高一数学《平面向量》复习知识点

1、向量有关概念：

（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。

如已知A（1,2），B（4,2），则把向量AB按向量a＝（－1,3）平移后得到的向量是_____

（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；

（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是

AB|AB|)；

（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；

（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a∥b，规定零向量和任何向量平行。

提醒：

①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；

②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；

③平行向量无传递性！（因为有0)；

AC共线； ④三点A、B、C共线AB、

1

（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是－a。

如下列命题：

（1）若

ab，则ab。

（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。

（3）若ABDC，则ABCD是平行四边形。

（4）若ABCD是平行四边形，则ABDC。

（5）若ab,bc，则ac。

（6）若a//b,b//c，则a//c。其中正确的是______

2、向量的表示方法：

（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；

（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；

（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，则平面内的任一向量a可表示为

axiyjx,y，称x,y为向量a的坐标，a＝x,y叫做向量a的坐标表示。如果向

量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

3.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有

2

且只有一对实数1、2，使a=1e1＋2e2。

如（1）若a(1,1),b(1,1),c(1,2)，则c______

（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是

A. e1(0,0),e2(1,2) B. e1(1,2),e2(5,7) C. e1(3,5),e2(6,10) D.

13e1(2,3),e2(,)24

（3）已知AD,BE分别是ABC的边BC,AC上的中线,且ADa,BEb,则BC可用向量a,b表示为_____

（4）已知ABC中，点D在BC边上，且CD2DB，CDrABsAC，则rs的值是___

4、实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：

1aa,2当>0时，a的方向与a的方向相同，当<0时，a的方向与a的方向相反，当＝0

时，a0，注意：a≠0。

5、平面向量的数量积：

（1）两个向量的夹角：对于非零向量a，b，作OAa,OBb，AOB

0称为向量a，b的夹角，当＝0时，a，b同向，当＝时，a，b反向，当＝2时，a，b垂

直。

（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量a，b，它们的夹角为，我们把数量|a||b|cos叫做a与b的数

3

量积（或内积或点积），记作：a•b，即a•b＝是一个实数，不再是一个向量。

abcos。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积

如（1）△ABC中，|AB|3，|AC|4，|BC|5，则ABBC_________

的夹角为4，则k等于____

11a(1,),b(0,),cakb,dab22（2）已知，c与d（3）已知

a2,b5,ab3，则

ab等于____

（4）已知a,b是两个非零向量，且

abab，则a与ab的夹角为____

（3）b在a上的投影为|b|cos，它是一个实数，但不一定大于0。

如已知|a|3，|b|5，且ab12，则向量a在向量b上的投影为______

（4）a•b的几何意义：数量积a•b等于a的模|a|与b在a上的投影的积。

（5）向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为，则：

①aba•b0；

②当a，b同向时，a•b＝

ab，特别地，

aa•aa,aa222；当a与b反向时，a•b＝－

ab；当为

b不同向，ab0是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，a•b＜0，且a、 b不反锐角时，a•b＞0，且a、向，ab0是为钝角的必要非充分条件；

4

cosa•bab③非零向量a，b夹角的计算公式：；④|a•b||a||b|。

如（1）已知a(,2)，b(3,2)，如果a与b的夹角为锐角，则的取值范围是______

13S2，则OF,FQ夹角的取值范围是_________（答：（2）已知OFQ的面积为S，且OFFQ1，若2(,)43）；

（3）已知a(cosx,sinx),b(cosy,siny),a与b之间有关系式

kab3akb,其中k0，①用k表示ab；②求ab的

1k21ab(k0)ab4k最小值，并求此时与的夹角的大小（答：①；②最小值为2，60）

6、向量的运算：

（1）几何运算：

①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设ABa,BCb，那么向量AC叫做a与b的和，即abABBCAC；

②向量的减法：用“三角形法则”：设ABa,ACb,那么abABACCA，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。

