201６年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ）
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）（20１6•新课标Ⅰ)设集合A={x|ｘ2﹣4x+3<0},B={x｜2x﹣３＞0｝，则A∩B=( ） A.（﹣３，﹣)B.(﹣3,）C.(１，)Ｄ.（,3）
2．（5分)（20１6•新课标Ⅰ)设(１+i）x=1+ｙi,其中x,y是实数,则|ｘ+yi|=( ) A.１B．C.Ｄ．2
３.(5分)（2０16•新课标Ⅰ）已知等差数列{an｝前9项的和为2７,a10＝8,则a100=( ） A．1０0B.9９Ｃ．98D.97
4.（5分)(2016•新课标Ⅰ）某公司的班车在7:00,8：00,８：30发车，小明在7：５0至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A.B.Ｃ.D.
5.(５分）（201６•新课标Ⅰ)已知方程4,则ｎ的取值范围是（ ）
A.（﹣1,3)B.（﹣１，）C.(0，３)D．（0,）
6．(5分)(2016•新课标Ⅰ)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是
,则它的表面积是（ ）
﹣
=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为
A．17πB．18πＣ．20πD.２８π
７.（5分)(２0１6•新课标Ⅰ)函数y=2ｘ２﹣ｅ｜x|在[﹣2,２］的图象大致为( ）
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Ａ．B.Ｃ.
Ｄ．
8．(5分)（2016•新课标Ⅰ)若a＞b＞1,0＜c＜１，则（ ) A.ac ｃ ｃ A.y=2ｘB.y=3xC.y=4xD.y=５x 1０．（5分）(2016•新课标Ⅰ)以抛物线Ｃ的顶点为圆心的圆交Ｃ于A、B两点,交C的准线于Ｄ、E两点．已知|ＡB|=４，|DE|＝2,则C的焦点到准线的距离为（ ) A.2B．4Ｃ．６Ｄ．8 第2页（共30页） 11．（5分)（２016•新课标Ⅰ）平面α过正方体ABCD﹣A1B1Ｃ1D1的顶点A，α∥平面CB1D1,α∩平面AＢCＤ=m,α∩平面AＢＢ1A1=n,则ｍ、n所成角的正弦值为( ) A． B. C． D. )，ｘ=﹣ 为f 12．（５分)(2０１６•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝sｉn（ωx+φ）(ω>0,｜φ|≤（x)的零点，x＝A．11B.9Ｃ.７D.５ 为y＝f(ｘ）图象的对称轴,且f（x）在（,)上单调，则ω的最大值为（ ) 二、填空题：本大题共4小题,每小题５分,共20分. 1３．（5分)（201６•新课标Ⅰ)设向量=(m,1），=(1,2）,且｜+|２=|｜2+||2，则m=. 14．（5分)(2016•新课标Ⅰ)（２x+）5的展开式中,x３的系数是．（用数字填写答案） １5．(５分）（201６•新课标Ⅰ)设等比数列{an}满足ａ1＋a3=10,a２＋a4=5，则a1ａ2…an的最大值为. 16.(5分）（2０16•新课标Ⅰ)某高科技企业生产产品Ａ和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1。５ｋg，乙材料1ｋg,用５个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料０.3ｋg,用３个工时,生产一件产品A的利润为２100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料１50kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品Ａ、产品B的利润之和的最大值为元． 三、解答题：本大题共５小题,满分６0分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤。 １７．（1２分)(201６•新课标Ⅰ）△AＢＣ的内角Ａ，Ｂ,Ｃ的对边分别为ａ，b,ｃ，已知２cosC(acosB+ｂcosA）＝c. （Ⅰ)求C; （Ⅱ)若c=,△ABC的面积为 ，求△ＡBC的周长． １８.（１２分)（20１6•新课标Ⅰ)如图,在以Ａ,B，C，D，Ｅ，Ｆ为顶点的五面体中,面ABEF为正方形，AF＝2FD,∠AＦD=9０°,且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是6０°. （Ⅰ）证明平面AＢEＦ⊥平面EＦDC； (Ⅱ)求二面角E﹣BC﹣A的余弦值. 第3页（共30页） 19．(1２分)（２016•新课标Ⅰ)某公司计划购买２台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个２０0元.