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八年级数学寒假作业
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亲爱的同学们，当你们拿到这本寒假作业时，也许你感觉到了寒假将至的欣喜，也许你感觉到了任重道远的负担，但我觉得你应该感到的是柳暗花明的契机，你应该感到悬悬而望的期待。是的，这是一本老师们包含期待为了同学们能够收获自我的作业；这是一本让你在初二路上勇攀高峰的指南。20多天的寒假，他将陪你度过。有付出，来年必有收获。努力吧，同学们！
1．如图，在△ABC中AD为∠BAC的平分线，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC交AC的延长线于F．
A（1）求证：BE=CF；
（2）如果AB=6，AC=4，求AE，BE的长．
E GCB
F
D
2．在平面直角坐标系中，AB⊥x轴于B，AC⊥y轴于C，点C（0，m），A（n，m），且(m4)n8n16，过C点作∠ECF分别交线段AB、OB于E、F两点．若∠ECF=45°，证明OF+AE=EF．
3．把一张矩形ABCD纸片按如图方式折叠，使点A与点E重合，点C与点F重合（E、F两点均在BD上），折痕分别为BH、DG．
（1）求证：△BHE≌△DGF；
（2）若AB=6cm，BC=8cm，求线段FG的长．
1
22
4．(1)在图25－1中，已知∠MAN＝120°，AC平分∠MAN．∠ABC＝∠ADC＝90°，则能得如下两个结论：（13分）① DC = BC; ②AD+AB=AC. （1）请你证明结论②；
(2)在图25－2中，把（1）中的条件“∠ABC＝∠ADC＝90°”改为∠ABC＋∠ADC＝180°，其他条件不变，则(1)中的结论是否仍然成立？ 若成立，请给出证明;若不成立，请说明理由．
5．如图，已知等边△ABC，P在AC延长线上一点，以PA为边作等边△APE，EC延长线交BP于M，连接AM，求证：（1）BP=CE；（2）试证明：EM-PM=AM．
6．甲、乙两人两次同时在一家粮店购买大米，两次大米的价格分别为a元/千克和b元/千克（a≠b）． 甲每次买100千克大米，乙每次买100元大米． （1）用含a、b的代数式表示：甲两次购买大米共需付款 元，乙两次共购买 千克大
米．若甲两次购买大米的平均单价为Q1元/千克，乙两次购买大米的平均单价为Q2元/千克，则Q1= ，Q2= ．
（2）若规定谁两次购粮的平均价格低，谁购粮的方式就更合理，请你判断比较甲、乙两人的购粮方式，哪一个更合理，并说明你的理由．
2
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7．如图，点O是等边△ABC内一点，以OC为边向外作等边三角形△COD． （1）求证：OB=AD A（2）若∠AOB=110°， ① 求∠OAD的大小；
D② 当∠BOC等于多少度时，△OAD是等腰三角形？ O BC
8．如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠A=60°，CD是角平分线，在CB上截取CF=CA． （1）求证：DF=BF；
（2）若AE=BF，求∠CFE的度数； C E F ADB
9．已知A=(a3)(a2)，B=a2a8，C=3a11． （1）求出B-A的值，并比较当a1时，A与B的大小关系； （2）比较A与C的大小关系，并证明．
3
10．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，E是BC上的一点，连结AE，DE，
且AE=DE，∠AED=90°． （1）求证：△ABE≌△ECD；
（2）若△AED的面积是492，直角梯形ABCD的面积是812，求△ABE的周长； （3）若△AED的面积是m，直角梯形ABCD的面积是n，试判断n与2m的大小，并说明理由．
A D BEC
11．若△ABC三边a、b、c满足a2b2c2abbcca．试问△ABC的形状？
12．如图，△ACD是等边三角形，AE⊥CD于E，AB⊥AC，AC＝AB，AE、BD相交于O． （1）求∠ADB的度数； D （2）求证：BC=2OD． E O CA B
13．如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交AB于D，交AC于E，AO平分∠BAC
4
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交DE于O．
（1）若AC=12，△BCD周长等于22，求BC的长；
（2）若∠BAC=40°，在BC上存在一点P（P不与B、C重合），使得△BOP是等腰三角形，
求∠BPO的度数． A E D O B P C
14．已知：m2n2，n2m2（mn），求m32mnn3的值．
15．已知ABC中，A60，BD、CE分别平分ABC和.ACB，BD、CE交于点O，试判断
BE、CD、BC的数量关系，并加以证明．
A
EOD BC
