高考理科数学真题及答案全国卷I

数 学（理工农医类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的 1．已知x( （A）

2，0），cosx4，则tg2x （ ） 57 （B）7 （C）24 （D）24

7242478sin2．圆锥曲线的准线方程是 （ ）

2cos （A）cos2 （B）cos2 （C）sin2 （D）sin2

2x1x03．设函数f(x)1 ，若f(x0)1，则x0的取值范围是 （ ） 2x0x （A）（1，1） （B）（1，）

（C）（，2）（0，） （D）（，1）（1，） 4．函数

y2sinx(sinxcosx)的最大值为 （ ）

（A）12 （B）21 （C）2 （D）2

25．已知圆C：(xa)(y2)24（a0）及直线l：xy30，当直线l被C截得的弦长为23时，则a （ ） （A）

2 （B）22 （C）21 （D）21

92 （C）82 （D）32

RRR

234

46．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ） （A）2R （B）7．已知方程(x（ ）

（A）1 （B）3 （C）1 （D）

222xm)(x22xn)0的四个根组成一个首项为1的的等差数列，则|mn|

423 88．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（7，0），直线yx1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为

2，则此双曲线的方程是 （ ） 322xyx2y2x2y2x2y2 （A）1 1 （C）1 （D）1 （B）

25435234319．函数f(x)sinx，x[,]的反函数f(x) （ ）

22 （A）arcsinx x[1，1] （B） （C）arcsinx x[1，1]

arcsinx x[1，1] （D）arcsinx x[1，1]

10．已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB的夹

角的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角），设P4的坐标为（x4，0），若1（ ）

（A）（1，1） （B）（

x42，则tg的取值范围是

321221，） （C）（，） （D）（2，

333525）

222C2C32C4Cn11．lim （ ）

nn(C1C1C1C1)234n （A）3 （B）1 （C）

316 （D）6

12．一个四面体的所有棱长都为

2，四个顶点在同一球面上，则些球的表面积为（ ）

（A）3 （B）4 （C）33 （D）6

二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。 13．(x219的展开式中x9系数是 )2x14．使log2(x)x1成立的x的取值范围是 要求相邻

15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，

地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则色方法共有 种。（以数字作答） 16．下列5个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，

P分别为其所在棱的中点，能得出l（写出所有符合要求的图形序号）

P M P N l M l l M N M P M l N l P 2 3 1 4 5 不同的着

点M、N、

的序号是

面MNP的图形

N N P ① ② ③ ④ ⑤ 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤 17．（本小题满分12分） 已知复数z的辐角为60，且|18．（本小题满分12分）

z1|是|z|和|z2|的等比中项，求|z|

如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB90，侧棱是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G

（I） 求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示） （II） 求点

AA12，D、E分别

A1到平面AED的距离

C1

19．（本小题满分12分） 已知c0，设

A1 E K F y B1

D

P：函数ycx在R上单调递减 Q：不等式x|x2c|1的解集为R

G C 如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围 20．（本小题满分12分）

在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前中心位于城市O（如图）的东偏南

B

A 台风

2）方向300km的海面P处，并以

(arccos1020km/h的速度向西偏北45方向移动，台风侵袭围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵21．（本小题满分14分） 已知常数a北 东

O 海 岸 线 O x 的范速度袭？

0，在矩形ABCD中，

AB4，BC4a，O为AB的中点，点E、

BECFDC，P为GE与OF的交点

（如图），BCCDDAF、G

分别在BC、CD、DA上移动，且

Pr(t) D F P G A O B x y P 问是值？

否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，明理由。

22．（本小题满分12分，附加题4 分） （I）设{an}是集合{2sC E 请说

2| 0st且s,tZ}中t所有的数从小到大排列成的数列，即a13，a25，a36，a49，a510，a612，…

将数列{an}各项按照上小下大，左小右大的原则写成如下的三角形数表：

3 5

6

9 10 12 — — — —

…………

⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；

⑵求a100

（II）（本小题为附加题，如果解答正确，加4 分，但全卷总分不超过150分）

设{bn}是集合{2r2s2t|0rst，且r,s,tZ}中所有的数从小到大排列成的数列，已知

bk1160，求k.

2003年普通高等学校招生全国统一考试

数 学(理工农医类)答案

一、选择题

1．D 2．C 3．D 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．C 11．B 12．A 二、填空题 13．21 14．（-1，0） 15．72 16．①④⑤ 2rrcos60rsin60)，则复数z的实部为.zzr,zzr2由题设

2三、解答题： 17． 解：设z18．（Ⅰ）解：连结BG，则BG是BE在ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角. 设F为AB中点，连结EF、FC， （Ⅱ）解：19． 解：函数

EDAB,EDEF,又EFABF,

ycx在R上单调递减0c1.

不等式x|x2c|1的解集为R函数yx|x2c|在R上恒大于1.

20．解：如图建立坐标系以O为原点，正东方向为x轴正向.

在时刻：（1）台风中心P（x,x300y）的坐标为102t, 2y30072202t.102202

此时台风侵袭的区域是(xx)2(yy)[r(t)]2, 其中r(t)10t60,若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则有

222722220t)(30020t) 102102(0x)2(0y)2(10t60)2.即(300答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭. 值.

21．根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在的两定点，使得点P到两点距离的和为定

按题意有A（－2，0），B（2，0），C（2，4a），D（－2，4a）设

BECFDC(0k1) BCCDDA由此有E（2，4ak），F（2－4k，4a），G（－2，4a－4ak）直线OF的方程为：2ax(2k直线GE的方程为：a(2k1)y0①

1)xy2a0②

2从①，②消去参数k，得点P（x,y）坐标满足方程2ax2y22ay0

整理得x2(ya)2 当a11a22 当a221时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点. 21时，点P轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离的和为定长。 2111时，点P到椭圆两个焦点（a2,a),(a2,a)的距离之和为定值2。

222111时，点P 到椭圆两个焦点（0，aa2),(0,aa2) 的距离之和为定值2a.

222当a2当a222．（本小题满分12分，附加题4分）

（Ⅰ）解：（i）第四行17 18 20 24 第五行 33 34 36 40 48 （i i）解：设a1002s02t0，只须确定正整数s0,t0.

tt数列{an}中小于20的项构成的子集为 {22s|0stt0},

其元素个数为C2t0(t01),依题意t0(t01)100.满足等式的最大整数t0为14，所以取t0t022因为100－C14214.

s01,由此解得s08,a10021428160.

(其中,B{2r2s2t|0rst}

（Ⅱ）解：bk11602102723,令M{cB|C1160} 现在求M的元素个数：{cB|c210}{2r3 因M{cB|c210}{cB|210c21027}{cB|21027c2102723}.

2s2t|0rst10},

其元素个数为C10： {cB|210c21027}{2102s2r|0rs7}. 某元素个数为C72:{cB|21027c2102723}{210272r|0r3}

732某元素个数为C10:kC10C7C321145.