平面向量
一.向量的基本概念与基本运算
1向量的概念：
①向量：既有大小又有方向的量向量一般用a,b,c……来表示，或用有向线段的起点与终
点的大写字母表示，如：AB几何表示法 AB，a；坐标表示法axiyj(x,y) 向
量的大小即向量的模（长度），记作|AB|即向量的大小，记作｜a｜ 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．
②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行零向量a＝0
｜a｜＝0 由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）
的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量 向量a0为单位向量｜a0｜＝1 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a∥b由于向量可以进行任意的平移(即
自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为ab大小相等，方向相同(x1,y1)(x2,y2)x1x2 y1y22向量加法
求两个向量和的运算叫做向量的加法 设ABa,BCb，则a+b=ABBC=AC （1）0aa0a；（2）向量加法满足交换律与结合律；
向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：
（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：
ABBCCDPQQRAR，但这时必须“首尾相连”．
3向量的减法
① 相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量
记作a,零向量的相反向量仍是零向量 关于相反向量有： （i）(a)=a； (ii) a+(a)=(a)+a=0； (iii)若a、b是互为相反向量，则a=b,b=a,a+b=0 ②向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，
记作：aba(b)求两个向量差的运算，叫做向量的减法 ③作图法：ab可以表示为从b的终点指向a的终点的向量（a、b有共同起点） 4实数与向量的积：
①实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：
（Ⅰ）aa；
（Ⅱ）当0时，λa的方向与a的方向相同；当0时，λa的方向与a的方向
相反；当0时，a0，方向是任意的 ②数乘向量满足交换律、结合律与分配律 5两个向量共线定理：
向量b与非零向量a共线有且只有一个实数，使得b=a 6平面向量的基本定理：
如果e1,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1,2使：a1e12e2，其中不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 7 特别注意:
（1）向量的加法与减法是互逆运算 （2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件 （3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况 （4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关 二.平面向量的坐标表示 1平面向量的坐标表示：
在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a可表示成axiyj，由于a与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)，其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标 (1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量 (2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关 2平面向量的坐标运算：
(1) 若ax1,y1,bx2,y2，则abx1x2,y1y2 (2) 若Ax1,y1,Bx2,y2，则ABx2x1,y2y1 (3) 若a=(x,y)，则a=(x, y)
(4) 若ax1,y1,bx2,y2，则a//bx1y2x2y10 (5) 若ax1,y1,bx2,y2，则abx1x2y1y2
若ab，则x1x2y1y20
3向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质
运算类型 向 量 的 加 法 向 量 的 减 法 几何方法 1平行四边形法则 2三角形法则 坐标方法 运算性质 ab(x1x2,y1y2) abba (ab)ca(bc) ABBCAC 三角形法则 ab(x1x2,y1y2) aba(b) ABBA OBOAAB 向 量 的 乘 法 a是一个向量, 满足: a(x,y) (a)()a ()aaa (ab)ab >0时,a与a同向; <0时,a与a异向; a∥bab =0时, a=0 向 量 的 数 量 积 a•b是一个数 a•bx1x2y1y2 a•bb•a (a)•ba•(b)(a•b) (ab)•ca•cb•c a0或b0时, a•b=0 a0且b0时, a•b|a||b|cosa,b a2|a|2,|a|x2y2 |a•b||a||b|
三．平面向量的数量积 1两个向量的数量积：
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则a·b=︱a︱·︱b︱cos叫做a与b的数量积（或内积） 规定0a0 2向量的投影：︱b︱cos=
ab∈R，称为向量b在a方向上的投影投影的绝对值称|a|为射影 3数量积的几何意义：a·b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积 4向量的模与平方的关系：aaa2|a|2 5乘法公式成立：
ababa2b2ab；
22ab2a2abba2abb
22226平面向量数量积的运算律：
①交换律成立：abba
R
③分配律成立：abcacbccab 特别注意：（1）结合律不成立：abcabc；
②对实数的结合律成立：ababab（2）消去律不成立abac不能得到bc
（3）ab=0不能得到a=0或b=0 7两个向量的数量积的坐标运算：
已知两个向量a(x1,y1),b(x2,y2)，则a·b=x1x2y1y2 8向量的夹角：已知两个非零向量a与b，作OA=a, OB=b,则∠AOB=
（001800）叫做向量a与b的夹角 cos=cosa,ba•ba•b=
x1x2y1y2x1y1x2y20
2222 当且仅当两个非零向量a与b同方向时，θ=0，当且仅当a与b反方向时θ=180，同时0与
0
其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题 9垂直：如果a与b的夹角为90则称a与b垂直，记作a⊥b 0
10两个非零向量垂直的充要条件： a⊥ba·b＝Ox1x2y1y20平面向量数量积的性质
题型1.基本概念判断正误：
（1）共线向量就是在同一条直线上的向量.
