积分学(教案)

在微分学中，我们讨论了求已知函数导数（或微分）的问题，这一章将讨论与其相反的问题，即已知一个函数的导数（或微分），求出此函数．这种由某函数的导数（或微分）求原来的函数的问题是积分学的一个基本问题 不定积分．

本章主要内容：

１． 不定积分的概念和性质． ２． 不定积分计算．

4.1 不定积分的概念

学时：2学时。 目地要求：

理解不定积分的概念，掌握不定积分的性质． 重点：不定积分的概念和性质． 难点：不定积分的性质．

4.1.1 原函数

微分学中研究的一个基本问题是：求一个已知函数的导数．在实际问题中还常常会遇到相反的问题，即已知函数的导数，要求原来的函数，这就形成了“原函数”的概念．

定义4.1 设函数F(x)与f(x)在区间D上都有定义，并且对区间D上的任一点x都有

F(x)f(x)或dF(x)f(x)dx， 则称F(x)为f(x)在区间D上的一个原函数．

121gt)gt (t[0, T])，所以gt2是gt在[0, T]上的一个原函数； 22131322因为(x)x (x(, ))，所以x是x在(, )上的一个原函数；

331313131132222又因为(x1)x，(x2)x，(x)x，……，(xC)x

333231313131132（C为任意常数），所以x1、x2、x、……，xC等，都是x的

33323例如：因为(原函数．

从上面可以看出：如果某函数有一个原函数，那么它就有无限多个原函数，并且其中任意两个原函数之间只差一个常数．因此，对一般情况，有下面的定理．

定理 (原函数族定理）4.1 如果函数f(x)在区间D上有一个原函数F(x)，则

92 第4章 不定积分

(1) F(x)C也是f(x)在区间D上的一个原函数，其中C为任意常数； (2) f(x)的任意两个原函数之间，只可能相差一个常数． 证明 (1) 因为(F(x))f(x) (xD)，所以

(F(x)C)(F(x))f(x) (C为任意常数)．

(2) 设F(x)和G(x)都是f(x)在区间D上的原函数，则有

(F(x)G(x))F(x)G(x)f(x)f(x)0，

根据拉格朗日 (Lagrange)中值定理的推论1，知

F(x)G(x)C (C为一个常数)．

这个定理表明，如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么F(x)C就是f(x)的全部原函数（称为原函数族），其中C为任意常数．

那么，在什么条件下，一个函数的原函数存在呢？

定理(原函数存在定理)4.2 如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，则函数f(x)在该区间上的原函数必定存在(证明从略)．

4.1.2 不定积分

定义4.2 函数f(x)在区间D上的全体原函数称为f(x)在D上的不定积分，记作

f(x)dx． (1)

其中称“

”为积分号，f(x)为被积函数，f(x)dx为被积表达式，x为积分变量．

由定义4.2可知，不定积分与原函数是总体与个体的关系，即若F(x)为f(x)在区间D上的一个原函数，则f(x)在D上的不定积分是原函数族F(x)C，其中C为任意常数．所以，通常写作

f(x)dxF(x)C． (2)

这时，又称C为积分常数，它可取一切实数值．

例1 求sinxdx． 解 由于

(cosx)sinx，

所以cosx是sinx的一个原函数．因此

sinxdxcosxC．

例2 求3x2dx．

解 由于

(x3)3x2，

所以x是3x的一个原函数．因此

233xdxxC． 32例３ 求

11x2dx．

解 由于

第4章 不定积分 93

(arctanx)所以arctanx是

1， 21x1的一个原函数，因此 21x11x2dxarctanxC．

不定积分的几何意义：若F(x)是f(x)的一个原函数，则称yF(x)的图象为f(x)的一条积分曲线．于是，函数f(x)的不定积分在几何上表示f(x)的某一条积分曲线沿纵

轴方向任意平移所得一切积分曲线组成的曲线族．显然，若在每一条积分曲线上横坐标相同的点处作切线，则这些切线都是互相平行的(如图4-1)．

y yF(x)C

yF(x)

