阅读理解专题

编者：尹济南 内部资料，拒绝交流 考点一：换元法解一元二次方程、分式方程、含根号的方程、构建新方程

1、一元二次方程常用的解法有配方法、公式法和因式分解法，对于一些特殊方程可以通过换元法转化为一元二次方程求解．如解方程：y4-4y2+3=0． 解：令y2=x（x≥0），则原方程变为x2-4x+3=0，解得x1=1，x2=3． 当x1=1时，即y2=1，∴y1=1，y2=-1． 当x2=3，即y2=3，∴y3=3，y4=-3． 所以，原方程的解是y1=1，y2=-1，y3=3，y4=-3． 再如x2-2=4x2，可设y=

2. 解方程：(

3．(2012贵州黔西南州)问题：

已知方程x＋x－1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． y

解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以x=．

2yy2y

把x=代入已知方程，得()＋－1=0．

222化简，得：y＋2y－4=0． 故所求方程为y＋2y－4=0．

这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根

222

2x22，用同样的方法求解． 121)65() x1x1法”求新方程(要求：把所求方程化成一般形式)：

(1)已知方程x＋x－2=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数． (2)已知关于x的一元二次方程ax＋bx＋c=0(a≠0)有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．

考点二：解一元二次不等式、分式不等式 4、（2012年广东省湛江中考）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：

2

例题：解一元二次不等式x﹣4＞0

2

解：∵x﹣4=（x+2）（x﹣2） 2∴x﹣4＞0可化为 （x+2）（x﹣2）＞0

由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得

解不等式组①，得x＞2， 解不等式组②，得x＜﹣2， ∴（x+2）（x﹣2）＞0的解集为x＞2或x＜﹣2， 即一元二次不等式x﹣4＞0的解集为x＞2或x＜﹣2．

2

（1）一元二次不等式x﹣16＞0的解集为 ； （2）分式不等式

的解集为 ；

2

2

2

2

（3）解一元二次不等式2x﹣3x＜0．

考点三：根的判别式、根与系数的关系

5、若x1,x2是关于x的一元二次方程ax2bxc0(a0)的两个根，则方程的两个根x1,x2和b系数a,b,c有如下关系：x1x2,ax1x2c. 我们把它们称为根与系数关系定理. a如果设二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴的两个交点为A(x1,0),B(x2,0).利用根与系数关系定理我们又可以得到A、B两个交点间的距离为：

b24cb24acb24acABx1x2(x1x2)4x1x2(). aaa2a2请你参考以上定理和结论，解答下列问题:

设二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴的两个交点为A(x1,0),B(x2,0)，抛物线的顶点为C，显然ABC为等腰三角形.

（1）当ABC为等腰直角三角形时，求b24ac的值; （2）当ABC为等边三角形时，b24ac .

（3）设抛物线yx2kx1与x轴的两个交点为A、B，顶点为C，且ACB90,试问如何平移此抛物线，才能使ACB60？

考点四：数字、式子规律题

6、（2005，内江）阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题： 1+2+3+…+100＝？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+n2nn1，其中ｎ是正整数。现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…nn1＝？ 观察下面三个特殊的等式：

121123012 31 2312341233

341345234 3将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4＝134520

3读完这段材料，请你思考后回答： ⑴ 1223100101 ；

⑵ 123234nn1n2 ； ⑶ 123234nn1n2 ； （只需写出结果，不必写中间的过程）

7.阅读下面的文字，回答后面的问题。 求33332323100的值。

100解：令S3333234（1），将等式两边提示乘以3得到：

101 3S3333（2）

(2)(1)得到：2S31013

31013 ∴S

2问题（1）求2222100的值；

40（2）求4123643的值；

（3）如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第二个正方形AEGH，如此下去„„一直作图到第10个图形为止。已知正方形ABCD的边长为1，求所有的正方形的所有边长之和。

8．阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，

如：3＋22＝(1＋2)2，善于思考的小明进行了以下探索：

设a＋b2＝(m＋n2)2(其中a、b、m、n均为整数)，则有a＋b2＝m2＋2n2＋2mn2. ∴a＝m2＋2n2，b＝2mn.这样小明就找到了一种把部分a＋b2的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

(1)当a、b、m、n均为正整数时，若a＋b3＝(m＋n3)2，用含m、n的式子分别表示a、b，得a＝________，b＝________；

(2)利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n，填空：________＋________3＝(______＋______3)2；

(3)若a＋43＝(m＋n3)2，且a、m、n均为正整数，求a的值．

考点五：与高中数学结合题

20．观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．

在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，过A作

ADAD，sinC=，即AD=csinB，cbbcAD=bsinC，于是csinB=bsinC，即.同理有：sinBsinCcaab，， sinCsinAsinAsinBabc所以 sinAsinBsinCAD⊥BC于D(如图)，则sinB=

即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素.根据上述材料，完成下列各题.

（1）如图，△ABC中，∠B=45，∠C=75，BC=60，则∠A= ；AC= ； （2）如图，一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上，随后货轮以60海里／时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西75°的方向上(如图)，求此时货轮距灯塔A的距离AB.

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