江西省上饶市重点中学2019届高三六校第一次联考 数学(文)

（上饶市一中、上饶市二中、上饶县中、玉山一中、余干中学、天佑中学）

文科数学

（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）

注意事项：

1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码贴在指定位置；

2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的） 1．设全集为R，集合Axx4，Bx1x3，则AA．,1

B．,1

C．2,1

2(CRB)=（ ）

D．2,1

2．若复数满足zi1i（i为虚数单位），则其共轭复数z的虚部为（ ）

A．i B．i C．1 D．1 3．已知tan2，则tanA．3=（ ） 4C．3

D．3

1 3B．

1 3x1224．若变量x、y满足y1，则xy的最小值为（ ）

xy12 C．1 25．已知等差数列an的首项a12，前n项和为Sn，若S8S10，

A．

1 2B．D．2 则a18（ ）

A．4 B．2 C．0

6．某公司有包括甲、乙在内的4名员工参加2018年上海进博会的服务，这4名员工中2人被分配到食品展区，另2人被分配到汽车展区，若分配是随机的，则甲、乙两人被分配到同一展区的概率为（ ）

D．2

1 61C．

3A．1 41D．

2B．

7．如图，某几何体的三视图是三个全等的等腰直角三角形，若此几何体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A．4 B．8

·1·

C．12 D．16

8．已知等比数列an的首项a10，公比为q，前n项和为Sn，则“q1”是“S3S52S4”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

9．阅读如右程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（ ）

A．C．

18 19B．18 D．19

19 1810．在空间四边形ABCD中，若ABBCCDDA，且ACBD，E、F分别是AB、CD的中点，则异面直线AC与EF所成角为（ ） A．30 C．60

B．45 D．90

x2y211．设双曲线E:221a0,b0的右焦点为F，过F且斜率为1的直线l与E的右支相

ab交不同的两点，则双曲线的离心率e的取值范围是（ ） A．1,2

B．

2,2

C．1,2

D．2,22

12．已知fx是定义域为R的奇函数，当x0时，fxxlnx．若函数gxfxa有2个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ） A．1,1

B．1,1 C．,11, D．,11,

二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）

13．某校高三科创班共48人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按1至48的学号用系统抽样方法抽取8人进行调查，若抽到的最大学号为48，则抽到的最小学号为 ． 14．已知向量a1,1，b1,0，则b在a方向上的投影为 ． 15．已知抛物线y为 ．

16．已知M2,1，设Nx0,1，若⊙O:xy1上存在点P，使得MNP60，则x0的取

2212x的焦点为F，A1,1，设B为该抛物线上一点，则ABF周长的最小值4值范围是 ．

·2·

三、解答题（解答应写出必要计算过程，推理步骤和文字说明，共70分） （一）必考题（共60分） 17．（本小题满分12分）

一次数学考试有4道填空题，共20分，每道题完全答对得5分，否则得0分．在试卷命题时，设计第一道题使考生都能完全答对，后三道题能得出正确答案的概率分别为P、对与否相互．

（1）当P11、，且每题答242时，求考生填空题得满分的概率； 3（2）若考生填空题得10分与得15分的概率相等，求P的值． 18．（本小题满分12分）

已知函数fx2cos2x23sinxsinx（1）求fx的最小正周期T；

（2）在ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c．若f． 2A3，且面积2S12b22acb，求a的值． 4 19．（本小题满分12分）

如图，在边长为2的菱形ABCD中，ADC60，现将

ADC沿AC边折到APC的位置．

（1）求证：PBAC；

（2）求三棱锥PABC体积的最大值．

·3·

20．（本小题满分12分）

x2y2已知椭圆C:221ab0的短轴长等于23，右焦点F距C最远处的距离为3．

ab（1）求椭圆C的方程；

（2）设O为坐标原点，过F的直线与C交于A、B两点（A、B不在x轴上），若OEOAOB,

求四边形AOBE面积S的最大值．

21．（本小题满分12分）

设函数fxeax，其中e为自然对数的底数．

x（1）当a1时，求fx在点1,f1处的切线的斜率；

（2）若存在x0,，使fx2alna，求正数a的取值范围．

（二）选考题（共10分）。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

x13cos在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），以原点O为极点，

y3sin以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为2sin．

（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；

（2）试判断曲线C1与C2是否存在两个交点，若存在，则求出两交点间的距离；若不存在，请

说明理由．

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数fxx1xa．

（1）当a2时，求不等式fx5的解集； （2）若fx2的解集为R，求a的取值范围．

·4·

上饶市重点中学2019届高三六校第一次联考

文科数学参及评分标准

1．D 2．D 3．C 4．A 5．B 6．C 7．C 8．A 9．B 10．B 11．A 12．D

13．6 14．22 15．3 16．33,3



17．解：设考生填空题得满分、15分、10分为事件A、B、C （1）PA231214112 （2）PBP1234P1211141P24 PCP131311241P241P24 由PBPC得P34 18．解：（1）fx1cos2x3sin2x 12sin2x6 T （2）由已知得A3 又

14a2c2b212accosB S12acsinB sinBcosB即B4 bsinB6asinA3 19．解：（1）证明：如图

·5·

…………4分 …………7分

…………10分…………12分

…………2分

…………4分

…………5分 …………6分

…………9分

…………10分

…………12分

取AC的中点为O，连接PO、OB …………1分

易得ACPO，ACOB AC平面POB 又PB在平面POB内

ACPB （2）VPABCVAPOBVCPOB 13ACSPOBsinPO B 当POB90时，VPABC的最大值为1

20．解：（1）由已知得b23，ac3,a2b2c2

所求椭圆C的方程为x2 y2431 （2）设l:xty1

则由l与C的方程消x得：

3t24y26ty90 设Ax1、y1、Bx2、y2

y6t则1y23t24 9 y1y23t24AOBE为平行四边形

·6·

…………3分 …………5分 …………6分

…………8分 10分 …………12分…………4分 …………5分…………7分

…………

S2SAOB12t21 …………9分 y1y223t4令t21m1

得S12m43m211

m3m由双勾函数的单调性易得当m1即t0时，Smax3

21．解：（1）设所求切线的斜率为k

fxexaex1 kf1e1 （2）依题意得fxmin2alna ①当0a1时，fx0即fx在0,递增

fxminf01

而2alna2 0a1满足条件 ②当a1时，fx在0,lna递减 lna,递增 fxminflnaalan a 1a2 综上，0a2即为所求 22．解：（1）曲线C221的普通方程为：x1y3 曲线C22的直角坐标方程为：xy22y0 （2）

31C1C2231

⊙C1与⊙C2相交 设C1与C2的交点为A、B

·7·

…………12分

…………2分

…………4分

…………6分 9分 …………12分

…………2分

…………5分

6分

………… …………则lAB:xy10 …………8分 又lAB恰过C20,1

AB2 …………10分

．解：（1）原不等式可化为

x11x2x212x5或或 352x15 …………3分 解得x2,3 （2）由已知可得fxmin2

x1xax1xaa1  fxmina1 a12或a1 2 即a1或a3为所求 ·8·

…………5分 …………7分 …………9分

…………10分

23