O 图4-1

x x

4.1.3 不定积分的性质

性质1 (f(x)dx)f(x)或df(x)dxf(x)dx． (4-1) 即不定积分的导数(或微分)等于被积函数(或被积表达式)． 事实上，由(2)式，得

(f(x)dx)(F(x)C)f(x)．

性质2 F(x)dxF(x)C或dF(x)F(x)C． (4-2) 即函数F(x)的导数(或微分)的不定积分等于原函数族F(x)C． 事实上，已知F(x)是函数F(x)的原函数，则

F(x)dxF(x)C．

例如：(sinxdx)sinx；(edx)e；dsinxsinxC；dexxxexC．

因此，“求不定积分”和“求导数”或“求微分”互为逆运算．为了简便，不定积分也简称为积分，求不定积分的运算和方法分别称为积分运算和积分法．

课堂练习：

94 第4章 不定积分

1．判断下列各式的正确性： (1) (3)

34xdxxC；

(2) (4)

xdx12x； 21xdxlnxC，(x0)； 11(5) 2dxC；

xx2．求下列各式的结果： (1)

1xdxln(x)C，(x0)；

1(6) cos(2x3)dxsin(2x3)C．

2(2) d(4)

(xtanx)dx； 1dx； x(3) ((sinxcosx)dx)；

xd(earcsinx)．

3．已知某曲线上任意一点(x,y)处切线的斜率为2x，且曲线过点M(0,1)，求此曲线

的方程．

4．设物体的运动速度为v3tcost，当tπ时，物体经过的路程为s10，求物体的运动规律．

24.2 积分的基本公式和法则

学时：2学时。 目地要求：

熟记积分基本公式，理解不定积分的基本运算法则，并能利用其计算函数的不定积分． 重点：积分基本公式和基本运算法则的运用． 难点：积分基本公式和基本运算法则的运用．

4.2.1 积分基本公式

由于积分运算是导数(或微分)运算的逆运算，因此，可以从导数的基本公式得出相应的积分基本公式，现把它们列表对照，如表4-1．

表4-1

序号 F(x)f(x) f(x)dxF(x)C 1 (x)1 dxxC x1xdx1C (1) 2 x1x 1

第4章 不定积分 95

3 (lnx)1 x1xdxlnxC ((x0) axadxlnaC (a0,a1) x4 axxa lna(ex)ex 5 edxexxC 6 (sinx)cosx cosxdxsinxC sinxdxcosxC 2secxdxtanxC 7 (cosx)sinx 8 (tanx)sec2x (cotx)csc2x 9 2cscxdxcotxC 10 (secx)secxtanx (cscx)cscxcotx (arcsinx)11x2secxtanxdxsecxC cscxcotxdxcscxC 11x211 12 dxarcsinxC 13 (arctanx)1 21x11x2dxarctanxC 这些积分的基本公式，读者应该牢牢记住．因为许多不定积分最后往往归为求这些初等函数的不定积分．

例1 求下列不定积分：

1x(2) xxdx； (3) 2dx． x2dx；

1x2112CC． 解 (1) 2dxxdxx21x(1)

96 第4章 不定积分

x25Cx2C． (2) xxdx=xdx35121x(3) 2xdx=2C．

ln2323124.2.2 积分的基本运算法则

法则1 若函数f(x)在区间D上的原函数存在，k为不等于零的实数，则函数kf(x)在区间D上的原函数也存在，且

kf(x)dxkf(x)dx (k0)． (4-3)

请读者自己证明．

法则2 若函数f(x)和g(x)在区间D上的原函数都存在，则f(x)g(x)在区间D上的原函数也存在，且

证明 将(4-4)右端对x求导，得

[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx． (4-4)

