唯思达——唯有思索才能通达！ 教师讲义
专题二 二进制问题
23234234234234典例评析 例1 将139（10）化成二进制
【分析】要将十进制数化为二进制数，只要连续除以2.因为139=69×2+1，即有69个“2”及1个“1”，故应向第二位上进“69”，个位则有1个1；而69=34×2+1，即第二位69又要向第三位进“34”，而本位数字为“1”。但34=17×2，即第三位上的34还应向第四位进“17”，且本位数字为“0”；接下去17=8×2+1，即第四位为1；8=4×2，即第五位为0；4=2×2，即第六位为0；2=2×1，即第七位为0，第八位为1；所以139（10）=10001011（2）。这个过程也可以简算以“短除法”求得。 解 因为
说明 十进制数139（10）的下标10，是为了与其它进位制区别开来，同理10001011（2）的下标2是表示的二进制，有时十进制的下标可以省略，但其余的进制，则下标不可省。
特别提出的是，在用“短除法”求得数时，要将每次除以2所得的余数写在被除数的后面，一直得到商是1为止。
例2 将101101（2）改成十进制数。
【分析】我们可以思考一下二进制数101101（2）上各个数位上的1是怎么进上来的，从右往左数第6位是1，是从第5位上满2才进上去是，这个数可以看做21101，第5位上是2，是因为第4位上满2个2才进过来的，可以看作5101，同理第4位上5，是因为第3位上满5个2才进过来的，应是（11,01），同理得出（22,1），（22,1）得45。对于一个十进制数，如果是7385，可以写成7385=7×103+3×102+8×101+5×100。同理二进制也可以写成这种形式，只不过要将上述形式中的数字换成2的次方数与0或1的乘积，就没必要像上述改写那样麻烦了。 解 101101（2）=1×25+0×24+1×23+1×22+0×21+1 =25+23+22+1 小学五年级奥数 第 1 页 共 5 页
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=32+8+4+1 =45 说明 对于任意一个二进制数amam-1am-2„a2a1(2)改写成十进制数，都有如下的方法：amam-1am-2„a2a1(2)=am×2m-1+am-1×2m-2+„a2×21+a1×20。
例3 计算：10110（2）+1010（2）。
【分析】二进制数的加减可以用竖式来计算 解 10110（2） + 1010（2） 100000（2） 10110（2）+1010（2）=100000（2） 说明 在将相同数位上的数相加时，与十进制加法有所不同，十进制加法中满十进一，而二进制加法中是满二进一，本题中从右往左第2位开始，便连续出现了4次“满二进一”。
例4 计算1101101（2）-1011110（2），并要求验算。
【分析】二进制的减法也可以用竖式来计算，并且可以用加法来检验结果是否正确。。 解 1101101（2） 1011110（2） -1011110（2） 验算 + 1111（2） 1111（2） 1101101（2） 说明 在计算二进制数的减法时，与十进制的减法也是有所区别的，十进制减法计算中，本位不够减时，是向前一位借一当十，而在二进制数减法当中，出现不够减时时借一当二。如在本题中，从右往左第2位不够减时向前一位借一当二，得2-1=1，其余数位上则依次类推。为了计算的正确，用减法的逆运算作适当检验。
例5 计算：11101（2）×11（2）
【分析】二进制数的乘法计算，同整数乘法一样，也可以列竖式计算，在计算过程当中要注意两点：（1）1乘任何数仍得原数；（2）0乘任何数都得零。。 解 11101（2）×11（2）=1010111（2） 11101（2） × 11（2） 11101（2） 11101（2） 1010111（2） 说明 通过两次乘法得出乘积后，用加法求出结果时，要按照二进制数加法的方法计算出结果。
例6 计算：1001011（2）÷1111（2）。
【分析】二进制数的除法同十进制数的除法一样，也可以用竖式计算，但在除的过程当中，要综合运用二进制数的加、减、乘法的计算方法辅助除法计算。 解 1001011（2）÷1111（2）=101（2） 101(2)1111(2)1111(2)1111(2)0
1111(2)1001011(2)小学五年级奥数 第 2 页 共 5 页
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巩固练习 1.将下列二进制数化成十进制的数 （1） 1101101（2）
解：原式＝1×26+1×25+1×23+1×22
+1 ＝+32+8+4+1 ＝109
（2） 111101101（2）
解：原式＝1×28+1×27+1×26+1×25+1×23+1×22
+1 ＝256+128++32+8+4+1 ＝493
2.将下列十进制数化成二进制数。 （1） 28
解：短除法可得：11100（2） （2） 63
解：短除法可得：111111（2） 3．计算
（1） 1100110（2）+10011（2）
1100110（2）
+ 10011（2） 1111001（2）
（2） 1010011（2）-11011（2）（要求验算） 解： 1010011（2） - 11011（2） 111000（2）
（3） 101101（2）×1101（2） 解： 101101（2） × 1101（2） （2）
