行特征值分解Ａ。ｐｔ＝　写成ａｌｌＷ２＋ａ２２ｗ２＋０３３叫３２＋２ａ１２ｗｌｗ２＋２ａ２３ｗ２ｗ３　Ｂ。ｐｔ　ｐｔＢ。ｐｔ，并根据式（７）计算预编码矩阵Ｆ０ｐｔ，　＋２ａ１３Ｗ１Ｗ３＝１，相应的曲面矩阵为　将其作为对应于信道矩阵日的最佳预编码矩阵．　算法的第１步与具体信道实现无关，因此可以视　０１１　ａｌ２　ａ１３　作离线计算，且在算法实现过程中该步骤只需执行一　ＡＥＳ＝　ａ１２　ａ２２　ａ２３　（１５）　次即可．由于该步骤计算过程并不复杂，因此对实际　通信系统而言，其计算复杂度可以忽略．步骤２＾一４中　ａ１３　ａ２３　ａ３３　主要的运算量在于完成一次ＳＶＤ分解和特征值分解，　显然，ＡＥＳ共有６个待定参数．满足曲面膨胀原则的　两者的复杂度相当，均为ｏ　ｆ　０），其中　为收发天线　可行椭球面恰好存在６对临界点．考虑到对称性，定　数的较小值．现有算法［７－１１］均依赖于穷尽搜索，其复　义Ｗ的子集ｗ＋＝｛　∈ｗｌｔＩ，　０｝，只需要在集合　杂度远高于Ｏ　ｆ　０１，相比而言，本文算法在运算复杂　Ｗ＋中搜索所有满足条件的临界点，并通过解线性方　度上具有显著优势．　程组得到可行的椭球面方程及曲面矩阵ＡＥｓ．需要说　对于给定的信道矩阵，不妨令　明的是，对于高阶调制（Ｍ＞４）来说可行椭球面并　ＡＨ＝ｄｉａｇ（ＡＨ，１，　Ｈ，２，　Ｈ，３）　不唯一，此时ＡＥｓ指代所有满足曲面膨胀原则的可　Ａ　＝行椭球面．　ｖ￣ｄｉａｇ（ｃｏｓ７ｌ，ｓｉｎ　１　ｃｏｓ　２，ｓｉｎ　１　ｓｉｎｖ２）（１６）　式中，Ｐ＝　１＋　２＋　１和　２的定义域保　，．证　Ｈ．１≥　Ｈ　２≥　Ｈ，３成立．显然，不同的信道实　现对应于不同的曲面矩阵和预编码矩阵，说明信道参　数影响算法的在线计算部分．图５和６分别显示了　４一ＱＡＭ和１６一ＱＡＭ调制下由信道参数决定的曲面矩　阵的选择区域．当　１较小时，算法选择ＡＰＰ来计算　预编码矩阵，对应于一对平行平面；当　１较大而　２　较小时，算法选择ＡＥｃ来计算预编码矩阵，对应于一　个椭圆柱面；除此之外，当３个虚拟子信道增益差别　较小时，算法选择ＡＥＳ来计算预编码矩阵，对应于一　图４　４－ＱＡＭ方式下情况３对应的可行曲面　个椭球面．　Ｆｉｇｕｒｅ　４　Ｆｅａｓｉｂｌｅ　ｑｕａｄｒｉｃ　ｓｕｒｆａｃｅ　ｆｏｒ　４一ＱＡＭ　ｉｎ　Ｃａｓｅ　３　２．３预编码算法　基于曲面膨胀的ＭＩＭＯ预编码算法包含两部　分．第１部分是离线计算，即利用曲面膨胀原则计　算出３种情况下所有可行曲面及其相应的曲面矩阵　Ａ　，ｉ＝１，２，…　，其中　表示最大可行曲面数目，本　文中针对４一ＱＡＭ和１６一ＱＡＭ两种情况可取为Ｔ＝３；　第２部分是在线计算，此时需要根据信道条件选使最　ｙｌ／ｒａｄ　小欧氏距离最大化的可行曲面及其对应的曲面矩阵　图５不同信道条件下４－ＱＡＭ对可行曲面的选择　Ａ。。　，并构造相应的预编码矩阵．