山东春季高考数学基础知识点

中职数学基础知识汇总

预备知识：

1.完全平方和（差）公式： (a+b)=a+2ab+b (a-b)=a-2ab+b 2.平方差公式： a-b=(a+b)(a-b)

3.立方和（差）公式： a+b=(a+b)(a-ab+b) a-b=(a-b)(a+ab+b)

3

3

2

2

3

3

2

2

2

22

2

2

2

2

2

第一章 集合

1. 构成集合的元素必须满足三要素：确定性、互异性、无序性。 2. 集合的三种表示方法：列举法、描述法、图像法（文氏图）。

3. 常用数集：N（自然数集）、Z（整数集）、Q（有理数集）、R（实数集）、N（正整数集） 4. 元素与集合、集合与集合之间的关系：

（1） 元素与集合是“”与“”的关系。 （2） 集合与集合是“Í” “”“=”“/Í”的关系。

注：（1）空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集。（做题时多考虑Ф是否满足题意） （2）一个集合含有n个元素，则它的子集有2个，真子集有2-1个，非空真子集有2-2个。 5. 集合的基本运算（用描述法表示的集合的运算尽量用画数轴的方法） （1）A（2）An

n

n

+

B={x|x挝A且xB={x|x挝A或xB}：A与B的公共元素组成的集合

B}：A与B的所有元素组成的集合（相同元素只写一次）。

（3）CUA：U中元素去掉A中元素剩下的元素组成的集合。 注：CU(AB)CUACUB CU(AB)=CUACUB

6. 会用文氏图表示相应的集合，会将相应的集合画在文氏图上。 7. 充分必要条件:p是q的……条件 p是条件，q是结论

如果pq，那么p是q的充分条件;q是p的必要条件. 如果pq，那么p是q的充要条件

第二章 不等式

1. 不等式的基本性质：（略）

注：（1）比较两个实数的大小一般用比较差的方法；另外还可以用平方法、倒数法。 （2）不等式两边同时乘以负数要变号！！

（3）同向的不等式可以相加（不能相减），同正的同向不等式可以相乘。 2. 重要的不等式：

（1）ab2ab，当且仅当a22b时，等号成立。

（3） b时，等号成立。

（2）ab2ab(a,bR)，当且仅当a注：

ab（算术平均数）ab（几何平均数） 23. 一元一次不等式的解法（略）

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4. 一元二次不等式的解法 （1） 保证二次项系数为正

（2） 分解因式（十字相乘法、提取公因式、求根公式法），目的是求根： （3） 定解：（口诀）大于取两边，小于取中间。 5. 绝对值不等式的解法 若a|x|aaxa 0，则|x|axa或xa分式不等式的解法：与二次不等式的解法相同。注：分母不能为0.

第三章 函数

1. 函数

（1）定义：设A、B是两个非空数集,如果按照某种对应法则f,对A内任一个元素x,在B中总有一个且只

有一个值y与它对应,则称f是集合A到B的函数,可记为:f:A→B,或f:x→y.其中A叫做函数f的定义域.函数f在xa的函数值,记作f(a),函数值的全体构成的集合C(C⊆B),叫做函数的值域.

（2）函数的表示方法：列表法、图像法、解析法。

注：在解函数题时可以画出图像，运用数形结合的方法可以使大部分题目变得更简单。 2. 函数的三要素：定义域、值域、对应法则

（1） 定义域的求法：使函数（的解析式）有意义的x的取值范围

主要依据：分母不能为0，偶次根式的被开方式0，

特殊函数定义域：yx,x0 ya,(a0且a1),xR ylogax,(a0且a1),x0 （2） 值域的求法：

0xy的取值范围

① 正比例函数：ykx 和 一次函数：ykxb的值域为R

② 二次函数：yaxbxc的值域求法：配方法。如果x的取值范围不是R则还需画图像 ③ 反比例函数：y21的值域为{y|y0} x④ 另求值域的方法：换元法、不等式法、数形结合法、函数的单调性等等。 （3） 解析式求法：在求函数解析式时可用换元法、构造法、待定系数法等。 3. 函数图像的变换 （1） 平移

