由一道不等式证明题的一题多解引发的思考
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一由一道不等式证明题的一题多解引发的思考 黄紫敬 （华南师范大学数学与应用数学，广东广州 ５１０６３１） 摘 要：所谓一题多解指的是从不同角度、不同层面分 析思考同一个问题。探求同一问题的不同解法．在平时的学习 中注重一题多解的训练，通过比较不同解法确定最优解法，这 对学生在考试中有针对性地采取较方便的方法解题是非常有 帮助的．本文以一道不等式证明题为例，说明一题多解在解题 中的应用． 关键词：一题多解不等式证明 解题 横看成岭侧成峰，同一道数学问题，由于分析角度不同， 会产生不同解法．一题多解的目的，不是单纯地解题，而是为 了让学生打破常规方法进行思维，进而提高学生的创新能力． 学生在探求一题多解的过程中，有时会发现一些“别出心裁” 的解题方法．给人“耳目一新”的感觉． 下面笔者以一道不等式证明题为例。通过不同角度探求 同一问题的不同解法． 例１：已知正数ｘ、ｙ，满足ｘ ｙ：１，求证：（ｘ＋一Ｉ）（ｙ＋ ） Ｘ Ｙ ≥箜． ４ 解法一：常规法 令【＝ ’自于ｘｙ≤（半）。＝｛，即ｏ＜ｔ≤｛． 则（ｘ＋ ）（ｙ＋ ）：ｘｙ十一（ｘ＋Ｙ）ｚ－２ｘｙ＋ ： ｙ＋ －２＝ｔ＋三一 ｘ Ｙ ｘｙ ｘｙ ｘｙ ｔ ２＝ｆ（ｔ）． 贝ｌＪｆ，（Ｉ）＝１一 ＝ ＜０在（ｏ， １＿一Ｅ／ｆ＿ｆ＿￣７ｒ，肿（ｆ）在（０， ｔ ｔ ’ ÷］上递减． 所 １）ｍ ｛）：莩，故命题得证． 解法二：消元法 ．．＿ｘ＋ｙ：ｌ ．ｙ：１一ｘ（０＜ｘ＜１），ｍｙ＝１一ｘ代入（ｘ＋ ）（ｙ＋ ）得 ｘ Ｙ ｆ（ｘ ｘ＋ Ｘ）（ｙ＋÷ （Ｖ １＿ｘ）＋ ＋ｌ—Ｘ Ｘ＋一Ｘ ｌ—ｘ， ＿２ｘ 击（ ‘ｌ－ｘ）一 Ｘ 赫‘ Ｘ ｌ（ －ｘ） ‘ （２ｘ＿１）［（ｘ 一÷） ＋ ］ ｘ （１一ｘ） ・‘．在（ｏ， ）上ｆ，（ｘ）＜ｏ，在（吉，１）上ｆ，（ｘ）＞０， 即ｆ（ｘ）在（ｏ， ）上递减，ｆ（ｘ）在（ １，１）上递增． ’．．ｆ（ｘ）在 ２处取得最小值ｆ（÷）＝等，即（ｘ＋÷）（ｙ＋÷）≥ ‘ ・‘ｘ十ｙ＝ｌ，令ｘ：一 ．＋。，ｙ＝ １一．ｏ（一 １＜ｅ＜÷）， 则（ ＋ ）（ ＋ ）： 兰±！ ± ！：ｏ＇＋３ ｏ￣＋２５则（ｘ＋ 一）（ｙ＋— ）＝ １鱼≥ ≥ ＸＹｘｙ １ 凸 １詈０ ４： ． 当且仅当ｏ＝０，即ｘ＝ｙ＝÷时，取等号． ［２］赵伟伟．运用“一题多解、多变”培养学生发散性思维