(f(x)dxg(x)dx)(f(x)dx)(g(x)dx)f(x)g(x)．

这说明

这个法则可推广到有限多个函数的情形，即n个函数代数和的不定积分等于这n个函数不定积分的代数和．

例2 求下列不定积分：

(1) (2esecx3x)dx；

f(x)dxg(x)dx是f(x)g(x)的不定积分，从而(4-4)式成立．

2xx22(2) (5sinx3x3x)dx．

解 (1) (2esecx3x)dx2edxsecxdx3xdxx222xx222xdx

12exdxtanxx32dx

x2extanxx32lnxC．

(2) (5sinx3x3x)dx5sinxdx3dxxdx

1x343x3C． 5cosxln34x134.2.3 直接积分法

在求积分问题中，直接应用积分基本公式和基本运算法则，或对被积函数经过适当的恒等变形，再利用积分的基本运算法则和基本公式求出结果，这样的积分方法叫做直接积分法．

第4章 不定积分 97

(x1)3dx． 例3 求2x(x1)3x33x23x111dx()dxxdx3dx3dx解 xx2dx x2x211x23x3lnxC． 2xx2dx． 例4 求1x2x21x211dxdx(1解 1x21x2)dx 1x21dxdxxarctanxC．

1x22x21dx． 例5 求2x(1x2)2x21x21x211dxdx(解 2x2(1x2)x21x2)dx x(1x2)1arctanxC．

x在进行不定积分计算时，有时需要把被积函数做适当的变形，再利用基本公式及不定积分的性质进行积分.

dxsin2xcos2x． dxsin2xcos2x11dx解 dx 22sin2xcos2xsin2xcos2xcosxsinx例6 求

sec2xdxcsc2xdx=tanxcotxC．

x2dx．

1cosx12x解 cosdxdx(dxcosxdx)1(xsinx)C．

2222exxx例8 求e(3)dx．

21xex1xx解 e(3)dx(3e)xdxdx

221x1x3xex1xarcsinxC． (3e)arcsinxCln31ln(3e)例7 求cos21cos2xdx． 例9 求1cos2x

98 第4章 不定积分

1cos2x1111cos2xdxdxdxdx 解 222cosx2cosx21cos2x1111sec2xdxxtanxxC． 2222课堂练习：

１．求下列不定积分： (1)

1x3dx；

(2)

(3) (ex5x)dx；

x12(4) (x)dx；

x(6) (3xx3)dx；

x12dx；

x2xx3(5) dx；

x(7) tan2xdx；

(9)

sin2xsinxdx；

(11) secx(secxtanx)dx；

x4dx； (13) 21xx4dx； (15) x2(17)

x2dx； cos2x(10) dx； 2sinxxx(12) (cossin)dx；

22x41dx； (14) 21x(x1)2dx； (16) x(x21)(8) sin2dx1cos2x；

(18) (1x1x)dx． 1x1x4.3 换元积分法

学时：2学时。

目地要求：

１. 理解并能熟练运用第一换元积分法计算不定积分 ２. 了解第二类换元积分法．

重点：第一换元积分法计算不定积分． 难点：第二类换元积分法的运用．

利用不定积分的直接积分法所能计算的积分是十分有限的，因此，有必要进一步研究

第4章 不定积分 99

不定积分的求法．最常用的积分方法是换元积分法，简称换元法.

换元积分法就是通过适当的变量替换，使所求积分在新变量下具有积分基本公式的形式或用直接积分法求解．

4.3.1 第一换元积分法(凑微分法)

例1 求cos2xdx．

分析 因为被积函数cos2x是一个复合函数，基本积分公式中没有这样的公式，所以不能直接应用公式

cosxdxsinxC．

解 因为函数f(x)sin2x是由f(u)sinu和u2x复合成的，所以

凑微分11cos2x2dxcos2xd(2x) 22令2xu11cosudusinuC 22回代u2x1sin2xC． 2例1的解法特点是引入新变量u2x，从而将原积分化为积分变量为u的积分，再用

cos2xdx积分基本公式求解．

定理4.3 如果

f(u)duF(u)C，且u(x)可导时，则有

f[(x)](x)dxF[(x)]C．

[F((x))C][F((x))]u(x)证明 根据不定积分的定义，只需证明上式右端的导数等于左端的被积函数.由复合函数的求导法及F(u)f(u)，得

F(u)ux

F(u)(x)f[(x)](x)．

所以

此结论表明：在基本积分公式表中，积分变量x换成任一可导函数u(x)时，公式

仍成立，这就扩大了基本积分公式的使用范围．

一般地，若不定积分的被积表达式能写成

f[(x)](x)dxF[(x)]C．

f[(x)](x)dxf[(x)]d(x)