yf(x)向右平移向左平移yf(xa) yf(xa) yf(x)a个单位a个单位yf(x)向上平移向下平移yf(x)a yf(x)yf(x)a

a个单位a个单位 专业 知识分享

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（2） 翻折

yf(x)沿x轴保留x轴上方图像yf(x) yf(x)y|f(x)|

上、下对折下方翻折到上方4. 函数的奇偶性

（1） 定义域关于原点对称 （2） 若f(x)f(x)注：①若奇函数在x奇 若f(x)f(x)偶

0处有意义，则f(0)0

0）为偶函数

②常值函数f(x)a（a③f(x)0既是奇函数又是偶函数 5. 函数的单调性

f(x1)f(x2),称f(x)在[a,b]上为增函数对于x1、x2[a,b]且x1x2，若

f(x)f(x),称f(x)在[a,b]上为减函数12增函数：x值越大，函数值越大；x值越小，函数值越小。

减函数：x值越大，函数值反而越小；x值越小，函数值反而越大。 6. 二次函数

（1）二次函数的三种解析式

①一般式：f(x)axbxc（a220）

，其中(k,h)为顶点 0）

，其中x1、x2是f(x)0的两根 0）

②顶点式：f(x)a(xk)h （a③两根式：f(x)a(xx1)(xx2) （a（2）图像与性质

二次函数的图像是一条抛物线，有如下特征与性质： ① 开口 a0开口向上 a0开口向下

b4acb2b,) ② 对称轴：x 顶点坐标：(2a4a2ab0有两交点xx21a ③ 与x轴的交点：0有1交点 ④ 根与系数的关系：（韦达定理）c0无交点x1x2a⑤f(x)axbxc为偶函数的充要条件为b0 ⑥二次函数（二次函数恒大（小）于0）

2a0a0f(x)0图像位于x轴上方 f(x)0图像位于x轴下方

00 专业 知识分享

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⑦若二次函数对任意x都有f(tx)f(tx)，则其对称轴是xt。

第四章 指数函数与对数函数

1. 指数幂的性质与运算 （1）根式的性质：

①n为任意正整数，(na)na ②当n为奇数时，nana；当n为偶数时，nan|a|

③零的任何正整数次方根为零；负数没有偶次方根。 （2） 零次幂：a1 (a0) （3） 负数指数幂：a（4） 分数指数幂：an01* (a0,nN) namnnam (a0,m,nN且n1)

（5） 实数指数幂的运算法则：(a0,m,nR)

①aaamnmn ②(a)amnmn ③(ab)ab

nnn2. 幂运算时，注意将小数指数、根式都统一化为分数指数；一般将每个数都化为最小的一个数的n次方。

当a0时，yxa在（0，）上单调递增3. 幂函数yx a）上单调递减当a0时，yx在（0，a4. 指数与对数的互化：abNlogaNb (a0且a1) 、 (N0)

logaN5. 对数基本性质： ①logaa1 ②loga10 ③aN ④logaaNN 1

logba⑤logab与logba互为倒数logablogba1logab⑥logambnnlogab m6. 对数的基本运算：

loga(MN)logaMlogaN loga7. 换底公式：logaMlogaMlogaN NNlogbN (b0且b1)

logba对数函数 8. 指数函数、对数函数的图像和性质

定 义 指数函数 yax(a0,a1的常数) ylogax(a0,a1的常数) 专业 知识分享

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图 像 性 质 （3）(1) xR,y0 (2) 图像经过(0,1)点 (1) x0,yR (2) 图像经过(1,0)点 a1,yax在R上为增函数；x0a1,ya在R上为减函数。 （3）a1,ylogax在(0,)上为增函数；0a1,ylogax在(0,)上为减函数 9. 利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性比较两个数的大小，将其变为同底、同幂（次）或用换底公式或是利用