在机器使用期间,如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了１00台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得如图柱状图： 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件 数. (Ⅰ）求X的分布列； (Ⅱ）若要求P(X≤n）≥0.5，确定n的最小值; （Ⅲ)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在ｎ=１９与n=20之中选其一,应选用哪个? ２0.(12分）（２01６•新课标Ⅰ）设圆ｘ2+y2+2x﹣15=０的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于Ｃ,Ｄ两点,过B作AＣ的平行线交ＡD于点Ｅ． (Ⅰ)证明|EＡ｜+|EB|为定值，并写出点Ｅ的轨迹方程； （Ⅱ）设点Ｅ的轨迹为曲线C１，直线l交C1于Ｍ,N两点,过Ｂ且与l垂直的直线与圆Ａ交于P，Q两点，求四边形MPNＱ面积的取值范围. ２1．（12分)（20１6•新课标Ⅰ)已知函数f（x)＝(x﹣2)eｘ+a(x﹣1）2有两个零点． (Ⅰ)求a的取值范围； （Ⅱ）设x1，x２是ｆ（ｘ)的两个零点,证明：ｘ１+x2＜２. 请考生在2２、２3、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.［选修４－1:几何证 第4页（共30页） 明选讲] 22.(10分）(２016•新课标Ⅰ)如图，△OAB是等腰三角形,∠ＡOB=120°.以O为圆心，OA为半径作圆. （Ⅰ)证明:直线ＡＢ与⊙Ｏ相切； (Ⅱ）点C,Ｄ在⊙Ｏ上,且Ａ,B,C，D四点共圆，证明:AＢ∥CD. ［选修4-4：坐标系与参数方程] 23.(２０16•新课标Ⅰ)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2:ρ＝4cosθ. (Ⅰ）说明C1是哪种曲线,并将C１的方程化为极坐标方程； （Ⅱ）直线C3的极坐标方程为θ＝α0,其中α0满足taｎα0=２,若曲线C1与C２的公共点都在C3上，求a. (t为参数,ａ>０）.在 ［选修4-５:不等式选讲] ２4．（2016•新课标Ⅰ)已知函数f（ｘ)=｜x+1|﹣|2x﹣３|. （Ⅰ）在图中画出y=f(ｘ）的图象; (Ⅱ）求不等式|f(x)|>１的解集． 第5页（共30页） 2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ) 参与试题解析 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(５分）(2016•新课标Ⅰ)设集合Ａ={ｘ｜x2﹣4ｘ+3＜0｝,B={x|2ｘ﹣３>0}，则A∩B=( Ａ．（﹣３,﹣)B.(﹣３,)C.（1,）Ｄ.(，3) 【考点】１E：交集及其运算. 【专题】１１ :计算题；4O：定义法;5J :集合. 【分析】解不等式求出集合A,B,结合交集的定义,可得答案. 【解答】解:∵集合A={x｜ｘ2﹣4x+３<0}＝（１，３), Ｂ={x|2x﹣3＞0}＝(，+∞）， ∴Ａ∩Ｂ=(,3）, 故选:D. 【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算,难度不大，属于基础题． 2．(5分）(2016•新课标Ⅰ）设(1+i）x=1＋yi,其中ｘ,ｙ是实数，则|x＋ｙｉ|=( ） A．1B．C．D．2 【考点】A８：复数的模． 【专题】34 :方程思想；4O:定义法;５N :数系的扩充和复数. 【分析】根据复数相等求出x，y的值,结合复数的模长公式进行计算即可． 【解答】解:∵（1+i)x＝1+yi, ∴ｘ+xi=1+yi, 即 ,解得 ，即|x+yi｜=|1+i｜=, 故选：B． 【点评】本题主要考查复数模长的计算,根据复数相等求出x，y的值是解决本题的关键. 第6页（共30页） ) 3.(5分）（201６•新课标Ⅰ）已知等差数列{aｎ}前9项的和为27，ａ10=8,则ａ１00＝（ ) Ａ.100B.99C.98Ｄ.97 【考点】8３：等差数列的性质． 【专题】11 :计算题;４O：定义法；5４ :等差数列与等比数列. 【分析】根据已知可得ａ5=3，进而求出公差，可得答案． 【解答】解：∵等差数列{an｝前9项的和为２7，S9＝∴9ａ5＝２7，a5＝３， 又∵a10=８， ∴d=1， ∴ａ１0０=a５＋95d=９8, 故选:C． 【点评】本题考查的知识点是数列的性质，熟练掌握等差数列的性质，是解答的关键. ＝＝９a5. 4.(5分）(201６•新课标Ⅰ)某公司的班车在7：０0,８:0０,８：３0发车,小明在7:50至８:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ） A.B.C．D． 【考点】CＦ:几何概型. 【专题】5I ：概率与统计. 【分析】求出小明等车时间不超过1０分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案. 【解答】解：设小明到达时间为ｙ, 当y在7:5０至8：00，或８:２0至８:30时, 小明等车时间不超过10分钟, 故P＝故选：B. 【点评】本题考查的知识点是几何概型,难度不大,属于基础题． =， 5．（５分）(20１6•新课标Ⅰ)已知方程﹣=１表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离 第7页（共30页） 为４,则n的取值范围是（ ) Ａ．