16．在△ABC中，∠BCA=90°，∠ABC=30°，分别以AB，BC为边在的外侧作正△ABE与正△BCD，
DE与AB交于点F． （1）求证：EF=DF； E（2）求BF:AF．
FA
BC
5
17．已知x
18．已知：aa10，求a2a2013的值．
0
19． 在平面直角坐标系xoy中，有一等腰直角△ABC,∠ACB=90,AC=BC. （1）如图1，若OA=2，OC=4，BD⊥x轴，垂足为D，求点B的坐标； （2）如图2，若点A（0，2），点B（4，0），求点C的坐标．
y
O O x D x C B
图2 图1
20．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，4）． （1） 若点B的坐标为（5，0），求所有使得△OPB和△OAB全等的点P坐标；（直接写出答案） （2）如图1，若点B在x轴正半轴上，点C（1，-1），且AB=BC，AB⊥BC，求点B坐标；
（3）如图2，若点B在x轴负半轴上，AE⊥x轴于E，AF⊥y轴于F，∠BFM=45°，MF交直线AE于M．求证：OB+BM=AM．
y
yAF
A
6
23211112，求x22，x44和x的值．
xxxxy B C A A BOEx文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.jszybase.com
图2
图1
21．如图：在△ABC中，∠B，∠C相邻的外角的平分线交于点D．
10 求证：（1）∠D=90A；
2（2）点D在∠A的平分线上．
22．已知关于x的方程
DBAC2xa1的解为负数. x2222（1）求a的取值范围；
（2）若3xa3xa(xa)(xaxa)(xa)，求a的值．
23．如图，已知△ABC和△ACD都是边长为2的等边三角形，有一个60°角的三角板绕着点A旋转，分别交BC，
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22CD于点P，Q两点（不与端点重合）． （1） 试说明：△PAQ 是等边三角形； （2） 求四边形APCQ的面积；
（3） 填空：当BP= 时，SAPQ最小．
24．已知Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝8，BC＝10，将△ABC沿直线ED折叠，使点B与点C重合，点A落在点F处，如图所示． （1）求AB的长；
（2）求△ABC折叠后重叠部分（△CDE）的面积．
25．（1）若aab7m，bab9m．求ab的值．
22（2）若实数xy，且x2xy0，y2yx0，求xy的值．
22
26．学校原有一块长为a米，宽为b米（ab）的长方形场地，现因校园建设需要，将场地的长 减少了4米，宽增加了4米，结果使场地的面积增加平方米． （1）求ab的值；
（2）若原长方形场地的面积为2400平方米，求长方形场地的周长．
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27．如图，在等边△ABC中，AB=4，点P是AB上任意一点，过P作PE⊥BC于E；过E作EF⊥AC于F；过F作FQ⊥AB于Q．设BP=x，AQ=y，用含x的式子填空，并解答有关问题． （1） 根据题意可得，BE=又FC=111BP，∴BE=x，∴EC=4−x 2221EC, ∴FC= , ∴AF=4-FC= ． 21又AQ=AF, ∴AQ= ． 2∴y= ．(用含x的代数式表示) （2） 当AQ=1.2时，求BP的长度； （3）当BP的长度等于多少时，点P与点Q重合？
28．已知：ab2，(a1)(b2)ab． （1）求a的取值范围．
（ 2）若a2ab2ab2b53，求ab的值．
9
22
29．如图，点D是等边△ABC边AB上的一点，BD=2AD，DE⊥BC于点E，AE、CD相交于点F。 （1）求证：△ACD≌△BAE；
（2）请你过点C作CG⊥AE，垂足为点G，若CG=4， 求FG的长度。 A D F
B E C
30．△ABC中，射线AD平分∠BAC，AD交边BC于E点，∠BAC=∠BDC=90°，∠ABD为锐角，
DH⊥AB于H，AB=6，AC=2，求BH的值.
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31．甲、乙两车同时分别A、B两地开往C地，A、B两地得C地的路程分别为120千米和200千米，甲、乙两车到达目的地C的速度之比为k. （1）当k
4
时，且其中一辆车比另一辆车提前30分钟到达C地，求甲、乙两车的速度. 5
（3）若乙车速度为80千米∕时，且甲车比乙车提前不到半小时到达C地，求k的取值范围．
32．若P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC的费马点. （1）如图1，若点P为等边△ABC的费马点，且PA=2cm，则等边△ABC的高为 cm;
(2) 如图2，在锐角△ABC外侧作等边△ACB′，连接BB′．求证：BB′过△ABC的费马点P，且BB′=PA+PB+PC．（提示：在BB′上取点P，使∠BPC=120°）
图1 图2 11