中间值0，1来过渡。

10. 指数方程和对数方程：指数式和对数式互化 同底法 换元法 ④取对数法

注：解完方程要记得验证根是否是增根，是否失根。

第五章 数列

定 义 注：当公差d通项公式 推 论 （1）d等差数列 每一项与前一项之差为同一个常数 等比数列 每一项与前一项之比为同一个常数 a2a1a3a2anan1d aa2a3nq(q0) a1a2an1注：等比数列各项及公比均不能为0； 当公比为1时，数列为常数列 0时，数列为常数列 ana1(n1)d ana1qn1 （1）qnmanam nman am（2）anam(nm)d （3）若mn（2）anamqnm pq，则amanapaq （3）若mnpq，则amanapaq 三个数a、b、c成等比数列，则有 中项公式 前三个数a、b、c成等差数列，则有 2bacbac 2b2ac a1(1qn)a1anqSn（q1） 1q1qn(a1an)n(n1)项和Snna1d 22公式 专业 知识分享

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1. 已知前n项和Sn的解析式，求通项an

(n1)S1an

SS(n2)n1n2. 弄懂等差、等比数通项公式和前n项和公式的证明方法。（见教材）

第六章 三角函数

1. 弧度和角度的互换

180o弧度 1o180弧度0.01745弧度 1弧度(180)o57o18'

2. 扇形弧长公式和面积公式

L扇||r S扇111Lr||r2 （记忆法：与SABCah类似） 2223. 任意三角函数的定义：

sin对边y邻边x对边y= cos = tan= 斜边r斜边r邻边x4. 特殊三角函数值

 sin 000 6300 4450 3600 2900 0 24 20 1 23 22 22 21 3 21 23 4 20 2不存在 cos tan 3 35. 三角函数的符号判定 （1） （2）

口诀：一全二正弦，三切四余弦。（三角函数中为正的，其余的为负） 图像记忆法

6. 三角函数基本公式

tansin （可用于化简、证明等） cossin2cos21 （可用于已知sin求cos；或者反过来运用）

7. 诱导公式：口诀：奇变偶不变，符号看象限。 解释：指k2(kZ)，若k为奇数，则函数名要改变，若k为偶数函数名不变。

7. 已知三角函数值求角:

(1) 确定角所在的象限; (2) 求出函数值的绝对值对应的锐角'; (3) 写出满足条件的0~期（同终边的角的集合）

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2的角; (4) 加上周

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8. 和角、倍角公式

⑴ 和角公式：sin()sincoscossin 注意正负号相同 cos()coscossinsin 注意正负号相反

tan()tantan

1tantan⑵ 二倍角公式： sin2 tan22sincos cos2cos2sin22cos2112sin2

2tan

1tan2⑶ 半角公式： sin21cos1cos cos 2229. 三角函数的图像与性质

函数 图像 性 质 定义域 值域 同期 奇偶性 单调性 ysinx xR [1,1] T2 奇 ] 23[2k,2k]222 [2k,2k ycosx xR [1,1] T2 [2k,2k] 偶 [2k,2k] 9. 正弦型函数yAsin(x) (A0,0)

(1)定义域R，值域[A,A] （2）周期：T2

（3）注意平移的问题：一要注意函数名称是否相同，二要注意将x的系数提出来，再看是怎样平移的。 （4）yasinxbcosx10. 正弦定理

a2b2sin(x)

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abc2R （R为ABC的外接圆半径） sinAsinBsinC其他形式：（1）a2RsinA b2RsinB c2RsinC（注意理解记忆，可只记一个） （2）a:b:csinA:sinB:sinC

11. 余弦定理

b2c2a2 （注意理解记忆，可只记一个） abc2bccosA  cosA2bc22212. 三角形面积公式

SABC111absinCbcsinAacsinB （注意理解记忆，可只记一个） 22213. 海式：SABCP(Pa)(Pb)(Pc)（其中P为ABC的半周长，P第七章 平面向量