算法的具体实现步　骤可以归纳为：　Ｆｉｇｕｒｅ　５　Ｃｈｏｉｃｅ　ｏｆ　ｆｅａｓｉｂｌｅ　ｑｕａｄｒｉｃ　ｓｕｒｆａｃｅ　ｏｆｒ　４－ＱＡＭ　１４０　应用科图６不同信道条件下１６一ＱＡＭ对曲面的选择　Ｆｉｇｕｒｅ　６　Ｃｈｏｉｃｅ　ｏｆ　ｆｅａｓｉｂｌｅ　ｑｕａｄｒｉｃ　ｓｕｒｆａｃｅ　ｆｏｒ　１６一ＱＡＭ　从图５和６还可以观察到，随着调制阶数的升　高，ＡＰＰ和ＡＥ　的可选择区域逐渐缩小．由于ＳＮＲ＿　ｌｉｋｅ　ｍａｘ—ｄ　ｉ　算法并不根据具体信道条件进行预编　码器设计，而是针对所有信道均选择ＡＰＰ方式，于是　可以推断出，当调制阶数升高时，ＳＮＲ－ｌｉｋｅ　ｍａｘ—ｄ　ｉ　算法的性能损失越来越大．与ＳＮＲ－ｌｉｋｅ　ｍａｘ—ｄ　ｉ　算　法不同，本文算法可以根据不同信道状况选择不同的　传输模式，有效地提高了接收信号的最小欧氏距离．　３仿真结果与分析　不失一般性，采用一个３×３的ＭＩＭＯ系统仿真　验证本文提出的算法性能，其中预编码器功率增益　Ｐ０＝３．实验１比较了４一ＯＡＭ调制下采用本文算法　与ＳＮＲ－ｌｉｋｅ　ｍａｘ—ｄｍｊ　算法接收信号的最小欧氏距离，　如图７所示．从图７中可以看到，当　较小时（即　ＡＰＰ区域），本文算法获得的最小欧氏距离略低于　ＳＮＲ－ｌｉｋｅ　ｍａｘ—ｄ　ｉ　算法，这是由于预编码矩阵被限　制为实矩阵而造成的；除此之外本文算法可以显著　增大接收信号的最小欧氏距离．正如第２节所述，与　ＳＮＲ－ｌｉｋｅ　ｍａｘ－ｄｉｎｉ　算法只选择一个虚拟子信道传输　信号不同，本文算法可以根据不同信道状况选择子信　道的传输模式，从而提高接收信号的最小欧氏距离．　实验２比较了本文算法和ＳＮＲ－ｌｉｋｅ　ｍａｘ－ｄｍｉ　算　法以及注水算法的误比特率（ｂｉｔ　ｅｒｒｏｒ　ｒａｔｅ，ＢＥＲ）性　能．令传输信道为瑞利衰落信道，采用最大似然接收　机，分别以４－ＱＡＭ和１６．ＱＡＭ两种方式作为输入信　号，各自完成１００次蒙特卡罗仿真，得到了各算法的　误比特率（ＢＥＲ）一平均信噪比（ＳＮＲ）性能曲线，如　图８和９所示．由仿真曲线可知，注水算法是一种　对角化预编码算法，它对系统的ＢＥＲ改善有限．因　此，不论采用４－ＱＡＭ还是１６一ＱＡＭ，ＢＥＲ性能均较　差；在４－ＱＡＭ输入情况下，ＳＮＲ－ｌｉｋｅ　ｍａｘ．ｄ　ｉ　算法　性能优于注水算法，然而在１６一ＱＡＭ输入情况下，性　学学报　第３ｌ卷　能损失严重，与前文的分析相吻合；相比而言，本文　算法在两种调制方式下均保持良好的性能，尤其是对　于４一ＱＡＭ调制来说，本文算法与ＳＮＲ－ｌｉｋｅ　ｍａｘ－ｄ　ｉ　算法相比大约有４　ｄＢ的性能增益．　综合而言，本文算法相对于ＳＮＲ－ｌｉｋｅ　ｍａｘ－ｄｉｎｉ　算法来说性能改善较大，且在线计算复杂度非常低，　适用于多数据流传输和高阶ＱＡＭ调制系统．此外，　图８和９的仿真结果验证了当接收端采用最大似然检　测时，接收信号的最小欧式距离可以形象地反映系统　的ＢＥＲ性能，该结论与文献ｌ７１相似．　０・４Ｏ　Ｏ．３５　Ｏ－３０　兰　。．１５　。・１。　………　………　………严－　…　ｔ　１．０　０‘０５０　１／ｒａｄ　图７　４－ＱＡＭ调制下接收信号最小欧氏距离对比　Ｆｉｇｕｒｅ　７　Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ　ｏｆ　ｎｆｉｎｉｍｕｍ　Ｅｕｃｌｉｄｅａｎ　ｄｉｓ—　ｔａｎｃｅ　ｆｏｒ　４－ＱＡＭ　１０。　