的形式，如果令(x)u后，积分f(u)du容易求出，那么可以按下述方法计算积分：

f[(x)](x)dx凑微分f[(x)]d(x)

f(u)duF(u)C

令(x)u

100 第4章 不定积分

回代u(x)F[(x)]C． (4-5)

这种积分方法称为第一换元积分法，也称为凑微分法． 例2 求(2x1)10dx．

解 因为dx1d(2x1)，所以 2令2x1u111010(2x1)dx(2x1)d(2x1)u10du 22回代u2x11111uC(2x1)11C． 2222例3 求sin3xdx． 解 因为d(3x)3dx，所以

令3xu11sin3xd(3x)sinudu 33回代u3x11cosuCcos3xC．

33x21例4 求xedx．

sin3xdx1d(x21)，所以 221x212x21令x1u1eudu xedxed(x1)222112euC令ux1ex1C． 22lnx例5 求dx，(x0)．

x1解 因为dxd(lnx)，所以 x令lnxulnx12dxlnxd(lnx)uduuC x2回代ulnx1ln2x＋C． 2解 因为xdx利用凑微分法求不定积分需要一定的技巧，而且往往要作多次试探，初学者不要怕失败，应注意总结规律性的技巧，当运算熟练以后，变量代换(x)u和回代这两个步骤，可省略不写．直接按

f[(x)](x)dxf[(x)]d(x)F[(x)]C

得出结果．

例6 求tanxdx．



第4章 不定积分 101

解 tanxdx类似地，可得

sinx1dxcosxcosxd(cosx)lncosxC．

cotxdxlnsinxC．

例7 求secxdx．

secx(secxtanx)sec2xsecxtanx解 secxdxdxdx

secxtanxsecxtanxd(secxtanx)lnsecxtanxC．

secxtanx类似地，可得

cscxdxlncscxcotxC．

dxx2a2 (a0)． dx1111d(xa)d(xa)解 2()dx() 2xa2axaxa2axaxa1xa1lnC． (lnxalnxa)C2axa2adx例9 求 (a0)．

22axxd()dxdxxaarcsinC． 解 axxa2x2a1()21()2aa例8 求类似地，可得

dx1xarctanC (a0)． x2a2aa例10 求cos2xdx．

解 cosxdx类似地，可得

21cos2x11dxdxcos2xdx1x1sin2xC． 224222sinxdx11xsin2xC． 244.3.2 第二换元积分法

在第一类换元积分法中，是用新变量u替换被积函数中的可微函数(x)，从而使不定积分容易计算．但对于某些被积函数，例如积分

a2x2dx，则不能解决问题．若引入

102 第4章 不定积分

新变量t，将积分变量x表示为一个连续函数xasint，则可以简化积分计算，从而求出结果(见例13)，这种求积分的方法就是第二换元积分法．

一般地，如果

当这种形式的积分容易计算时，只要将积分结果中的t换回到x，便可得到所要求的不定积f(x)dx不易计算，可设x(t)，将f(x)dx化为

f[(t)](t)dt．

分．这一积分方法称为第二换元积分法，其步骤如下：

f(x)dx令x(t)f[(t)](t)dt

F(t)C

回代t1(x)F[1(x)]C． 使用第二换元积分法时应注意：

(1) 函数x(t)有连续导数，且(t)0； (2) 函数x(t)存在反函数t1(x)．

例11 求

dx1x1．

解 令x1t，即xt21 (t0)，于是dx2tdt，所以

dx2t11x11tdt2t11tdt

2[dt11tdt]2[tln(1t)]C

回代tx12[x1ln(1x1)]C．

例12 求

13xxdx．

解 令6xt, 则xt6，xt3, 3xt2, dx6t5dt，于是

313xxdx6t5tt3t2dt6t1dt

[(t2t1)1t1]dt

6(13t312t2tln|t1|)C

2x33x66x6ln(6x1)C．

例13 求

a2x2dx (a0)．

解 令xasint，设t22，则

a2x2a2a2sin2tacos2tacost，

(4-6)