abc） 21. 向量的概念

（1） 定义：既有大小又有方向的量。

（2） 向量的表示：书写时一定要加箭头！另起点为A，终点为B的向量表示为AB。 （3） 向量的模（长度）：|AB|或|a|

（4） 零向量：长度为0，方向任意。

单位向量：长度为1的向量。

向量相等：大小相等，方向相同的两个向量。 反（负）向量：大小相等，方向相反的两个向量。

2. 向量的运算 （1） 图形法则

三角形法则 平形四边形法则

（2）计算法则

加法：ABBCAC 减法：ABACCA

（3）运算律：加法交换律、结合律 注：乘法（内积）不具有结合律

3. 数乘向量：a （1）模为：|||a| （2）方向：为正与a相同；为负与a相反。 4. AB的坐标：终点B的坐标减去起点A的坐标。 AB(xB5. 向量共线（平行）：唯一实数，使得axA,yByA)

b。 （可证平行、三点共线问题等）

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6. 平面向量分解定理：如果e1,e2是同一平面上的两个不共线的向量，那么对该平面上的任一向量a，都存在唯一的

一对实数x1,x2，使得ax1e1x2e2。

7. 注意ABC中，重心(三条中线交点)、外心（外接圆圆心：三边垂直平分线交点）、内心（内切圆圆心：三角平分

线交点）、垂心（三高线的交点） 8. 向量的内积（数量积）

（1） 向量之间的夹角：图像上起点在同一位置；范围[0,]。 （2） 内积公式：ab|a||b|cosa,b 9. 向量内积的性质： （1）cosa,bab|a||b| （夹角公式） （2）a⊥bab0

（3）aa|a|2或|a|aa （长度公式）

10. 向量的直角坐标运算： （1）AB(xBxA,yByA)

y2) a(x1,y1) abx1x2y1y2

x1x2yy2,y1 22（2）设a(x1,y1),b(x2,y2)，则 ab(x1x2,y111.中点坐标公式：若A(x1,y1),B(x2,y2),点M(x,y)是线段AB的中点,则x12.向量平行、垂直的充要条件：设a(x1,y1),b(x2,y2)，则

a∥bx1y1 （相对应坐标比值相等） x2y2a⊥bab0x1x2y1y20 （两个向量垂直则它们的内积为0）

11. 长度公式

（1） 向量长度公式：设a(x,y)，则|a|x2y2

AB|(x2x1)2(y2y1)2

（2） 两点间距离公式：设点A(x1,y1),B(x2,y2)，则 |12. 向量平移

x'xa1（1） 平移公式：点P(x,y)平移向量a(a1,a2)到P'(x',y')，则 记忆法：“新=旧+向量”

y'ya2（2）图像平移：yf(x)的图像平移向量a(a1,a2)后得到的函数解析式为：ya2f(xa1)

第八章 平面解析几何

1. 曲线C上的点与方程F(x,y)0之间的关系：

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（1） 曲线C上点的坐标都是方程F(x,y)0的解；

（2） 以方程F(x,y)0的解(x,y)为坐标的点都在曲线C上。

则曲线C叫做方程F(x,y)0的曲线，方程F(x,y)0叫做曲线C的方程。

2. 求曲线方程的方法及步骤： (1) 设动点的坐标为（x，y）；(2) 写出动点在曲线上的充要条件；(3) 用x,y的关系

式表示这个条件列出的方程；（4） 化简方程（不需要的全部约掉）；（5）证明化简后的方程是所求曲线的方程。如果方程化简过程是同解变形的话第五步可省略。 3. 两曲线的交点：联立方程组求解即可。 4. 直线：

(1) 倾斜角：一条直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角叫这条直线的倾斜角。其范围是[0,) (2) 斜率：①倾斜角为90的直线没有斜率；②k0tan（倾斜角的正切）