ｌ０一　１０一　∞　１０一　１０一　１０一　２　４　６　ｌＵ　ｌ２　ｌ４　Ｉ６　ＳＮＲ，ｄＢ　图８　４－ＱＡＭ调制下本文算法与其他算法的ＢＥＲ性能曲　线对比　Ｆｉｇｕｒｅ　８　ＢＥＲ　ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ　ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ　ｍｅｔｈｏｄ　ａｎｄ　ｅｘｉｓｔｉｎｇ　ｍｅｔｈｏｄｓ　ｏｆｒ　４－ＱＡＭ　４　结　语　本文从几何角度出发，提出一种基于曲面膨胀的　最小距离ＭＩＭ０预编码器，可用于传输３路数据　流的情形．该方法将预编码矩阵的非凸优化求解过程　转化为离线计算和在线计算两步完成．离线计算部分　第２期　古强等：适合传输三路数据流的最小距离ＭＩＭＯ预编码　１４１　ｌ０。　１０一　１Ｏ一　蛊　１０一　１０一　ｌ０一　８　ｌ０　１２　１４　１６　１８　２０　２２　２４　ＳＮＲ／ｄＢ　图９　１６一ＱＡＭ调制下本文算法与其他算法的ＢＥＲ性能曲　线对比　Ｆｉｇｕｒｅ　９　ＢＥＲ　ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ　ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｐｒｏ－　ｐｏｓｅｄ　ｍｅｔｈｏｄ　ａｎｄ　ｅｘｉｓｔｉｎｇ　ｍｅｔｈｏｄｓ　ｆｏｒ　１６一　ＱＡＭ　遵循曲面膨胀准则搜索并存储所有可行二次曲面，该　步骤只需实施一次，与信道状态信息无关。在线计算　部分则根据具体信道条件和最小欧氏距离的闭式表达　选择特定的可行曲面，并据此设计预编码器，其计算　开销非常低．计算机仿真结果表明，相比于ＳＮＲ－ｌｉｋｅ　ｍａｘ—ｄ　ｉ　算法、注水算法等其他算法，本文提出的算　法可以显著改善系统的ＢＥＲ性能，且具有较低的在　线计算复杂度．　参考文献：　ＰＡＬＯＭＡＲ　Ｄ　Ｐ，ＪＩＡＮＧ　Ｙ．ＭＩＭＯ　ｔｒａｎｓｃｅｉｖｅｒ　ｄｅｓｉｇｎ　ｖｉａ　ｍａｊｏｒｉｚａｔｉｏｎ　ｔｈｅｏｒｙ【Ｊ１．Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎｓ　ａｎｄ　Ｔｒｅｎｄｓ　ｉｎ　Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ　ａｎｄ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｔｈｅｏｒｙ，２００６，　３（４）：３３１—５５１．　Ｉ２Ｉ　ＸＩＡＯ　Ｃ，ＺＨＥＮＧ　Ｙ　Ｒ，ＤＩＮＧ　Ｚ．Ｇｌｏｂａｌｌｙ　ｏｐｔｉｍａｌ　ｌｉｎ．　ｅａｒ　ｐｒｅｃｏｄｅｒｓ　ｏｆｒ　ｆｉｎｉｔｅ　ａｌｐｈａｂｅｔ　ｓｉｇｎａｌｓ　ｏｖｅｒ　ｃｏｍｐｌｅｘ　ｖｅｃｔｏｒ　Ｇａｕｓｓｉａｎ　ｃｈａｎｎｅｌｓ　ｌＪ１．