一道不等式高考题引发的变式和推广

4 教学建议

从2016年起教育部考试中心经过“调布局、克难点”、修订“考试大纲”，将“立德树人、服务选拔、导向教学”作为高考的核心立场与基本功能，由此设计和制定了能够充分体现这一核心立场的“一体四层四翼”高考评价体系，并全面对接基于核心素养培养的普通高中课程标准和高考综合改革．在高考试卷上强化对核心知识、关键能力的考查，强化学科核心素养的渗透，强化应用意识，突出创新能力，试题不断推陈出新．作为一线教师应认真研究课程标准、考试大纲和近年来的高考试题，充分利用高考试题的典型性、导向性组织课堂教学，从知识、规律、思想、方法等方面引导学生分析研究高考试题，通

过一题多解、一题多变，不断创设新颖的问题情境，构造一个个有一定深度和广度的数学问题，围绕必备知识、关键能力、学科素养、核心价值，从认知水平和能力水平等各层面上精准解决学生学习过程中的疑点和难点，有效培养学生的核心素养．

5 结束语

高考试题是教师教学以及学生学习的经典素材，教师在日常教学工作中，应加强对高考试题的研究与思考，探索试题背后的内在本质，借鉴试题命制的手法，对试题进行变式和拓展延伸，积极尝试设计一些新试题，这样做一是能够准确评价学生在数学学习中的发展状况、实际水平，二是能够根据学生实际情况，因材施教，最终达到提高课堂教学实效、提升学生数学核心素养的目的．

一道不等式高考题引发的变式和推广

阮 征 韩 翔

合肥师范学院数学与统计学院（230601）

11不等式证明是高中数学的一个难点，也一直是

=(x+y)(1−)+−xy

xyxy高考数学的常考题型，它主要考查学生对于不等式的变形能力、逻辑思维能力以及分析问题并解决问

题的能力，而且一道不等式题就可能有多重变式和推广，证明过程的方法也是灵活多样的，实现了“小题目，大作为”．本文就安徽省2011年的一道不等式高考题提出变式和推广，并给出了相应的证明方法．

1 原题再现

（2011年高考安徽省·理19）（Ⅰ）设x，

111

y1，证明x+y+≤++xy；

xyxy

（Ⅱ）设1=

1

[(x+y)(xy−1)−(x2y2−1)] xy

1(xy−1)(x+y−xy−1)≤0， xy所以x+y+

111

≤++xy． xyxy

这里（Ⅰ）运用作差证法和恒等变形，而（Ⅱ）应用作差、换底公式、通分、分解因式使不等式得到证明．

证明 （Ⅰ）由x，y1，

得(x−1)(y−1)0，

所以x+y−xy−1≤0，xy−1…①，

111于是(x+y+)−(++xy)

xyxy（Ⅱ）(logab+logbc+logca)−(logba+logcb+logac)

lnblnclnalnalnblnc=(++)−(++) lnalnblnclnblnclna(ln2alnb+ln2blnc+ln2clna)−(lnaln2b+lnbln2c+lncln2a)② =lnalnblnc(lna−lnb)(lnb−lnc)(lnc−lna)=−③，

lnalnblnc因为10，

∴(lna−lnb)(lnb−lnc)(lnc−lna)≥0，

∴(logab+logbc+logca)−(logba+logcb+logac)≤0，

从而logab+logbc+logca≤logba+logcb+logac． 其实，在（Ⅱ）的证明中，从②到③的变形对学生来说是存在一定困难的．那么我们是否可以令

10 福建中学数学 2019年第1期 x=lna，y=lnb，z=lnc，从证明②的分子小于或

xyzxyz

证明 先证明()n+()n+()≥++，

yzxyzx

等于零便可引发这道题的变式．

2 变式和推广

变式1 已知0由于算术-几何平均值不等式， 1xyz

得(++)≥1． 3yzx

运用幂平均不等式和指数函数的性质得： 1xnyz1xyz[()+()n+()n]≥[(++)]n 3y3yzxzx1xyz≥(++)， 3yzx

xyzxyz所以()n+()n+()n≥++，

yzxyzx

这里需作差后分解因式，可应用“主元法”，就是

以x为“主元”变形，证明过程如下：

证明 (x2y+y2z+z2x)−(xy2+yz2+zx2)

=(y−z)x2+(z2−y2)x+(y2z−yz2) =(y−z)[x2−(y+z)x+yz] =(y−z)(x−y)(x−z)，

由于0所以判断代数式值的正负性， (y−z)(x−y)(x−z)≤0，

即xy+yz+zx≤xy+yz+zx．

2

2

2

2

2

2

再结合变式2中的不等式

xyzyzx

++++，

yzxxyz

xyzyzx得()n+()n+()n≥++．

yzxxyz

1，就可xyz如果变式1中不等式的两边同时乘以以得到这道题另一个变式．

xyzy

变式2 已知0yzxx

zx+． yz

应用类似的证明方法，还可以得到如下进一步的推广2：

推广2 已知0xyzyzxn，求证：()m+()m+()m≥()n+()n+()n．

yzxxyz同样地，可以得到推广2的如下变式3，这是原

题（Ⅱ）的指数推广：

变式3 设1自然地，对变式2中指数的研究就能得到如下

相应的推广1．

推广1 已知0对推广2和变式3的证明，就留给读者去思考．

2018年高考数学全国Ⅲ卷理科题20（Ⅱ）的推广

何佳佩 凌 源 刘成龙

四川省内江师范学院数学与信息科学学院（1100）

1 试题及简评

试题 （2018年高考全国Ⅲ卷·理20）已知斜

x2y2率为k的直线l与椭圆C:1交于A，线B两点．

43段AB的中点为M(1，m)(m0)．

（Ⅰ）略；

（Ⅱ）设F为C的右焦点，P为C上一点，且FPFAFB0．证明：|FA|，|FP|，|FB|成等差数

列，并求该数列的公差．

简评 题20以椭圆中点弦为背景、以三角形重心为载体，着重考查学生的运算能力和推理能力．题20有如下亮点：

（1）形式简洁，学生能轻松理解题意；

（2）内涵丰富，考查了中点弦、重心的向量表达式、等差数列、向量运算等高中主干知识；