第4章 不定积分 103

dxacostdt，

代入原积分式，得

22a2x2dxa2cos2tdta2cos2tdtatasintcostC．

22又因为xasint，（t），所以

22tarcsinx，cost1sin2ta于是所求的积分为

a2x2， a例14 求

a2xx2axdxarcsinax2C．

2a2222dxxa2 (a0)．

解 令xatant，设t，则

22x2a2a2tan2ta2asec2tasect，

dxasec2tdt，

代入原积分式，得

asec2tdtsectdtlnsecttantC1． 22asectxadx又因为xatant，（t），所以

22xsect1tant1()2a2x2a2， a于是所求的积分为

dxx2a2lnx2a2xC1lnaax2a2xC，

其中CC1lna．

类似地，可得

dxx2a2ln｜x2a2x｜C，(a0)．

现将本节讲过的一些例子的结论作为补充积分公式列表如下（表4-1续），以后可直接

引用．

表4-1 续 14 tanxdxlncosxC

104 第4章 不定积分

15 cotxdxlnsinxC 16 secxdxlnsecxtanxC cscxdxlncscxcotxC dxa2x2arcsinxC (a0) a17 18 19 dx1xarctanC (a0) x2a2aadx1xalnx2a22axaC(a0) 20 21 a2xx2axdxarcsinax2C (a0) 2a22222 dxx2a2ln|x2a2x|C (a0) 课堂练习：

1．填空:

(1) dx( )d(23x)； (2) xdx( )d(x1)；

2(3) xdx ( )d(12x)；

32(4) 1dx( )d(x)； x2x22dx( )d(e2x)； 22(6) xsin(x1)dx( )dcos(x1)；

1(7) dx( )d(35lnx)；

x12(8) secxdx( )d(tanx)；

2(9) cscxcotxdx( )d(13cscx)；

(5) xe

第4章 不定积分 105

1 dx( )d(arctan3x)；219x1dx( )d(3arcsin2x)；(11) 214x12(12) (x)dx ( )d(xx3)．

(10)

22．求下列不定积分： （1）sinx2dx；

（3）(x5)192dx； （5）ln(x1)x1dx； （7）exdx；

1e2x（9）cosxsin3xdx； (11) tanxxdx；

(13) dxx24x5；

(15)

dx x1ln2；x3．求下列不定积分：

(1)

1x11xdx； (3) dxex1；

(5) dxx2a2(a0)；

(7) dxx1x；

4.4 分部积分法

学时：2学时。

（2）e2xdx；

（4）

11x2dx；

（6）cotxdx；

（8）

x3x29dx； (10) 1tanxcos2xdx； (12) 2x1x2x3dx；

(14) sin2xdx；

(16)

1x

94x2dx．(2)

dxx3x； （4） dx1ex； (6) dx；

x24x2(8)

x29x2dx．

106 第4章 不定积分

目地要求：

理解并能熟练运用分部积分法计算不定积分 重点：分部积分法的运用． 难点：分部积分法的运用．

换元积分法虽然解决了许多函数的不定积分问题，但仍然有一部分函数的不定积分，例如对于形如xexdx、excosxdx、lnxdx、arcsinxdx等，不能用换元积分法解决.