ＩＥＥＥ　１　ａｎｓａｃｔｉｏｎｓ　ｏｎ　Ｓｉｇｎａｌ　Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２０１１，５９（７１：３３０１．３３１４．　１３Ｉ　ＳＡＭＰＡＴＨ　Ｈ，ＳＴＯＩＣＡ　Ｐ，ＰＡＵＬＲＡＪ　Ａ．Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　ｌｉｎ＿　ｅａｒ　ｐｒｅｃｏｄｅｒ　ａｎｄ　ｄｅｃｏｄｅｒ　ｄｅｓｉｇｎ　ｆｏｒ　ＭＩＭＯ　ｃｈａｎｎｅｌｓ　ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｗｅｉｇｈｔｅｄ　ＭＭＳＥ　ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ　ｌＪＩ．ＩＥＥＥ　１　ａｎｓ—　ａｃｔｉｏｎｓ　ｏｎ　Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ，２００１，４９（１２）：　２１９８—　２２０６．　Ｉ４ｌ武大伟，何晨，蒋铃鸽．鲁棒的基于几何均值分解的矢　量预编码算法『Ｊ１．上海交通大学学报：自然版，２０１１，　４５ｆ７１：１０４６—１０４９．　Ｗｕ　Ｄａｗｅｉ，ＨＥ　Ｃｈｅｎ，ＪＩＡＮＧ　Ｌｉｎｇｇｅ．Ｒｅｓｅａｒｃｈ　ｏｎ　ｒｏｂｕｓｔ　ＧＭＤ—ｂａｓｅｄ　ｖｅｃｔｏｒ　ｐｒｅｃｏｄｉｎｇ　ＩＪＩ．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｓｈａｎｇｈａｉ　Ｊｉａｏｔｏｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ：Ｓｃｉｅｎｃｅ，２０１　１，４５（７）：　１０４６—１０４９．ｆｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ１　ＪＩＡＮＧ　Ｙ，ＬＩ　Ｊ，ＨＡＧＥＲ　Ｗ　Ｗ．Ｊｏｉｎｔ　ｔｒａｎｓｃｅｉｖｅｒ　ｄｅｓｉｇｎ　ｆｏｒ　ＭＩＭＯ　ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ　ｕｓｉｎｇ　ｇｅｏｍｅｔｒｉｃ　ｍｅａｎ　ｄｅ　ｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ『Ｊ１．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ　ｏｎ　Ｓｉｇｎａｌ　Ｐｒｏ－　ｃｅｓｓｉｎｇ，２００５，５３（１０）：３７９１—３８０３．　【６ｌ高献坤，崔岩，傅洪亮．连续迭代优化ＳＬＮＲ准则的　下行多用户ＭＩＭＯ预编码【Ｊ】．应用科学学报，２０１１，　２９（３）：２５１—２５５．　ＧＡＯ　Ｘｉａｎｋｕｎ，Ｃｕｉ　Ｙａｎ，Ｆｕ　Ｈｏｎｇｌｉａｎｇ．Ｄｏｗｎｌｉｎｋ　ｐｒｅ・－ｃｏｄｉｎｇ　ｆｏｒ　ｍｕｌｔｉ・・ｕｓｅｒ　ＭＩＭＯ　ｓｙｓｔｅｍ　ｗｉｔｈ　ｓｕｃｃｅｓ　ｓｉｖｅ　ｉｔｅｒａｔｉｖｅ　ｏｐｔｉｍａｌ　ＳＬＮＲ　ｆＪ１．