如（1）化简：①ABBCCD___；②ABADDC____；③(ABCD)(ACBD)_____

（2）若正方形ABCD的边长为1，ABa,BCb,ACc，则|abc|＝_____

5

OBOCOBOC2OA（3）若O是ABC所在平面内一点，且满足，则ABC的形状为____

|AP|（4）若D为ABC的边BC的中点，ABC所在平面内有一点P，满足PABPCP0，设|PD|，则的

值为___

（5）若点O是△ABC的外心，且OAOBCO0，则△ABC的内角C为____

（2）坐标运算：设a(x1,y1),b(x2,y2)，则：

①向量的加减法运算：ab(x1x2，y1y2)。

如（1）已知点A(2,3),B(5,4)，C(7,10)，若APABAC(R)，则当＝____时，点P在第一、三象限的角平分线上

1A(2,3),B(1,4),且AB(sinx,cosy)x,y(,)222，则xy （2）已知，

（3）已知作用在点A(1,1)的三个力F1(3,4),F2(2,5),F3(3,1)，则合力FF1F2F3的终点坐标是 （答：（9,1））

ax1,y1x1,y1②实数与向量的积：。

③若A(x1,y1),B(x2,y2)，则

ABx2x1,y2y1，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减

1ACAB3去起点坐标。如设A(2,3),B(1,5)，且，AD3AB，则C、D的坐标分别是__________

6

④平面向量数量积：a•bx1x2y1y2。如已知向量a＝（sinx，cosx）, b＝（sinx，sinx）, c＝（－1，0）。

31[,]（1）若x＝3，求向量a、c的夹角；（2）若x∈84，函数f(x)ab的最大值为2，求的值

22222|a|xy,a|a|xy⑤向量的模：。如已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a3b|＝_____

2⑥两点间的距离：若

Ax1,y1,Bx2,y2，则

|AB|x2x1y2y1。如如图，在平面斜坐标系xOy中，

22xOy60，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若OPxe1ye2，其中e1,e2分别为与x轴、y

轴同方向的单位向量，则P点斜坐标为(x,y)。

（1）若点P的斜坐标为（2，－2），求P到O的距离｜PO｜；

（2）求以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程。；

7、向量的运算律：

aaa•bb•aabba（1）交换律：，，；

(2)结合律：

abcabc,abcabc，a•ba•ba•b；

ab•ca•cb•c，。

（3）分配律：

aaa,abab2a(bc)abaca(bc)(ab)c|a|(ab)如下列命题中：① ；② ；③

2 7

2aaabcb,2|a||b||b|2；aca0b0ab0a④ 若，则或；⑤若则；⑥；⑦

22abba2(ab)ab；⑧

22；

2(ab)a2abb⑨

22。其中正确的是______

提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即a(b•c)(a•b)c，为什么？

8、向量平行(共线)的充要条件：

a//bab(ab)2(|a||b|)2x1y2y1x2＝0。 如(1)若向量a(x,1),b(4,x)，当x＝_____时a与b共线且方向相同

（2）已知a(1,1),b(4,x)，ua2b，v2ab，且u//v，则x＝______；

（3）设PA(k,12),PB(4,5),PC(10,k)，则k＝_____时，A,B,C共线

(ABAC9、向量垂直的充要条件：abab0|ab||ab| x1x2y1y20.特别地

ABAC)(ABABACAC)。如(1)已知OA(1,2),OB(3,m)，若OAOB，则m （2）以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，B90，则点B的坐标是________

（3）已知n(a,b),向量nm，且

nm，则m的坐标是________

10.线段的定比分点：

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PP2，1（1）定比分点的概念：设点P是直线P1P2上异于P1、P2的任意一点，若存在一个实数 ，使PP12所成的比，P点叫做有向线段PP12的以定比为的定比分点； 则叫做点P分有向线段PP（2）的符号与分点P的位置之间的关系：