（﹣１，３)B．（﹣1,）C.(0,３）D.（0，） 【考点】ＫB:双曲线的标准方程. 【专题】11 :计算题；３5 :转化思想；4R:转化法;５Ｄ :圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】由已知可得c＝2,利用4=(m2+n）+(3m２﹣n），解得m2=１,又（m2＋ｎ）（3m２﹣n)>0,从而可求ｎ的取值范围. 【解答】解:∵双曲线两焦点间的距离为4，∴c=2， 当焦点在x轴上时， 可得:4=(m2+n)+(3m２﹣n），解得：ｍ2＝1， ∵方程 ﹣ =１表示双曲线, ∴(m2＋n)（3ｍ2﹣n）>0，可得:(ｎ+１)(3﹣n)＞0， 解得：﹣1＜n<3，即ｎ的取值范围是:(﹣1，3）. 当焦点在y轴上时， 可得:﹣4=（m2+n)+(3m2﹣ｎ)，解得：m２＝﹣1， 无解． 故选:A. 【点评】本题主要考查了双曲线方程的应用，考查了不等式的解法,属于基础题． 6．(5分）(201６•新课标Ⅰ)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是 ,则它的表面积是（ ) A.17πB.１8πC.２0πD．２８π 【考点】L!:由三视图求面积、体积． 【专题】1１ ：计算题；29 ：规律型；3１ ：数形结合;35 :转化思想；５F ：空间位置关系 第8页（共30页） 与距离． 【分析】判断三视图复原的几何体的形状,利用体积求出几何体的半径,然后求解几何体的表面积． 【解答】解：由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体,如图: 可得: = ,R=2． ＝1７π． 它的表面积是：×4π•22+故选:Ａ. 【点评】本题考查三视图求解几何体的体积与表面积,考查计算能力以及空间想象能力. 7.(5分)（２0１６•新课标Ⅰ)函数ｙ=2x2﹣e|ｘ｜在[﹣2,2]的图象大致为（ ) A．B.C．Ｄ． 【考点】３A:函数的图象与图象的变换. 【专题】27 :图表型;4８ ：分析法；51 :函数的性质及应用. 【分析】根据已知中函数的解析式,分析函数的奇偶性，最大值及单调性,利用排除法，可得答案. 【解答】解：∵f（x)=y=2ｘ２﹣e|ｘ｜, ∴f（﹣ｘ）=2（﹣x)2﹣e｜﹣x｜=２x２﹣e|x|, 故函数为偶函数， 当x=±2时,y=8﹣e２∈(0，１）,故排除A,B; 当ｘ∈［０,2]时，f（x）＝y=2ｘ２﹣ｅx， ∴ｆ′（x)=4x﹣ex=０有解， 故函数y=２x2﹣e｜x|在[0,２］不是单调的，故排除C, 故选:D． 第9页（共30页） 【点评】本题考查的知识点是函数的图象，对于超越函数的图象，一般采用排除法解答． 8.(5分）(2016•新课标Ⅰ)若ａ＞b>1,0＜c＜１，则( ） A．ac<ｂｃB．abｃ＜bac C．aｌｏgbc＜blogａcD．ｌｏgaｃ＜ｌogｂc 【考点】72：不等式比较大小；4Ｍ：对数值大小的比较． 【专题】３3 ：函数思想;35 :转化思想;4R：转化法；5１ ：函数的性质及应用;5T :不等式. 【分析】根据已知中a＞ｂ＞１,0＜ｃ<1,结合对数函数和幂函数的单调性,分析各个结论的真假,可得答案． 【解答】解:∵a>b>１，0＜c<1, ∴函数ｆ(ｘ）=ｘc在（0,+∞)上为增函数，故ac>bc,故A错误; 函数f（x）=xｃ﹣1在（0，+∞)上为减函数，故ａc﹣1＜ｂc﹣1，故bac = ＜１,即loｇac>ｌogbc．故D错误； 0<﹣lｏgac＜﹣logbc，故﹣bｌoｇac＜﹣aｌogｂｃ，即bｌｏgac>ａloｇbｃ,即aｌｏgbc＜bloｇａc，故C正确; 故选:C． 【点评】本题考查的知识点是不等式的比较大小,熟练掌握对数函数和幂函数的单调性，是解答的关键． 9．（５分)(201６•新课标Ⅰ）执行如图的程序框图,如果输入的ｘ＝0，y=1,n=1，则输出ｘ，y的值满足( ) 第10页（共30页） A．y=2xB．ｙ＝３xC．y=４xD.y=5x 【考点】EF:程序框图. 【专题】11 :计算题；28 ：操作型；5Ｋ :算法和程序框图. 【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x,ｙ的值,模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况,可得答案． 【解答】解:输入ｘ=0,ｙ＝１,n=1， 则x=0,ｙ=1，不满足x2+ｙ2≥36,故n=2， 则x＝,y＝２，不满足x2＋y２≥3６，故n＝３， 则x=，ｙ=6，满足ｘ2+y２≥３６, 故y=4x, 故选:C． 【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时，常采用模拟循环的方法解答． 10.(5分）（2016•新课标Ⅰ）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点．已知|ＡＢ|＝４,｜DＥ|=2,则C的焦点到准线的距离为( ） Ａ.2B．4Ｃ.6Ｄ.8 【考点】KＪ：圆与圆锥曲线的综合;K8：抛物线的简单性质． 