③经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的斜率K(3) 直线的方程 ① 两点式：

y2y1 (x1x2)

x2x1yy1xx1 ② 斜截式：ykxb y2y1x2x1③ 点斜式：yy0k(xx0) ④ 一般式：AxByC0

注：1.若直线l 方程为3x+4y+5=0，则与l平行的直线可设为3x+4y+C=0；与l垂直的直线可设为4X-3Y+C=0

2.求直线的方程最后要化成一般式。 (4) 两条直线的位置关系

l1:yk1xb1 l2:yk2xb2 k1k2且b1b2 l1:A1xB1xC10 l2:A2xB2xC20 l1与l2平行 A1B1C2 A2B2C2A1B1C2 A2B2C2A1B1 A2B2l1与l2重合 l1与l2相交 l1⊥l2 (5)点到直线的距离

k1k2且b1b2 k1k2 k1k21 A1A2B1B20 注：系数为0的情况可画图像来判定。

①点P(x0,y0)到直线AxByC0的距离：d5. 圆的方程

|Ax0By0C|AB22

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（1） 标准方程：(xa)(yb)r（r222220）其中圆心(a,b)，半径r。

22（2） 一般方程：xyDxEyF0（DE4F0）

DE圆心（,） 半径：r22D2E24F

2（4）直线和圆的位置关系：主要用几何法，利用圆心到直线的距离d和半径r比较。

dr相交； dr相切； dr相离

6. 椭圆

动点与两定点（焦点）的距离之和等于常数2a 几何定义 |PF1||PF2|2a x2y221（焦点在x轴上） 2abx2y221（焦点在y轴上） 2ba标准方程 图像 a,b,c的关系 对称轴与对称中心 顶点坐标 焦点坐标 a2b2c2 注意：通常题目会隐藏这个条件 x轴：长轴长2a；y轴：短轴长2b；O(0,0) (a,0) (0,b) (c,0) 焦距2c 注：要特别注意焦点在哪个轴上 离心率

7. 双曲线

cb2e121 aa动点与两定点（焦点）的距离之差的绝对值等于常数2a 几何定义 ||PF1||PF2||2a x2y221（焦点在x轴上） 2aby2x221（焦点在y轴上） 2ab标准方程 专业 知识分享

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图像 a,b,c的关系 对称轴与对称中心 顶点坐标 焦点坐标 c2a2b2 注意：通常题目会隐藏这个条件 x轴：实轴长2a；y轴：虚轴长2b；O(0,0) (a,0) (c,0) 焦距2c 注：要特别注意焦点在哪个轴上 离心率 cb2e121 aaybx（焦点在x轴上） ayax（焦点在y轴上） b渐近线 注：等轴双曲线：（1）实轴长和虚轴长相等a8. 抛物线

几何b（2）离心率e2（3）渐近线yx

到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹 定义 |MF|d（d为抛物线上一点M到准线的距离） 焦点位置 x轴正半轴 x轴负半轴 y轴正半轴 y轴负半轴 图像 标准方程 焦点 y22px(p0) y22px(p0) x22py(p0) x22py(p0) pF(,0) 坐标 2准线px 方程 2F(p,0) 2px 2pF(0,) 2py 2pF(0,) 2py 2 专业 知识分享

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顶点 对称轴 离心率 注：（1）O(0,0) x轴 e1 y轴 p的几何意义表示焦点到准线的距离。 （2） 掌握焦点在哪个轴上的判断方法

（3）圆锥曲线中凡涉及到弦长，都可用联立直线和曲线的方程求解再用弦长公式：

|AB|1k2(x1x2)24x1x2

（4）圆锥曲线中最重要的是它本身的定义！！做题时应注意圆锥曲线上的点是满足圆锥曲线的定义的！

第九章 立体几何

1. 空间的基本要素：点、线、面

注：用集合符号表示空间中点（元素）、线（集合）、面（集合）的关系 2. 平面的基本性质 （1） 三个公理：

① 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。

② 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们的所有公共点组成的集合是过该点的一条直线。 ③ 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 （2） 三个推论：

① 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。 ② 经过两条相交直线，有且只有一个平面。 ③ 经过两条平行直线，有且只有一个平面。 3. 两条直线的位置关系：

（1） 相交：有且只有一个公共点，记作“ab b.平行于同一条直线的两条直线平行 （3） 异面：

① 定义：不同在任何一个平面内的两条直线

② 异面直线的夹角：对于两条异面直线，平移一条与另一条相交所成的不大于

角时可作其中一条的平行线，让它们相交。 4. 直线和平面的位置关系：

A”