（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点. （3）与已知向量共线的单位向量是唯一的.
（4）四边形ABCD是平行四边形的条件是ABCD. （5）若ABCD，则A、B、C、D四点构成平行四边形.
（6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量. （7）若a与b共线， b与c共线，则a与c共线. （8）若mamb，则ab. （9）若mana，则mn.
（10）若a与b不共线，则a与b都不是零向量. （11）若ab|a||b|，则a//b. （12）若|ab||ab|，则ab. 题型2.向量的加减运算
1.设a表示“向东走8km”, b表示“向北走6km”,则|ab| . 2.化简(ABMB)(BOBC)OM .
3.已知|OA|5,|OB|3,则|AB|的最大值和最小值分别为 、 .
4.已知AC为AB与AD的和向量，且ACa,BDb，则AB ，AD . 5.已知点C在线段AB上，且AC题型3.向量的数乘运算
1.计算：（1）3(ab)2(ab) （2）2(2a5b3c)3(2a3b2c) 2.已知a(1,4),b(3,8)，则3a题型4.作图法球向量的和
已知向量a,b，如下图，请做出向量3a3AB,则AC BC，AB BC. 51b . 213b和2ab.
22a b
题型5.根据图形由已知向量求未知向量
AC表示AD. 1.已知在ABC中，D是BC的中点，请用向量AB，2.在平行四边形ABCD中，已知ACa,BDb，求AB和AD.
题型6.向量的坐标运算
1.已知AB(4,5)，A(2,3)，则点B的坐标是 .
2.已知PQ(3,5)，P(3,7)，则点Q的坐标是 .
3.若物体受三个力F,2),F2(2,3),F3(1,4),则合力的坐标为 . 1(14.已知a(3,4)，b(5,2)，求ab，ab，3a2b.
5.已知A(1,2),B(3,2),向量a(x2,x3y2)与AB相等，求x,y的值. 6.已知AB(2,3)，BC(m,n)，CD(1,4)，则DA . 7.已知O是坐标原点，A(2,1),B(4,8)，且AB3BC0，求OC的坐标.
题型7.判断两个向量能否作为一组基底
1.已知e1,e2是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底： A.e1e2和e1e2 B.3e12e2和4e26e1 C.e13e2和e23e1 D.e2和e2e1 2.已知a(3,4)，能与a构成基底的是（ ） A.(,) B.(,) C.(,) D.(1,) 题型8.结合三角函数求向量坐标
1.已知O是坐标原点，点A在第二象限，|OA|2，xOA150，求OA的坐标. 2.已知O是原点，点A在第一象限，|OA|43，xOA60，求OA的坐标.
题型9.求数量积
1.已知|a|3,|b|4，且a与b的夹角为60，求（1）ab，（2）a(ab)， （3）(a
2.已知a(2,6),b(8,10)，求（1）|a|,|b|，（2）ab，（3）a(2ab)， （4）(2ab)(a3b).
345543553545431（4）(2ab)(a3b). b)b，
2
题型10.求向量的夹角
1.已知|a|8,|b|3，ab12，求a与b的夹角. 2.已知a(3,1),b(23,2)，求a与b的夹角. 3.已知A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)，求cosBAC. 题型11.求向量的模
1.已知|a|3,|b|4，且a与b的夹角为60，求（1）|ab|，（2）|2a3b|.