当P点在线段 P1P2上时>0；

当P点在线段 P1P2的延长线上时<－1；当P点在线段P2P1的延长线上时10；

112所成的比为，则点P分有向线段P2P1所成的比为。 若点P分有向线段PP3如若点P分AB所成的比为4，则A分BP所成的比为_______

xy12所成的比为，则（3）线段的定比分点公式：设P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，P(x,y)分有向线段PPx1x21y1y21，

x1x2x2yy1y22特别地，当＝1时，就得到线段P1P2的中点公式

(x1,y1)。在使用定比分点的坐标公式时，应明确(x,y)，

、(x2,y2)的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，

分点和终点，并根据这些点确定对应的定比。

1MPMN3如（1）若M（-3，-2），N（6，-1），且，则点P的坐标为_______

1yax（2）已知A(a,0),B(3,2a)，直线2与线段AB交于M，且AM2MB，则a等于_______

9

xxhah,kP(x,y)P(x,y)11.平移公式：如果点按向量平移至，则yyk；曲线f(x,y)0按向量ah,k平移

得曲线f(xh,yk)0.

注意：（1）函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？

（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！

如（1）按向量a把(2,3)平移到(1,2)，则按向量a把点(7,2)平移到点______

（2）函数ysin2x的图象按向量a平移后，所得函数的解析式是ycos2x1，则a＝________

12、向量中一些常用的结论：

（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；

b同向或有0|ab||a||b| （2）||a||b|||ab||a||b|，特别地，当a、 b反向或有0|ab||a||b|||a||b|||ab|； b不共线||a||b|||ab||a||b|(这||a||b|||ab|；当a、当a、些和实数比较类似).

xxxyy2y3G123,1Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y333。如若⊿ABCABC（3）在中，①若，则其重心的坐标为

的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、 （-1，-1），则⊿ABC的重心的坐标为_______

PG1(PAPBPC)G为ABC的重心，特别地PAPBPC0P为ABC的重心； 3②

10

③PAPBPBPCPCPAP为ABC的垂心；

④向量

(ABAC)(0)|AB||AC|所在直线过ABC的内心(是BAC的角平分线所在直线)；

⑤|AB|PC|BC|PA|CA|PB0PABC的内心；

12所成的比为，（3）若P分有向线段PP点M为平面内的任一点，则

MPMP1MP21，特别地P为P1P2的中点

MPMP1MP22；

、B、C共线存在实数、使得PAPBPC且1.如平面直角坐标 PB、 PC中三终点A（4）向量PA、系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(1,3),若点C满足OC1OA2OB,其中1,2R且121,则点C的轨迹是_______（答：直线AB）

1．已知O,A,B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2ACCB0，则OC=（ ）

2112OAOBOAOB33A．2OAOB B. OA2OB C.3 D. 3

2．设a(1,2),b(3,4),c(3,2)，则(a2b)c=（ ）

A．(15,12) B. 0 C.3 D. 11

3．已知向量a(2,3),b(3,)，若ab，则等于（ ）

292A．3 B. 2 C.2 D. 3

11

4．已知两点M(2,0),N(2,0)，点P为坐标平面内的动点，满足方程为（ ）

MNMPMNNP0，则动点P(x,y)的轨迹

2222y8xy8xy4xyA． B. C. D. 4x

333S,42，则AB与BC夹角的取值范围是（ ） 5．在ABC中，ABBC3，ABC的面积

,4A．3 B. ,,6 C.3 D. ,32

6．已知i与j为互相垂直的单位向量，ai2j,bij，且a与b的夹角为锐角，则实数的取值范围是（ ）

1,2(2,)2 B. A．

2212,,,33 D. 2 C.1,2 11



A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab0)ab= ． 7．若三点共线，则

aba(1,0),b(cos,sin),08．设向量其中，则的最大值是 ．

9．设i,j是平面直角坐标系内x轴、y轴正方向上的单位向量，且AB4i2j,AC3i4j，则ABC面积的值等于 ．

10．已知向量a与b的夹角为120，

0a1,b3，则

5ab= ．

12

11．设A,B为圆xy1上两点，O为坐标原点（A,O,B不共线）

22⑴求证：OAOB与OAOB垂直．⑵当

xOA,xOB,,OAOB3444且5时，求sin的

13