江西省上饶市重点中学2019届高三六校第一次联考 数学(理)含答案

上饶市重点中学2019届高三六校第一次联考

（上饶市一中、上饶市二中、上饶县中、玉山一中、余干中学、天佑中学）

理科数学

（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）

注意事项：

1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

21．设集合Axxx20 ，B{x|log2x0} ，则AB ( )

D．(1,1)

A． (1,2) 2．设zB．(0,1) C．(,2)

3ii，则zi( ) 1iB．3

C．10

D．2

A．5

log2x,0x13．已知函数f(x)1，则f(f(2))（ ）

,x1x2A．2 B．2 C．1 4．“x1”是“ln(x1)0”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 件

D．1

D．既不充分也不必要条

5．已知非零向量m,n满足n2m,且m(2mn)，则向量m,n的夹角为( )

3 B． C． 324a2xa16．函数y2为奇函数，则(xx)dx ( )

0x21A．2 B．1 C．

6A．

D．

 4D．

5 67.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，上面3节的容积之积3升，下面3节的容积之积为9升，则第5节的容积为( )

67

A．2升 B． 升 C．3升 D．3 升

668．函数f(x)xcosxsinx在x[3,3]的大致图像为（ ）

1

xy1≥0x5y9. 设x、y满足不等式组xy4≤0，则z的最大值为（ ）

xy≥1A． 3

B．-1

C．4

D． 5

10．设数列{an}满足a13，且对任意整数n，总有(an11)(1an)2an成立，则数列{an}的

前201的和为( ) A．588

B．5

C．2018

D．2019

x211,x[2,0]11．已知函数f(x)x1,若函数g(x)f(x)x2m1在区间[－2，4]内

2f(x2),x(0,)有3个零点，则实数m的取值范围是（ ）．

A．m|11m 221或m1 2B．m|1mD．m|1 2C．m|1m11m或m1 2212．已知点O为双曲线C的对称中心，直线l1,l2交于点O且相互垂直，l1与C交于点A1,B1，l2与

C交于点A2,B2，若使得|A1B1||A2B2|成立的直线l1,l2有且只有一对，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ） A．(1,2]

B．(1,2]

C．[2,2]

D．(2,)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中一名男生和

一名女生的概率为________．

14．一个四棱锥的俯视图如图所示，它的外接球的球心到底面的

距离是该球半径的一半，则这个四棱锥的侧视图的面积为

______.

3215．若不等式sinxm2cosxsinx在区间[0,2]上恒成

(第14题图)

立，则实数m取值范围是___.

16．已知ABC中，C90,AC3,BC4，点M是线段

AB上一动点，点N是以点M为圆心、1为半径的圆上一动点，若CNmCAnCB，则mn的最大值为______.

2

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个

试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17．(12分）

已知在ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对应边，点D为BC边的中点，ABC的面积为

AD2.

3sinB(1)求sinBADsinBDA的值； (2)若BC6AB,AD22，求b。

18．(12分）

在四棱锥PABCD中，PAAC，底面ABCD为菱形，点O为菱形对角线AC,BD的交点，且PBPD.

（1）证明：PA平面ABCD；

（2）若ACABPA2，问：在棱PC上是否存在一点M，使得AM与平面PCD所成角的余弦值为

19．(12分）

某校为“中学数赛”选拔人才，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：分数不小于本次考试成绩中位数的具有复赛资格，某校有900名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间

42？ 730,150内，其频率分布直方图如图．

（1）求获得复赛资格应划定的最低分数线；

（2）从初赛得分在区间110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人参加学校座谈交流，那么从得分在区间110,130与130,150各抽取多少人？

（3）从（2）抽取的7人中，选出4人参加全市座谈交流，设X表示得分在110,130中参加全市座谈交流的人数，学校打算给这4人一定的物质奖励，若该生分数在110,130给予500元奖励，若该生分数在130,150给予800元奖励，用Y表示学校发的奖金数额，求Y的分布列和数学期望。

3

20．(12分）

x2y2

已知椭圆C：2＋2＝1 (a>b>0)的两焦点在x轴上，且短轴的两个顶点与其中一个焦点的连线

ab构成斜边为2的等腰直角三角形.