第11页（共30页） 【专题】11 :计算题；２9 ：规律型;３1 :数形结合；35 :转化思想；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】画出图形,设出抛物线方程，利用勾股定理以及圆的半径列出方程求解即可． 【解答】解：设抛物线为y2=2ｐx,如图:|AB｜=4,|AM｜=2， |DE|=2,|DN|=，|ＯN|＝， ｘA＝ ＝, |ＯD|=|OA｜， = ＋5， 解得:p=4． C的焦点到准线的距离为：4． 故选：B． 【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用,抛物线与圆的方程的应用,考查计算能力．转化思想的应用. 11．(5分)(20１6•新课标Ⅰ）平面α过正方体ＡBCD﹣A1B1C1D１的顶点A，α∥平面ＣB1D１,α∩平面AＢＣD=m,α∩平面ＡBB1A1=n，则m、ｎ所成角的正弦值为( ) Ａ． Ｂ． C. D． 【考点】LＭ:异面直线及其所成的角． 【专题】11 :计算题;29 ：规律型；３1 :数形结合;3５ ：转化思想；5G :空间角． 第12页（共30页） 【分析】画出图形,判断出m、n所成角，求解即可. 【解答】解：如图:α∥平面CＢ１D1，α∩平面ＡＢCD＝m,α∩平面ＡBA1B1=n， 可知:n∥CD1,m∥B１Ｄ1，∵△ＣB1D１是正三角形．m、n所成角就是∠CD１Ｂ1＝６0°． 则m、n所成角的正弦值为:故选:A. . 【点评】本题考查异面直线所成角的求法,考查空间想象能力以及计算能力． １2．（5分）（２０1６•新课标Ⅰ）已知函数ｆ（x)=ｓin（ωx＋φ）（ω>0,|φ|≤(x）的零点,x= 为ｙ＝f(x)图象的对称轴,且ｆ（x）在（ , ),ｘ=﹣为ｆ ）上单调,则ω的最大值为（ ) A.11B.9Ｃ．7Ｄ．5 【考点】H6：正弦函数的奇偶性和对称性． 【专题】35 :转化思想;4Ｒ：转化法;５7 ：三角函数的图像与性质． 【分析】根据已知可得ω为正奇数,且ω≤12，结合ｘ=﹣的对称轴,求出满足条件的解析式，并结合f(x）在(【解答】解:∵x=﹣∴ ，即 为f(ｘ)的零点，x= ,(n∈N) , 为f（x）的零点,x= 为y=f（x)图象 ）上单调,可得ω的最大值． 为y=ｆ（x)图象的对称轴， 即ω=2ｎ+1,（n∈N) 即ω为正奇数， ∵f(x)在（ , ）上单调,则 ﹣ = ≤, 第13页（共30页） 即T＝≥，解得：ω≤12, +φ=ｋπ,k∈Z, 当ω=11时,﹣∵|φ|≤∴φ=﹣ , ,, 此时f(x)在（当ω=9时，﹣∵|φ|≤∴φ= , ， )不单调,不满足题意; +φ=kπ,k∈Z， 此时f（x）在（，)单调,满足题意; 故ω的最大值为9, 故选:B. 【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，本题转化困难,难度较大． 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共2０分. １3．(５分）(20１６•新课标Ⅰ）设向量＝（m，1），=(１，2),且|+|2=||2＋|｜２,则m＝ ﹣２ . 【考点】９O：平面向量数量积的性质及其运算． 【专题】11 :计算题；29 ：规律型;３5 ：转化思想；５Ａ :平面向量及应用. 【分析】利用已知条件,通过数量积判断两个向量垂直，然后列出方程求解即可. 【解答】解：|+|2＝||2＋｜|2， 可得•＝０. 向量=(m,1),＝（1，2）， 可得m+2=0,解得ｍ=﹣2. 故答案为:﹣２． 【点评】本题考查向量的数量积的应用,向量的垂直条件的应用,考查计算能力. １4.(5分）（2０16•新课标Ⅰ)（2x+)5的展开式中,x3的系数是 10 .（用数字填写答案) 第14页（共30页） 【考点】DA:二项式定理． 【专题】11 :计算题;34 :方程思想;49 :综合法;５Ｐ ：二项式定理． 【分析】利用二项展开式的通项公式求出第ｒ+1项,令x的指数为3,求出r,即可求出展开式中ｘ3的系数． 【解答】解:(2ｘ＋）５的展开式中，通项公式为:Tr+1=令5﹣＝3,解得ｒ=４ ∴ｘ3的系数2故答案为:1０． 【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力,属于基础题. =２５﹣r, ＝10． 15．（5分）（2016•新课标Ⅰ)设等比数列{an}满足a1＋a３=10,a2+a４=５,则ａ１a2…an的最大值为 ． 【考点】8I:数列与函数的综合;８７:等比数列的性质． 【专题】1１ ：计算题;２９ ：规律型；35 :转化思想;5４ ：等差数列与等比数列. 【分析】求出数列的等比与首项,化简a1a2…an,然后求解最值． 【解答】解:等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5, 可得q（a1＋ａ３)=5，解得ｑ=. ａ1＋q2ａ1=10，解得ａ1＝8. 则a1a2…aｎ=a１n•q１＋2+3+…+(n﹣1）＝8n•当n＝3或4时，表达式取得最大值:故答案为:． 【点评】本题考查数列的性质数列与函数相结合的应用，转化思想的应用，考查计算能力. ==2６=． ＝, 16．(５分)(2016•新课标Ⅰ)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1。