为此，本节将在两个函数乘积的微分法则的基础上，推得另一种求积分的基本方法 分部积分法．

设函数uu(x)及vv(x)在区间D上具有连续导数，根据乘积的微分法则，有

d(uv)udvvdu，

移项，得

udvd(uv)vdu，

两边求不定积分，得

udvuvvdu． （4-7）

公式（4-7）叫做分部积分公式．利用分部积分公式求积分的方法叫做分部积分法．

这个公式的作用在于：如果右端的积分vdu较左端的积分udv容易求得，那么利用这个公式就可以起到化难为易的作用．

例1 求xexdx．

xx解 选取ux，dvedxd(e)，则

vex，dudx，

所以

xxxxxxxeeC． xedxxd(e)xeedxx2在例1中，如果选取ue，dvxdxd()，即

22xx，duedx， v2x由公式（4-7），得

x212xx212x12xxxedxed()xed(e)xexedx． 22222显然，右端的积分x2exdx比xexdx更复杂，这样选取u和dv是不恰当的．

xx所以，在应用分部积分公式时，恰当地选取u和dv是一个关键．一般地，选取u和dv的原则是：

(1) v要容易求得；

(2) vdu要比udv容易求出． 例2 求xcosxdx．

解 选取ux，dvcosxdxd(sinx)，即

vsinx，dudx，

第4章 不定积分 107

所以

xcosxdxxd(sinx)xsinxsinxdxxsinxcosxC．

对分部积分法熟练后，计算时u和dv可不必写出． 例3 求x2exdx．

解

xedxxd(e)xeed(x)

xe2xedxxe2xde xe2xe2edxxe2xe2xx2xx2xxx2x2x2x2xx2x2exC．

从上面的几个例子可以看出，如果被积函数是幂函数与指数函数或正（余）弦函数的乘积，那么就可以考虑用分部积分法，并选幂函数作为u．

例4 求xlnxdx．

x2x2x2lnxd(lnx) 解 xlnxdx=lnxd()222x21lnxxdx1x2lnx1x2C．

2422例5 求lnxdx．

lnxdxxlnxxd(lnx)xlnxdxxlnxxC． 例6 求xarctanxdx．

解

x2x21x2arctanxdx 解 xarctanxdxarctanxd()2221x2x211x21arctanxdx 2221xx211arctanx(1)dx 221x21x(x21)arctanxC． 22从上面的几个例子可以看出，如果被积函数是幂函数与对数函数或反三角函数的乘积，

那么也可以考虑用分部积分法，并选对数函数或反三角函数作为u．

例7 求ecosxdx．

解 excosxdxcosxd(ex)excosxexd(cosx)

xexcosxexsinxdx．

等式右端的积分与左端的积分是同一类型，对右端的积分再用一次分部积分法，可得

xxxecosxdxecosxsinxd(e) excosxexsinxexd(sinx)

108 第4章 不定积分

ex(cosxsinx)excosxdx，

移项，得

2excosxdxex(cosxsinx)C1，

所以

execosxdx2(cosxsinx)C，

x其中C1C1．

2课堂练习：

1．求下列不定积分：

lnx(3) dx

x(5) ln(1x)dx

(1)

xcos2xdx

2(2) x2e2xdx

2(4) xarccotxdx (6) esin2xdx．

x2．求下列不定积分：

(3) xarcsinxdx

(1) arccosxdx (4) (arcsinx)dx．

(2) edx

2x4.5 积分表的应用

学时：１学时。 目地要求：

了解积分表的应用 重点：积分表的应用 难点：积分表的应用

从前面几节可以看出，求不定积分的计算要比求导数更为灵活、复杂，被积函数形式稍有不同，相应的积分方法和结果就有很大差异．在实践中，为了尽快地获得积分结果，我们编制了不定积分表以供查用．本书附录中给出了一个较简易的不定积分表，它是按照被积函数的类型来编排的．读者在熟练掌握不定积分方法的基础上，也要学会使用积分表．