（2） 平行：a.过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行。

的角。注意在找异面直线之间的夹2

（2） 直线与平面相交：lA

（1） 直线在平面内：l（3） 直线与平面平行

① 定义：没有公共点，记作：l∥

② 判定：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与平面平行。

③ 性质：如果一条直线与一平面平行，且过直线的另一平面与该平面相交，则该直线与交线平行。 5. 两个平面的位置关系 （1） 相交：l

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（2） 平行：

① 定义：没有公共点，记作：“∥”

② 判定：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面都平行，则两平面平行 ③ 性质： a.两个平行平面与第三个平面都相交，则交线互相平行

b.平行于同一平面的两个平面平行

c.夹在两平行平面间的平行线段相等

d.两条直线被三个平行平面所截得的对应线段成比例

6. 直线与平面所成的角：

（1） 定义：直线与它在平面内的射影所成的角 （2） 范围：[0,2]

7. 直线与平面垂直

（1） 判定：如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，则该直线与平面垂直 （2） 性质：

① 如果一条直线垂直于一平面，则它垂直于该平面内任何直线； ② 垂直于同一平面的两直线平行； ③ 垂直于同一直线的两平面平行。 8. 两个平面垂直

（1） 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则两个平面互相垂直。

（2） 性质定理：如果两个平面垂直，则一个平面内垂直于它们的交线的直线与另一个平面垂直。 9. 二面角

（1） 定义：过二面角l的棱上一点O，分别在两半平面内引棱l的垂线OA、OB，则AOB为二面角的

平面角

（2） 范围：[0,]

（3） 二面角的平面角构造：

① 按定义，在棱上取一点O，分别在两半平面内引棱的垂线OA、OB，则AOB即是 ② 作一平面与二面角的棱垂直，与两半平面分别交于OA、OB，AOB即是

第十章 排列、组合与二项式定理

1.分类用加法：Nm1m2mn 分步用乘法：Nm1m2mn 2.有序为排列：Pnn(n1)(n2)(nm1)mn!

(nm)!Pnmn(n1)(n2)(nm1)n!无序为组合：Cm m!m!(nm)!Pmmn阶乘：Pnn!n(n1)(n2)321 规定：0!1 Cn0n1

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注：（1）做排列组合题的原则：先特殊，后一般！

（2）在一起，用捆绑法；不在一起，用插空法；另外的思考方法：一般法、排除法、分类讨论法、机会均等法等等。 3.组合数的两个性质：（1）Cn4.二项式定理：

0n01n11rnrrn11n1n0n(ab)nCnabCnabCnabCnabCnab

mnmmmm1 （2）Cn1CnCn Cn通项：Tr1rrnrr叫做第r1项的二项式系数。 Cnab，其中Cnr注：（1）二项展开式中第r1项的系数与第r1项的二项式系数Cn是两个不同的概念。 （2）杨辉三角 1. 二项式系数的性质

（1） 除每行两端的1以外，每个数字都等于它肩上两数之和，即Cn1（2） 与首末两端等距离的两项的二项式系数相等，即Cn（3）

rnr Cnrrr1 CnCnn1项） 2n1 n为奇数，展开式有偶数项，中间两项的二项式系数最大。（第项和后一项）

2（第n为偶数，展开式有奇数项，中间项的二项式系数最大；

01mnn024135n17. CnCnCnCn2 CnCnCnCnCnCn2

第十一章 概率与统计

一、概率.

1. 概率：随机事件A的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.

2. 等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有年n个，且所有结果出现的可能性都相等，那么，每

一个基本事件的概率都是

1m，如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率P(A). nn3. ①互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生(即A、B中

②对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件. ．．．．．．．．．．．．．．．注意：i.对立事件的概率和等于1：P(A)P(A)P(AA)1.

ii.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件.

③相互事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互事件.

有一个发生)的概率，等于事件A、B分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)。

如果两个相互事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A·B)=P(A)·P(B). 由此，当两个事件同时发生的概率P（AB）等于这两个事件发生概率之积，这时我们也可称这两个事件为事件.