5kｇ,乙材料1kg,用５个工时；生产一件产品Ｂ需要甲材料0.5ｋg,乙材料0.3ｋg,用3个工时，生产一件产品A的利润为2１0０元,生产一件产品B的利润为900元.该企业 第15页（共30页） 现有甲材料150kg,乙材料90ｋg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 2１60０0 元． 【考点】７Ｃ:简单线性规划． 【专题】11 ：计算题;29 ：规律型；31 :数形结合;３3 ：函数思想;35 ：转化思想. 【分析】设A、B两种产品分别是x件和y件，根据题干的等量关系建立不等式组以及目标函数,利用线性规划作出可行域,通过目标函数的几何意义，求出其最大值即可； 【解答】解:（1）设Ａ、B两种产品分别是x件和y件,获利为z元． 由题意，得,ｚ=２10０x+９00y． 不等式组表示的可行域如图:由题意可得，解得：，Ａ(60,10０）, 目标函数z=210０x+90０y.经过A时,直线的截距最大,目标函数取得最大值:2１００×60+900×100=216０00元． 故答案为：２16０00． 【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用,二元一次方程组的解法的运用，不等式组解实际问题的运用，不定方程解实际问题的运用,解答时求出最优解是解题的关键. 三、解答题：本大题共5小题,满分60分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(12分)(2016•新课标Ⅰ）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a，b,c，已知2cosＣ(ａｃosB+bｃ 第16页（共30页） ｏsA）=c. (Ⅰ)求C； (Ⅱ)若ｃ＝，△AＢＣ的面积为【考点】HＵ:解三角形． 【专题】15 ：综合题；35 ：转化思想;49 ：综合法；５8 :解三角形． 【分析】(Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简,整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简,根据ｓｉnＣ不为0求出ｃosＣ的值,即可确定出出C的度数； (２)利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式,求出a+ｂ的值，即可求△ABC的周长. 【解答】解:（Ⅰ)∵在△ＡBＣ中,0＜C＜π，∴sinC≠0 已知等式利用正弦定理化简得:2coｓC（sinAcｏsB＋sinBｃｏsＡ)＝sinＣ， 整理得:2cosＣｓｉn（A+B)＝ｓinC， 即2ｃosCｓin（π﹣（A+B)）＝sinC ２ｃｏｓCsｉｎC＝sinC ∴cosC=， ∴C= ; ,求△ABC的周长. （Ⅱ)由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•， ∴（a+b)2﹣３ａb=7, ∵S=ａbsｉnＣ＝∴ａb=6, ∴(a+b）2﹣1８=7， ∴ａ+ｂ＝5, ∴△ＡＢC的周长为５＋. 【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键. aｂ=, 18．(12分)（2０16•新课标Ⅰ）如图，在以A,B，C,D，E,F为顶点的五面体中,面ＡBEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=９0°，且二面角D﹣AＦ﹣E与二面角C﹣BＥ﹣Ｆ都是60°． 第17页（共30页） （Ⅰ）证明平面ＡBEＦ⊥平面EＦＤＣ； (Ⅱ)求二面角E﹣ＢＣ﹣A的余弦值. 【考点】MJ：与二面角有关的立体几何综合题． 【专题】1１ ：计算题;3４ ：方程思想;４9 :综合法;５H :空间向量及应用；５Q :立体几何． 【分析】(Ⅰ)证明ＡF⊥平面EFDC,利用平面与平面垂直的判定定理证明平面AＢEF⊥平面ＥFDC; (Ⅱ）证明四边形EFDC为等腰梯形,以E为原点，建立如图所示的坐标系，求出平面BＥＣ、平面AＢC的法向量,代入向量夹角公式可得二面角Ｅ﹣BC﹣A的余弦值. 【解答】(Ⅰ）证明：∵ABEF为正方形，∴ＡF⊥EF. ∵∠AFD=９0°，∴AF⊥ＤF, ∵DF∩EF=F， ∴AF⊥平面EFDC, ∵AF⊂平面ABEＦ， ∴平面ABEF⊥平面EFDＣ； （Ⅱ）解:由AF⊥DF，AF⊥EF， 可得∠DFＥ为二面角Ｄ﹣AF﹣E的平面角; 由ABEＦ为正方形,AF⊥平面EFDＣ, ∵BE⊥EF, ∴ＢE⊥平面EFＤC 即有ＣE⊥BE, 可得∠CEF为二面角C﹣BE﹣F的平面角． 可得∠ＤＦE=∠CＥF＝６０°. ∵ＡB∥EF，AB⊄平面ＥFＤC,EF⊂平面EFDＣ， ∴AＢ∥平面EFDＣ, ∵平面ＥFDC∩平面AＢCD＝CＤ，ＡＢ⊂平面ABCD， ∴AB∥CD， ∴CD∥EF， 第18页（共30页） ∴四边形ＥFＤC为等腰梯形． 以E为原点,建立如图所示的坐标系，设FＤ=a, 则Ｅ(０，０,0),B(0，2a，0），Ｃ(,0，∴=(0，2a,0),=(，﹣2a, a）,Ａ（２a,2a,0）, a），=(﹣2a，0,0） , 设平面BＥＣ的法向量为=(ｘ１,y1,z1)，则 则,取＝（,0，﹣1）. 