下面举例说明积分表的使用方法．

dxx(23x)2．

解 被积函数含有axb，属于积分表中（一）类的积分．按照公式9，当a3，b2例1 求时，有

第4章 不定积分 109

dx1123xx(23x)22(23x)4lnxC．

dx例2 求．

x5x2解 被积函数含有axb，属于积分表中（二）类的积分．按照公式15，当b20，a5时，有

dx225xarctanC2arctan5x1C． x5x2222dx例3 求2．

2xx12解 这个积分属于积分表（五）类含有axbxc(a0)的积分．按照公式28，

当a2，b1，c1时，由于b4ac70，所以

2dx24x1arctanC． 2x2x177例4 求

dx53sinx．

dxabsinx的公式103

解 被积函数含有三角函数，在积分表中（十一）类查得关于和104，要根据ab或ab来决定用哪一个．

现在a5，b3，ab，所以用公式103，得

222222x5tan3dx2C 53sinx52(3)2arctan5222(3)5tanx321arctanC．

24例5 求

4x29dx．

解 这个积分在积分表中不能直接查到，若令2xu，则有

14x29u232，dxdu；

2于是

4x29dx4x29dx1u232du． 2被积函数含有u232，在积分表（六）类中查到公式38，现在a3，于是

1u232du 21u9[u29ln(uu29)]C 222

110 第4章 不定积分

回代u2xx24x299ln(2x4x29)C 4例6 求cos4xdx．

解 在积分表（十一）类中查到公式96，现在n4，于是

13432cosxdxcossinxcosxdx 44对积分cos2xdx再用公式94，可得

13343cosxdxcossinxxsin2xC． 4816一般说来，查积分表可以节省计算积分的时间，但是，只有掌握了前面学过的基本积

分方法后才能灵活地使用积分表，对一些比较简单的积分，应用基本积分方法来计算．所以，求积分时究竟是直接计算，还是查表，或是两者结合使用，应该作具体分析，不能一概而论．特别地，随着计算机的普及，人们已经越来越多地利用数学软件在计算机上求不定积分了，读者可参阅本书下册第5章．

关于不定积分，最后需要指出，由于有一些初等函数的原函数虽然存在，但却不一定是初等函数，例如：ex2dx、sinxdx等，它们的原函数都不能用初等函数来dx、xlnx表达，因此我们通常称这样的积分“积不出来”．

课堂练习：

利用积分表计算下列不定积分：

x(4x3)2dx；

dx3．2；

xx1dx1．5．

x9x42；

dxx35x；

dx4．；

32cosxdx6．．

(27x2)22．

本章复习题：

1．填空题：

(1) 如果对任意xD，都有F(x)G(x)，则在D上F(x)与G(x)之间有关系式为 ；

(2) cos2xdx d(sin32x)； 3

第4章 不定积分 111

(3) (4) (5) (6) (7)

1dxd ； xsinx(1cosx)dx ； dxcosxdx ； dxx1( )dx=24sin2xC； (arcsinxdx) ；

(8) dxexdx ；

d(xarctanx) ； f(lnx)(10) dx ．

x(9)

2．选择题：

x是( )的一个原函数． (A) 1； (B) 1； (C) lnx； (D) x3．

2x2x(2) 若f(x)的一个原函数为lnx，则f(x)( )． (A) xlnx； (B) lnx； (C) 1； (D) 1．

xx2(3) 如果f(x)dxF(x)C，那么f(axb)dx( )．

(1)

(A) F(axb)C； (C) 1F(axb)C；

(B) aF(axb)C； (D) F(xb)C．

aa(4) 如果

f(x)dxxlnxC，那么xf(x)dx( )．

(B) x2(1lnx1)C；

(A) x2(1lnx1)C；

42(C) x2(11lnx)C；

42(5) 下列各结果中，与(A) f(1)C；

24(D) x2(11lnx)C．

24x(C) f(1)C；

x11f()2dx相等的是( )． xx(B) f(1)C；

x(D) f(1)C．

xe3x1dx； (2) xe13．求下列各不定积分：

(1x)2dx； (1) x

112 第4章 不定积分

sinx(3) dx；

x(5) (7) (9)

(lnx)3dx； (4) x(6)

5xedx；

1dx；

x2xxexdx2xdx(8) x； xee(10) (12) (14)

4secxdx；

exdx；

1ex；

(11) (13)

xx2dx； dx；

x(1x)1x2lnxdx； (15) (16) (x21)sin2xdx；

x1lnxx2x(17) esindx； (18) (x21)lnxdx．

24．已知函数f(x)在x1时有极小值，在x1时有极大值4，又知f(x)3x2bxc，求f(x)．

5．设点M(2,4)是函数f(x)的图象上的一个拐点，且在点M处的切线斜率为3，又知f(x)6xm，求f(x)．

6．已知某曲线经过点P(1,5)，且在每点处的切线斜率等于1x，求此曲线的方程．

27．一质点作直线运动，已知加速度为a12t3sint，如果在初始时刻t0时，物体的速度v05，物体的位移s03，试求：

(1) 速度v和时间t之间的函数关系； (2) 位移s和时间t之间的函数关系．

x3dx；

32x1xdx； 