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，２０１１，２９（３）：２５１—２５５．（ｉｎ　Ｃｈｉｎｅｓｅ）　【７】ＣＯＬＬＩＮ　Ｌ，ＢＥＲＤＥＲ　Ｏ，ＲＯＳＴＡＩＮＧ　Ｐ，ＢＵＲＥＬ　Ｇ．Ｏｐ—　ｔｉｍａｌ　ｍｉｎｉｍｕｍ　ｄｉｓｔａｎｃｅ—ｂａｓｅｄ　ｐｒｅｃｏｄｅｒ　ｆｏｒ　ＭＩＭＯ　ｓｐａｔｉａｌ　ｍｕｌｔｉｐｌｅｘｉｎｇ　ｓｙｓｔｅｍｓ【Ｊ】＿ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ　ｏｎ　Ｓｉｇｎａｌ　Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２００４，５２：６１７－６２７．　Ｉ８】ＮＧＯ　Ｑ　Ｔ，ＢＥＲＤＥＲ　Ｏ，ＶＲＩＧＮＥＡＵ　Ｂ，ＳＥＮＴＩＥＹＳ　Ｏ．　Ｍｉｎｉｍｕｍ　ｄｉｓｔａｎｃｅ　ｂａｓｅｄ　ｐｒｅｃｏｄｅｒ　ｆｏｒ　ＭＩＭＯ—ＯＦＤＭ　ｓｙｓｔｅｍｓ　ｕｓｉｎｇ　ａ　１６一ＱＡＭ　ｍｏｄｕｌａｔｉｏｎ［Ｃｌ／／２００９　ＩＥＥＥ　Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ　Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ　ｏｎ　Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ，　Ｄｒｅｓｄｅｎ，２００９：１－５．　【９】ＶＲＩＧＮＥＡＵ　Ｂ，ＬＥＴＥＳＳＩＥＲ　Ｊ，ＲＯＳＴＡＩＮＧ　Ｐ，ＣＯＬＬＩＮ　Ｌ，　ＢＵＲＥＬ　Ｇ．Ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ＭＩＭＯ　ｐｒｅｃｏｄｅｒ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｍｉｎｉｍｕｍ　Ｅｕｃｌｉｄｅａｎ　ｄｉｓｔａｎｃｅ：ａ　ｃｒｏｓｓ—ｆｏｒｍ　ｍａｔｒｉｘ【Ｊ１．ＩＥＥＥ　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　ｅｌｅｃｔｅｄ　Ｔｏｐｉｃｓ　ｉｎ　Ｓｉｇｎａｌ　Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２００８，２（２）：１３５—１４６．　【１０１　ＳＲＩＮＡＴＨ　Ｋ　Ｐ，ＲＡＪＡＮ　Ｂ　Ｓ．Ａ　ｌｏｗ　ＭＬ—ｄｅｃｏｄｉｎｇ　ｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙ，ｆｕｌｌ－ｄｉｖｅｒｓｉｔｙ，ｆｕｌｌ—ｒａｔｅ　ＭＩＭＯ　ｐｒｅｃｏｄｅｒ　【Ｊ１．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ　ｏｎ　Ｓｉｇｎａｌ　Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２０１１，　５９（１１）：５４８５—５４９８．　