（4） 11011101(2)÷1011(2) 解： 10100（2） 1011（2））11011101（2）
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第 3 页 共 5 页 101101 101101 101101 1001001001 唯思达——唯有思索才能通达！ 教师讲义
1011 1011 1011 1
4. 150粒糖果需至少装在几个盒子，就能保证150以内所有糖果都可以几只盒子凑齐，而不必打开盒子？此时每只盒子里面多少粒糖果？
分析与解：先用1+2+2+2+„+2≤150，找出n最大是多少，然后计算出1+2+2+2+„+2的结果。把每一个加数作为一个盒子的糖果数，最后一盒用150减去前面所有盒子中糖果数的和。
1+2+2+2+„+2=127<150（粒） 150-127=23（粒） 150=1+2+2+2+„+2+23
答：这8个盒子，每个盒子中分别是1,2,4,8,16,32,,23粒即可。
1
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n
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n
5. 一位老大爷带上了1000元钱上街买东西。东西的价格都是整元数，为了保证至少1000元的东西都能立即付钱，他把钱包分成若干包。付钱时只要拿出几包而无需折散也无需找零便行。他应如何包这些钱？
解：应分别包成1元、2元、4元、8元、16元、32元、元、128元、256元及4元功10包。支付不超过511元时，把钱化为二进制数，易知取前九包中的若干包可按要求支付；超过511元，可支付4元，再把余钱转化为二进制数再选取若干包支付。
6.有1、2、4、8克的砝码各1个，每次从中取3个称重，如果天平的两边都可以放砝码，能称出多少种重量？
解：由于每次取3个砝码和天平两边可以同时放，可知： 用1、2、4三种砝码，可称出4±2±1克，即1、3、5、7克； 用1、2、8三种砝码，可称出8±2±1克，即5、7、9、11克； 用1、4、8三种砝码，可称出8±4±1克，即3、5、11、13克； 用2、4、8三种砝码，可称出8±4±2克，即2、6、10、14克； 答：可称出1、2、3、5、6、7、9、10、11、13、14共11种重量。
7. 欢欢、迎迎各有4张卡片，每张卡片上各写有一个正整数，两人各出一张卡片，计算两张卡片上所写数的和，结果发现一共能得到16个不同的和，那么，两人卡片上所写数中最大最小是多少？（全国第二届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛总决赛试题） 分析与解：因为涉及的4和16是2的次方数，所以想到二进制。两张卡片的和至少是2,16个不同的和中的最大的至少是17。这样考虑不方便，所以假设两张卡片上是非负整数，可以包含0，和是0到15，也就是二进制的0000到1111。那么，显然了，每个人控制其中两位的开关，两个人就能控制全部四位的开关了。为了使得最大的数最小，控制最高位的那个人再控制最低位就行了。一个人控制最高位和最低位：0000,0001，1000,1001；另一个人控制中间两位：0000,0010,0100,0110。最大数最小是1001也就是9，容易发现8不行。原题要求正整数，所以每个数再加1，答案是10
8．市中心的建设大厦高26.5米，先将一张足够大的厚度均匀且为0.01厘米的纸，进行“对折→裁开→叠放整齐”算作一次操作，至少要进行多少次这样的操作后，所有纸片叠放的总高度比建设大厦还高？
解；26.5米=2650厘米 2650÷0.01=265000（层）
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唯思达——唯有思索才能通达！ 教师讲义 210×28＝262144 26144<265000 218<265000 18+1=19（次）
答：所有纸片叠放的总高度要比建设大厦高，必需超过18次，即至少19次。
9. 有一批规格相同的圆棒，每根划分为长度相同的五节，每节用红黄蓝三种颜色来涂，问可以得到多少种着色不同的圆棒。
分析与解：用2表示“红”、1表示“黄”、0表示“蓝”，于是一种涂色对应着一个五位数，如“红红黄蓝黄”对应“22101”。由于这种五位数只用三个数码，即为三进制数。这种五位数中最大是22222，而22222（3）=2×3+2×3+2×3+2×3+2＝242，再加上“00000”共计243种。但像“22101”与“10122”互为反序数，表示了同一种涂色法，而有3=27个数与其反序数相等。从而应有（243+27）÷2＝135种不同涂色法
答：只有135种不同的涂色方法。
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4
3
2
10. 为了称出1～100克的所有整数克的重量，用一架天平与至少几个砝码？（1）砝码只准放在天平的一边，物体放在另一边；（2）砝码允许放在天平的两边。 （1）7个，用1,2,4,8,16,32,37克这7个砝码即可。
（2）5个，用1,3,9,27,81克的砝码。（提示：可以用三进制来考虑）
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