④重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验

是的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次重复试验中这个事件恰好发生k次的概率：

knk. Pn(k)CknP(1P)二、随机变量.

1. 随机试验的结果应该是不确定的.试验如果满足下述条件：

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①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是

恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.

它就被称为一个随机试验.

2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随

机变量。

设离散型随机变量ξ可能取的值为：x1,x2,,xi,

ξ取每一个值x1(i1,2,)的概率P(xi)pi，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.

 P x1 x2 … xi … pi … … p2 有性质①p10,i1,2,； ②p1p2pi1. 注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：[0,5]即可以取0～

p1 5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.

3. ⑴离散型随机变量的二项分布：在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次重复

试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是

kPn(k)Cnpkqnk，（k＝0,1,2,…，n，q1p）．

于是得到随机变量ξ的概率分布如下：  0 1 P 由于Cnpqkknk…k …nn n000nCnpq 11n1Cnpq kknk…npq C…Cnpq 恰好是二项展开式

00n11n1knn0(qp)nCnpqCnpqCnpkqnkCnpq

中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并

记Cnpqkknk＝b(k；n，p)．

⑵二项分布的判断与应用.

①二项分布，实际是对n次重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次重复，且每次试验只有两种结

果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.

②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此

时可以把它看作重复试验，利用二项分布求其分布列.

三、数学期望与方差.

1. 期望的含义：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

 P 型随机变量取值的平均水平.

x1 x2 p2 … … xi … … p1 pi 则称Ex1p1x2p2xnpn为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散2. 二项分布的数学期望：Enp 其分布列为～B(n,p).（P为发生的概率）

3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为P(xk)pk(k1,2,)时，则称

D(x1E)2p1(x2E)2p2(xnE)2pn为ξ的方差。 显然D0，故D.为ξ的根方差或标准差。随

机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.D越小，稳定性越高，波动．．．．．．．．．．．越小. ．．．

4.二项分布的方差：Dnpq

5. 期望与方差的关系：DE2(E)2 四、正态分布.（基本不列入考试范围）

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1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x轴上方，ξ落在任一区间[a,b)内的概率等于它与x

轴.直线xa与直线xb所围成的曲边梯形的面积

（如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为 图像的函数f(x)叫做ξ的密度函数，由于“x(,)” 是必然事件，故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1.

2. ⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：f(x)xab22▲yy=f(x)12e(x)2. （xR,,为常数，且

，称ξ服从参数为,的正态分布，用～N(,2)表示.f(x)的表达式可简记为N(,2)，它的密度曲线简0）称为正态曲线.

⑵正态分布的期望与方差：若～N(,2)，则ξ的期望与方差分别为：E，D2 ⑶正态曲线的性质.

①曲线在x轴上方，与x轴不相交. ②曲线关于直线x对称.

③当x时曲线处于最高点，当x向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲

线.

④当x＜时，曲线上升；当x＞时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，

向x轴无限的靠近.

⑤当一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.

3. ⑴标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为(x)12ex22(x)，则称ξ服从标准正态分布.

即～N(0,1)有(x)P(x)，(x)1(x)求出，而P（a＜ξ≤b）的计算则是P(ab)(b)(a).

注意：当标准正态分布的(x)的X取0时，有(0)0.5，当(x)的X取大于0的数时，有(x)0.5，如图.

▲yS⑵正态分布与标准正态分布间的关系：若～N(,)则ξ的分布函数通 常用F(x)表示，且有P(ξx)F(x)(2xμ). σxa标准正态分布曲线S阴=0.5Sa=0.5+S

4.⑴“3”原则.

假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假设里的变量服从正

态分布N(,2).②确定一次试验中的取值a是否落入范围(3,3).③做出判断：如果a(3,3)，接受统计假设. 如果a(3,3)，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.

⑵“3”原则的应用：若随机变量ξ服从正态分布N(,2)则 ξ落在(3,3)内的概率为99.7％ 亦

即落在(3,3)之外的概率为0.3％，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即ξ不服从正态分布）。

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