设平面ABC的法向量为=(x2，y２，z2）,则， 则，取=（0,,4）. 设二面角E﹣ＢC﹣A的大小为θ,则ｃosθ＝＝ ＝﹣ , . 则二面角Ｅ﹣BC﹣A的余弦值为﹣ 【点评】本题考查平面与平面垂直的证明,考查用空间向量求平面间的夹角，建立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键． 19.（12分)（2016•新课标Ⅰ）某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个20０元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个５０0元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理 第19页（共30页） 了1０0台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图： 以这1０0台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,ｎ表示购买2台机器的同时购买的易损零件 数. （Ⅰ)求X的分布列； (Ⅱ）若要求P(X≤n)≥0.5,确定n的最小值; （Ⅲ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=１9与n＝20之中选其一,应选用哪个? 【考点】CG:离散型随机变量及其分布列. 【专题】11 ：计算题;３5 :转化思想;4９ :综合法;5I :概率与统计． 【分析】（Ⅰ）由已知得X的可能取值为１６，17,18,19，20，２１,2２,分别求出相应的概率,由此能求出Ｘ的分布列. （Ⅱ)由X的分布列求出P(Ｘ≤１8)=的最小值． (Ⅲ）法一：由X的分布列得P(X≤19)=EX2，由此能求出买１9个更合适． 法二：解法二:购买零件所用费用含两部分,一部分为购买零件的费用,另一部分为备件不足时额外购买的费用，分别求出ｎ＝1９时，费用的期望和当ｎ=20时,费用的期望，从而得到买19个更合适. 【解答】解:(Ⅰ)由已知得X的可能取值为16,17,1８,19，2０，2１,22, P(X=16)＝（Ｐ(X=１7)=P(Ｘ=1８）=( )2+２()2＝ , ， )2＝ ， 第20页（共30页） ，P（X≤１9)＝.由此能确定满足P(X≤n）≥０。5中n .求出买1９个所需费用期望EX1和买20个所需费用期望 Ｐ（X=19)=P（X=2０）=Ｐ(Ｘ=２１)=Ｐ(X=22)=∴X的分布列为： X P (Ⅱ)由（Ⅰ)知: 16 =＝ =, ， ， =， 1７ １8 19 ２0 2１ 22 P(X≤18)＝P(X=1６）＋Ｐ（X＝17）＋P(X＝1８） = = ． P（X≤１9）=P（X＝16）+P(X＝1７）＋P(X=18）＋P（Ｘ=１9） = + = ． ∴P（X≤n)≥0.5中,n的最小值为19. (Ⅲ）解法一:由（Ⅰ)得P（X≤１９）＝P（X=1６)+P（X=17）+Ｐ(X=18）+P（X＝１９） ＝ ＋ = . 买19个所需费用期望: EＸ1＝200×３）× ＝404０, +(２００×１9+５00)× +（200×1９+５０0×2）× +(2００×19+500× 买20个所需费用期望: EＸ2=∵ＥX１<ＥX２, ∴买19个更合适． 解法二:购买零件所用费用含两部分,一部分为购买零件的费用， 另一部分为备件不足时额外购买的费用, 当ｎ＝19时，费用的期望为：19×200＋５０0×0。２＋10０0×０.08＋1５0０×0.04＝4０４0, 当ｎ=2０时,费用的期望为：2０×２０0+500×0．０８+10０0×0.４=4080， 第21页（共30页） +(２00×20+500)×+（200×20＋2×500）×=４080, ∴买１9个更合适. 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用,是中档题，解题时要认真审题,注意相互事件概率乘法公式的合理运用． ２0．(１2分)(20１６•新课标Ⅰ)设圆x２+y2+2ｘ﹣１5=0的圆心为A，直线ｌ过点B(1,0)且与ｘ轴不重合，l交圆Ａ于C，D两点,过B作AC的平行线交AD于点Ｅ. （Ⅰ)证明|ＥA｜+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程； (Ⅱ)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C１于M,N两点,过Ｂ且与l垂直的直线与圆Ａ交于Ｐ，Q两点,求四边形ＭＰNQ面积的取值范围. 【考点】KL:直线与椭圆的位置关系；J２：圆的一般方程. 【专题】34 :方程思想;48 :分析法；5B ：直线与圆;5D :圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】(Ⅰ)求得圆Ａ的圆心和半径,运用直线平行的性质和等腰三角形的性质，可得EB＝ＥD，再由圆的定义和椭圆的定义,可得E的轨迹为以Ａ,B为焦点的椭圆，求得a，ｂ，c，即可得到所求轨迹方程; （Ⅱ)设直线l:x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式,可得｜MN|,由PQ⊥l,设ＰQ：ｙ=﹣m（x﹣1)，求得A到PQ的距离,再由圆的弦长公式可得｜PQ｜,再由四边形的面积公式，化简整理，运用不等式的性质,即可得到所求范围． 