【１１】ＮＧＯ　Ｑ　Ｔ，ＢＥＲＤＥＲ　０，ＳＣＡＬＡＲＴ　Ｐ．３－Ｄ　ｍｉｎｉｍｕｍ　Ｅｕｃｌｉｄｅａｎ　ｄｉｓｔａｎｃｅ　ｂａｓｅｄ　ｓｕｂ—ｏｐｔｉｍａｌ　ｐｒｅｃｏｄｅｒ　ｆｏｒ　ＭＩＭＯ　ｓｐａｔｉａｌ　ｍｕｌｔｉｐｌｅｘｉｎｇ　ｓｙｓｔｅｍｓ【Ｃ１／／２０１０　ＩＥＥＥ　Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ　Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ　ｏｎ　Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ，Ｃａｐｅ　Ｔｏｗｎ，２０１０：１－５．　１１２ｌ　ＲＵＳＥＫ　Ｆ，ＫＡＰＥＴＡＮＯＶＩＣ　Ｄ．Ｄｅｓｉｇｎ　ｏｆ　ｃｌｏｓｅ　ｔｏ　ｏｐｔｉ—　ｍａｌ　Ｅｕｃｌｉｄｅａｎ　ｄｉｓｔａｎｃｅ　ＭＩＭ０．ｐｒｅｃｏｄｅｒｓ『Ｃ１／／２００９　ＩＥＥＥ　Ｉｎｔｅｒｎａｔｉ０ｎａｌ　Ｓｙｍｐｏｓｉｕｍ　ｏｎ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｔｈｅ—　ｏｒｙ，Ｓｅｏｕｌ，２００９：１２６８—１２７２．　１　１３Ｉ　ＳＣＡＧＬＩＯＮＥ　Ａ，ＳＴＯＩＣＡ　Ｐ，ＢＡＲＢＡＲＯＳＳＡ　Ｓ，ＧＩＡＮ—　ＮＡＫＩＳ　Ｇ　Ｂ．ＳＡＭＰＡＴＨ　Ｈ．Ｏｐｔｉｍａｌ　ｄｅｓｉｇｎｓ　ｆｏｒ　ｓｐａｃｅ　ｔｉｍｅ　ｌｉｎｅａｒ　ｐｒｅｃｏｄｅｒｓ　ａｎｄ　ｄｅｃｏｄｅｒｓ　ＩＪ１．ＩＥＥＥ］　ａｎｓ．　ａｃｔｉｏｎｓ　ｏｎ　Ｓｉｇｎａ１　Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，２００２，５０（５）：１０５１—１０６４．　ｆ１４１　ＴＥＬＡＴＡＲ　Ｅ．Ｃａｐａｃｉｔｙ　ｏｆ　ｍｕｌｔｉ．ａｎｔｅｎｎａ　Ｇａｕｓｓｉａｎ　ｃｈａｎｎｅｌｓ　ｌＪＩ．Ｅｕｒｏｐｅａｎ　Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ　ｏｎ　Ｔｅｌｅｃｏｍｍｕ—　ｎｉｃａｔｉｏｎｓ，１９９９，１０（６）：５８５—５９５．　【１５】　ＰＡＹＡＲＯ　Ｍ．ＰＡＬＯＭＡＲ　Ｄ　Ｐ．Ｏｎ　ｏｐｔｉｍａｌ　ｐｒｅｃｏｄｉｎｇ　ｉｎ　ｌｉｎｅａｒ　ｖｅｃｔｏｒ　Ｇａｕｓｓｉａｎ　ｃｈａｎｎｅｌｓ　ｗｉｔｈ　ａｒｂｉｔｒａｒｙ　ｉｎ－　ｐｕｔ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ　ｌＣｌ／／２００９　ＩＥＥＥ　Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ　Ｓｙｍ—　ｐｏｓｉｕｍ　ｏｎ　Ｉｎｆｏｒｍａｉ　ｉｏｎ　Ｔｈｅｏｒｙ，Ｓｅｏｕｌ，２００９：１０８５—　１０８９　（编辑：秦巍）