(1)求椭圆的方程；

(2)动直线l:3mx3nyn0(mR,nR,m,n不全为零)交椭圆C于A，B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q，使得以线段AB为直径的圆恒过点Q？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。

21．(12分）

已知函数f(x)axln(2x1),g(x)ex1，曲线yfx与ygx在原点处的切线

x相同。

(1)求a的值；

(2)求fx的单调区间和极值；

(3)若x0时，gxkfx，求k的取值范围。

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23二题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题

计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

xcos在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为（为参数），曲线C2的

y3sinx4参数方程为y42t2(tR,t为参数)． 2t2（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的极坐标方程；

（2）设P为曲线C1上的动点，求点P到C2上点的距离的最小值，并求此时点P的坐标。

23． [选修4—5：不等式选讲] （10分）

设函数f(x)|2x1|1. g(x)|2x1||1x|2 （1）求不等式f(x)≤3x的解集；

（2）若存在x使不等式2f(x)g(x)ax成立，求实数a的取值范围。

4

上饶市重点中学2019届高三六校第一次联考

理科数学参及评分标准

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 A A B B C D D A C 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．

10 B 11 D 12 D 6363221713. 14. 或 15.(,) 16.

2252712

三、解答题：

AD217.解:(1)由ABC的面积为且D为BC的中点可知:ABD的面积为

3sinBAD2……………1分 6sinB

1AD2由三角形的面积公式可知:ABBDsinB ………………………3分

26sinB

由正弦定理可得:3sinBADsinBDA1 ………………………5分

1所以sinBADsinBDA ………………………6分

3 (2)BC6AB ,又因为D为中点，所以BC=2BD=6AB,即BD=3AB…………7分 在ABD中由正弦定理可得

BDAB,所以sinBAD3sinBDA

sinBADsinBDA11由（1）可知sinBADsinBDA所以sinBDA,sinBAD1,

33BAD(0,) BAD,……………9分

2

1在直角ABD中AD22,sinBDA,所以AB1,BD3.……………10分

3BC=2BD,BC=6

5

在ABC中用余弦定理，可得

1b2a2c22accosB13621633,b33.3……………12分

18.答案：

（1）证明：PBPD PBD为等腰三角形 又O为BD中点 POBD ……………2分

底面ABCD为菱形 BDAC

BD平面PAO BDPA …………4分

…………6分 又PAAC PA平面ABCD

解:以A为原点，AD为x轴，A与BC中点N的连线为y轴，PA为z轴，建立空间直角坐标系.则A(0,0,0)，B(1,3,0)，C(1,3,0)，D(2,0,0)，P(0,0,2)………………………7分 （2）

PC(1,3,2) 令PMkPC， 则PM(k,3k,2k)，AM(k,3k,22k) 设平面PCD的一个法向量为n(x,y,z)

x3y2z0nPC0………………………9分 由 得2x2z0nPD0

令y1 得n(3,1,3) cosn,AM解得k1522378k28k417

………………………10分

又0k1 k不存在.即这样的点M不存在 ………………………12分

19.解（1）由题意知[30,90]的频率为：20(0.00250.00750.0075)0.35，

[110,150]的频率为：20(0.00500.0125)0.35所以分数在[90,110]的频率为：

10.350.350.3………………………1分

6

从而分数在[90,110]的

频率0.3==0.015，………………………2分 组距20假设该最低分数线为x由题意得0.35(x90)0.0150.5解得x100．故本次考试复赛资格最低分数线应划为100分。………………………4分

（2）在区间110,130与130,150，0.0125:0.00505:2，………………………5分

在区间110,150的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人，

分在区间110,130与130,150各抽取5人，2人．结果是5人，2人．……………8分

（3）X的可能取值为2，3，4，则：

2310C52C2C5C24C54C221 ………………9分 P(X2);P(X3);P(X4)444C77C77C77从而Y的分布列为 Y P 2600 2 72300 4 72000 1 7………………………11分 241100(元)．………………………12分 E(Y)2600230020007777

20.解 (1)∵椭圆的一个焦点与短轴的两个顶点的连线构成等腰直角三角形， ∴b＝c. ……………1分

又斜边长为2，即2b＝2，故c＝b＝1，a＝2，………………………3分 椭圆方程为＋y2＝1. ………………………4分

2

1(2)由题意可知该动直线过定点P(0,),当l与x轴平行时，以线段AB为直径的圆的

3116方程为x2(y)2；当l与y轴平行时，以线段AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝

39x2

1.