【解答】解：(Ⅰ)证明:圆x2＋ｙ2+2ｘ﹣15=0即为(x＋1）2+y2=16, 可得圆心A(﹣1，0),半径r=４， 由BE∥AC,可得∠C＝∠EBＤ， 由AC＝AＤ，可得∠D=∠C, 即为∠D=∠EBD,即有EB=ED, 则｜EA|+|EB|=｜EＡ｜＋｜ＥD｜=|ＡＤ｜=4, 故E的轨迹为以A,B为焦点的椭圆， 且有２ａ=４,即a=２，ｃ＝1，b=则点E的轨迹方程为 + =1(y≠０); ＝, (Ⅱ)椭圆C１: +=1，设直线ｌ：x=mｙ+1， 第22页（共30页） 由ＰQ⊥ｌ,设PQ：ｙ=﹣m(x﹣1）, 由 可得（３m2+4）y2+6my﹣9=0， 设M（x１，ｙ１），N（x2,y2）, 可得y1＋y2=﹣则|ＭN｜= ,y１y2=﹣•|ｙ1﹣y2|= , • =•=12•, A到PQ的距离为d==， |ＰＱ|=2=２=, 则四边形MPNQ面积为S=|ＰQ｜•|ＭＮ|=••12• =24•＝２４, 当m=0时，S取得最小值１２,又＞０,可得S＜24•=8， 即有四边形ＭＰNＱ面积的取值范围是[12,８). 【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用椭圆和圆的定义，考查直线和椭圆方程联立，运用 第23页（共30页） 韦达定理和弦长公式,以及直线和圆相交的弦长公式,考查不等式的性质,属于中档题． 21.(１２分）（2016•新课标Ⅰ)已知函数ｆ（ｘ）=(x﹣2）ｅｘ+a(x﹣1）２有两个零点． （Ⅰ)求ａ的取值范围; (Ⅱ）设x1,x2是f（ｘ）的两个零点，证明：x1+x2<2. 【考点】6D：利用导数研究函数的极值;5１:函数的零点． 【专题】3２ ：分类讨论;35 :转化思想;4C ：分类法；4R:转化法；51 ：函数的性质及应用. 【分析】（Ⅰ)由函数ｆ（x)=（x﹣2)ｅｘ+ａ（x﹣1)2可得：f′（ｘ)=(x﹣１）eｘ＋2a（x﹣1)＝（x﹣1）(ex+2a),对a进行分类讨论,综合讨论结果,可得答案. （Ⅱ）设x1，ｘ2是ｆ(x)的两个零点,则﹣ａ= = ,令ｇ（x）＝ ,, 则g(x1)＝g(ｘ２)=﹣a，分析g(ｘ)的单调性,令m＞0,则g（１+m）﹣g（1﹣m）=设h(m)= ，ｍ>０，利用导数法可得h(m)>h(0）=0恒成立，即g(１+m)>g(1﹣m)恒成立， 令m＝１﹣x1＞０,可得结论. 【解答】解:(Ⅰ)∵函数f（x)=(x﹣2）ex+a(x﹣1)2, ∴ｆ′（x)＝(x﹣1)ex＋２ａ（ｘ﹣1)=（x﹣1)(ex+２ａ）, ①若a＝0,那么f（x）=0⇔(ｘ﹣2)ex＝0⇔x=２, 函数f(ｘ）只有唯一的零点2，不合题意; ②若a>0,那么ex+2a＞0恒成立， 当x<1时,f′(x）＜0,此时函数为减函数； 当x>1时,f′(x)>０,此时函数为增函数; 此时当x=1时，函数f（x)取极小值﹣ｅ, 由ｆ(2）=a>０，可得：函数f(x)在x＞1存在一个零点； 当x＜1时,ex＜ｅ,x﹣2＜﹣1＜0, ∴ｆ（x）=(x﹣２）ex+a（x﹣１)2＞(x﹣2)e+a(x﹣1)2=a（x﹣1)2+e（ｘ﹣1）﹣ｅ, 令a(x﹣1)2+ｅ（x﹣1）﹣e=0的两根为t1,t2,且ｔ1<ｔ2, 则当x 即函数f（ｘ）在R是存在两个零点,满足题意； 第24页（共30页） ③若﹣＜a＜0,则ｌn(﹣2a）＜lne=１， 当x 即f′(ｘ)=(x﹣1）(ex+２a)＞0恒成立，故ｆ（x）单调递增, 故当x=ln(﹣２a)时，函数取极大值， 由f（ln(﹣２a))＝[ln（﹣2a）﹣２](﹣2a)+a［ｌn(﹣2ａ)﹣１]２=ａ{［ｌn(﹣2a)﹣2]2+1}＜0得: 函数f（x)在R上至多存在一个零点,不合题意； ④若a=﹣,则ln(﹣2a)=１, 当ｘ＜１=ln（﹣２a）时，x﹣1<0,ｅx+2a＜elｎ（﹣２a)＋2a=0， 即f′（x)=(ｘ﹣1)(eｘ+2a)>0恒成立，故f（x)单调递增， 当x>１时,x﹣１＞０,ex+２a>ｅln(﹣2a)+2a=0， 即f′（ｘ)=(x﹣1)(ｅx+2a）>０恒成立，故f(x）单调递增, 故函数f(x）在Ｒ上单调递增, 函数ｆ(x）在R上至多存在一个零点，不合题意； ⑤若a＜﹣,则lｎ（﹣2a）>lｎe=１， 当x<1时,x﹣1<0，eｘ+２a＜ｅln（﹣2a）+2a=0， 即ｆ′（x)＝(x﹣1）(ex+2a)＞0恒成立,故ｆ（x)单调递增, 当1<ｘ＜ln(﹣2ａ）时,x﹣１>0,ｅx+２a 即ｆ′（x）=（x﹣1)(ex+2a）＞０恒成立,故f（x)单调递增， 故当x=1时,函数取极大值, 由f(1)=﹣e＜０得: 函数f（x）在R上至多存在一个零点,不合题意; 第25页（共30页） ｘ 综上所述，a的取值范围为（0，+∞） 证明:（Ⅱ)∵x1，x２是f（x)的两个零点, ∴f(x1)=f(x２)=0,且x1≠1,且x2≠１, ∴﹣a= ＝ , 令g(x)= ,则ｇ（x1)=g(ｘ2)=﹣a， ∵g′(x)=, ∴当x＜1时，g′(ｘ）<0,g(x）单调递减； 当ｘ＞１时,g′（x）＞0,g（x)单调递增； 设ｍ＞０，则g(1+ｍ)﹣g（１﹣m)＝设h(m）=则h′（m)= ,ｍ＞０， >０恒成立， ﹣ ＝ , 即h(ｍ)在(0,+∞)上为增函数， h（m)>h(0)＝０恒成立， 即g(1+m）＞g（1﹣m）恒成立， 令m=1﹣x1>0, 则ｇ(1+1﹣x1)＞ｇ(1﹣１+ｘ１)⇔g(2﹣x１)>g(x１)=g（ｘ2）⇔2﹣x1＞ｘ2, 即x1+x2＜2． 