2.已知a(2,6),b(8,10)，求（1）|a|,|b|，（5）|ab|，（6）|a
1b|. 2|b|2，|3a2b|3，求|3ab|. 3.已知|a|1，
题型12.求单位向量 【与a平行的单位向量：e1.与a(12,5)平行的单位向量是 . 2.与m(1,)平行的单位向量是 . 题型13.向量的平行与垂直
1.已知a(6,2)，b(3,m)，当m为何值时，（1）a//b？（2）ab？
2.已知a(1,2)，b(3,2)，（1）k为何值时，向量kab与a3b垂直？ （2）k为何值时，向量kab与a3b平行？
3.已知a是非零向量，abac，且bc，求证：a(bc).
a】 |a|12题型14.三点共线问题
1.已知A(0,2)，B(2,2)，C(3,4)，求证：A,B,C三点共线.
2.设AB
3.已知ABa2b,BC5a6b,CD7a2b，则一定共线的三点是 . 4.已知A(1,3)，B(8,1)，若点C(2a1,a2)在直线AB上，求a的值.
5.已知四个点的坐标O(0,0)，A(3,4)，B(1,2)，C(1,1)，是否存在常数t，使
2(a5b),BC2a8b,CD3(ab)，求证：A、B、D三点共线. 2OAtOBOC成立？
题型15.判断多边形的形状
1.若AB3e，CD5e，且|AD||BC|,则四边形的形状是 . 2.已知A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0,2)，证明四边形ABCD是梯形.
3.已知A(2,1)，B(6,3)，C(0,5)，求证：ABC是直角三角形.
4.在平面直角坐标系内，OA(1,8),OB(4,1),OC(1,3),求证：ABC是等腰直角三角形.
题型16.平面向量的综合应用
1.已知a(1,0)，b(2,1)，当k为何值时，向量kab与a3b平行？ 2.已知a(3,5)，且ab，|b|2，求b的坐标.
3.已知a与b同向，b(1,2)，则ab10，求a的坐标.
3.已知a(1,2)，b(3,1)，c(5,4)，则c a b. 4.已知a(5,10)，b(3,4)，c(5,0)，请将用向量a,b表示向量c.
5.已知a(m,3)，b(2,1)，（1）若a与b的夹角为钝角，求m的范围； （2）若a与b的夹角为锐角，求m的范围.
6.已知a(6,2)，b(3,m)，当m为何值时，（1）a与b的夹角为钝角？（2）a与b的夹角为锐角？
7.已知梯形ABCD的顶点坐标分别为A(1,2)，B(3,4)，D(2,1)，且AB//DC，
AB2CD，求点C的坐标.
8.已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(2,1)，B(1,3)，C(3,4)，求第四个顶点D的坐标.
9.一航船以5km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30角，求水流速度与船的实际速度.
10.已知ABC三个顶点的坐标分别为A(3,4)，B(0,0)，C(c,0)， （1）若ABAC0，求c的值；（2）若c5，求sinA的值.
【备用】
1.已知|a|3,|b|4,|ab|5，求|ab|和向量a,b的夹角.
2.已知xab，y2ab，且|a||b|1，ab，求x,y的夹角的余弦. 1.已知a(1,3),b(2,1)，则(3a2b)(2a5b) .
4.已知两向量a(3,4),b(2,1)，求当axb与ab垂直时的x的值. 5.已知两向量a(1,3),b(2,)，a与b的夹角为锐角，求的范围. 变式：若a(,2),b(3,5)，a与b的夹角为钝角，求的取值范围. 选择、填空题的特殊方法： 1.代入验证法
例：已知向量a(1,1),b(1,1),c(1,2)，则c（ ） A.13133131ab B.ab C.ab D.ab 222222222.排除法
例：已知M是ABC的重心，则下列向量与AB共线的是（ ）
A.AMMBBC B.3AMAC C.ABBCAC D.AMBMCM