7

116x＝0，2x(y)2由39得

22y＝1，xy1

故若存在定点Q，则Q的坐标只可能为Q(0,1). ………………………6分

下面证明Q(0,1)为所求：

若直线l的斜率不存在，上述已经证明. 1

若直线l的斜率存在，设直线l：y＝kx－，

3

A(x1，y1)，B(x2，y2)，

y＝kx－1，3由

x＋2y－2＝0，

2

2

得(9＋18k2)x2－12kx－16＝0，………………………7分

Δ＝144k2＋(9＋18k2)>0，x1＋x2＝

→

QA＝(x，y－1)，→QB＝(x，y－1)，

1

1

2

2

12k－16

，xx＝，…………………8分 12

18k2＋918k2＋9

→

QA·→QB＝xx＋(y－1)(y－1)

12

1

2

＝(1＋k2)x1x2－＝(1＋k2)·

4k16

(x1＋x2)＋ 39

－1k12k16－·＋＝0，………………………10分

9＋18k239＋18k29

∴→QA⊥→QB，即以线段AB为直径的圆恒过点Q(0,1). ………………………12分

21.解：（1）因为f/(x)a依题意，

（2）所以f/(x)28

21(x),g/(x)ex1， 2x12，得a2 ……………………3分

24x1(x), 2x12x12

1当x0时

2；当时

故

1的单调递减区间为(,0)，单调递增区间为

2的极小值为（3）由（1）知，当

；无极大值；……………………6分

时，f(0)0,g(0)0,此时无论K取何值均满足

g(x)kf(x)……………………7分

当x0时，f(x)0令h(x)g(x)kf(x)exx12kxkln(2x1),

2(2x1)ex4kx2x1)所以h(x)e1k(2……………………-8分 2x12x1/x

又令H(x)(2x1)ex4kx2x1,所以H/(x)(2x3)ex4k2因为x0时

(2x3)ex3，令4k23得k1 ……………………9分 4 ①当k时， ②当k1时，H//(x)(2x5)ex0，所以H/(x)在(0,)递增，又因为41H/(x)0，时，所以H(x)在(0,)递增，从而H(x)H(0)0 即满足4。……………………10分

H/(0)14k0，x趋近时H/(x)趋近，根据零点存在性定理所以存在x0(0,)使得H/(x0)0，所以H(x)在(0,x0)上递减，在(x0，)上递增，因为

H(0)0,所以H(x0)0，此时不满足

时，。……………11分

1综上所述，k的取值范围是(,] ……………………12分

4y222222.解:（1）对曲线C1：cosx，sin，

39

y21．………………………………2分 ∴曲线C1的普通方程为x32 对曲线C2消去参数t可得t(4x)2,且t(y4)2, ∴曲线C2的直角坐标方程为xy80．…………………………3分

又xcos,ysin，cossin82sin()8

4从而曲线C2的极坐标方程为42sin(4……………………5分

)（2）设曲线C1上的任意一点为P(cos,3sin)， …………………6分 则点P到曲线C2：xy80的距离

|2sin()8||cos3sin8|6d，………………………8分

2213当sin()1，即时，dmin32，此时点P的坐标为(,)．

6322…………………………………………………………………10分

23.解：（1）由f(x)≤x得：|2x1|1≤x， …………………………………1分

2x1≥02x10121∴或， 解得：x或≤x．………4分

2522x11≤3x2x11≤3x2∴不等式f(x)≤3x的解集是[,)． ……………………………………5分

5（2）2f(x)g(x)|2x1||1x|，当x0时显然不成立，所以2f(x)g(x)ax成立即a令(x)即(x)2f(x)g(x)(x0) x2f(x)g(x)(x0) ………………6分 x2f(x)g(x)|2x1||1x|11213 …………9分

xxxx所以实数a的取值范围是(3,) …………10分

10