【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的极值，函数的零点,分类讨论思想，难度较大. 请考生在2２、２3、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分．[选修4-1:几何证明选讲] ２２.(１０分)(2016•新课标Ⅰ)如图,△OＡB是等腰三角形，∠AOB＝120°.以O为圆心，OＡ为半径作圆. （Ⅰ)证明：直线AB与⊙O相切; 第26页（共30页） (Ⅱ）点C，D在⊙Ｏ上,且Ａ,B,C,D四点共圆，证明:AB∥CD. 【考点】N9:圆的切线的判定定理的证明． 【专题】1４ :证明题;35 :转化思想;4９ ：综合法；5M :推理和证明. 【分析】（Ⅰ)设K为ＡB中点,连结ＯＫ.根据等腰三角形ＡＯB的性质知OK⊥AB，∠A=3０°,OK=OＡｓin30°=OＡ，则AB是圆O的切线． (Ⅱ)设圆心为T,证明OＴ为AＢ的中垂线,OT为CD的中垂线,即可证明结论. 【解答】证明:（Ⅰ）设K为ＡB中点,连结OＫ， ∵OA＝OB，∠AＯB=１20°, ∴OＫ⊥AB,∠A=30°,OK=OAsin3０°=OA, ∴直线ＡB与⊙Ｏ相切; （Ⅱ)因为ＯA=2OＤ，所以O不是A，B,Ｃ,D四点所在圆的圆心.设Ｔ是A,B，Ｃ,D四点所在圆的圆心. ∵OＡ＝OB，TA=TB， ∴OT为AB的中垂线, 同理,OＣ=OD，TC＝TD, ∴ＯT为CＤ的中垂线， ∴AＢ∥CD. 【点评】本题考查了切线的判定，考查四点共圆,考查学生分析解决问题的能力．解答此题时，充分利用了等腰三角形“三合一”的性质． [选修４—４：坐标系与参数方程] 23.(２0１6•新课标Ⅰ)在直角坐标系xＯy中,曲线C1的参数方程为在以坐标原点为极点,ｘ轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2：ρ=４ｃosθ. (Ⅰ）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程； （Ⅱ）直线Ｃ3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足ｔaｎα０＝2，若曲线C１与Ｃ2的公共点都在C 第27页（共30页） （ｔ为参数，a>0). ３ 上,求a． 【考点】Q4:简单曲线的极坐标方程;QE：参数方程的概念． 【专题】11 :计算题；35 :转化思想;4A :数学模型法；5Ｓ :坐标系和参数方程． 【分析】(Ⅰ)把曲线C1的参数方程变形,然后两边平方作和即可得到普通方程，可知曲线C1是圆,化为一般式，结合x2＋y２=ρ2，ｙ=ρsinθ化为极坐标方程； (Ⅱ)化曲线C2、C3的极坐标方程为直角坐标方程,由条件可知y=x为圆Ｃ1与C2的公共弦所在直线方程，把C１与C2的方程作差,结合公共弦所在直线方程为y=2x可得1﹣ａ２=0,则a值可求． 【解答】解：(Ⅰ）由 ,得 ,两式平方相加得,ｘ２+（y﹣１)2=a2. ∴C1为以（0，１)为圆心,以a为半径的圆． 化为一般式:ｘ2+y２﹣2y+1﹣a2=0.① 由x2+y2＝ρ2,y=ρsinθ，得ρ2﹣2ρｓiｎθ＋1﹣a2=０; (Ⅱ)C2：ρ=4ｃosθ,两边同时乘ρ得ρ2=4ρcoｓθ, ∴x2+ｙ2=4x,② 即(x﹣2)2+ｙ2＝４． 由C3：θ=α0，其中α０满足tａnα０=2，得y=２x， ∵曲线Ｃ1与Ｃ2的公共点都在C３上, ∴y＝2x为圆C1与C２的公共弦所在直线方程, ①﹣②得:4x﹣2y+１﹣a２=0，即为C３ , ∴１﹣a2=０， ∴a＝1(a>０)． 【点评】本题考查参数方程即简单曲线的极坐标方程，考查了极坐标与直角坐标的互化，训练了两圆公共弦所在直线方程的求法,是基础题． [选修4-5：不等式选讲] 24．(2016•新课标Ⅰ)已知函数f（x)=｜x+１｜﹣｜2ｘ﹣3|. （Ⅰ)在图中画出ｙ=f（x)的图象; (Ⅱ)求不等式|f（ｘ）|＞1的解集． 第28页（共30页） 【考点】&２:带绝对值的函数;３A：函数的图象与图象的变换． 【专题】３5 ：转化思想；４8 :分析法;５9 ：不等式的解法及应用. 【分析】(Ⅰ）运用分段函数的形式写出f（x)的解析式，由分段函数的画法,即可得到所求图象; (Ⅱ)分别讨论当x≤﹣1时，当﹣1 由分段函数的图象画法，可得ｆ（x)的图象，如右: (Ⅱ)由｜f(x）|>1,可得 当ｘ≤﹣1时，｜x﹣４|＞1,解得ｘ＞５或x<3,即有x≤﹣１； 当﹣1＜x＜时,｜3x﹣２|>1，解得x＞１或x<, 即有﹣１＜ｘ<或１＜ｘ＜; 当x≥时,|4﹣x|>1,解得x>5或x<3,即有x>５或≤x＜3. 综上可得，ｘ＜或１＜x＜3或x>5. 则|ｆ（x）｜>1的解集为(﹣∞,）∪(1，3)∪(5,＋∞）． 第29页（共30页） 【点评】本题考查绝对值函数的图象和不等式的解法，注意运用分段函数的图象的画法和分类讨论思想方法,考查运算能力,属于基础题. 第30页（共30页）
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