2017-2018学年广东省广州市海珠区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）用科学记数法表示0.000002017=（ ） A．20.17×10﹣5
B．2.017×10﹣6 C．2.017×10﹣7 D．0.2017×10﹣7
3．（3分）以下列长度的线段为边，可以作一个三角形的是（ ） A．6cm，16cm，21cm B．8cm，16cm，30cm C．6cm，16cm，24cm D．8cm，16cm，24cm
4．（3分）若△ABC有一个外角是锐角，则△ABC一定是（ ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 5．（3分）（2y）2的结果是（ ） A．6y B．4y2 C．5y D．5y2 6．（3分）如果把分式
中的和y都扩大3倍，那么分式的值（ ）
C．扩大4倍
D．不变
A．扩大3倍 B．扩大9倍
7．（3分）计算43y÷2y正确的结果是（ ） A．2y B． y C．22 D． 2
8．（3分）如图所示，小李用直尺和圆规作∠CAB的平分线AD，则得出∠CAD=∠DAB的依据是（ ）
A．ASA B．AAS C．SSS D．SAS
9．（3分）如图，AD是△ABC的中线，点E是AD的中点，连接BE、CE，若△ABC的面积是8，则阴影部分的面积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
10．（3分）如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为（ ）
A．2 B．2
C．4 D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）如果10m=12，10n=3，那么10m+n= ．
12．（3分）若一个多边形每个外角都是30°，则这个多边形的边数有 条． 13．（3分）已知分式
的值为零，那么的值是 ．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．若AB=5，AC=4，则△ADE的周长是 ．
15．（3分）已知a2+b2=12，a﹣b=4，则ab= ． 16．（3分）对实数a、b，定义运算☆如下：a☆b=则计算：[2☆（﹣4）]☆1= ．
三、解答题（本大题共9小题，共102分） 17．（8分）计算： （1）5a（2a﹣b）
，例如：2☆3=2﹣3=，
（2）÷．
18．（10分）解下列问题 （1）因式分解：12b2﹣3 （2）解方程：
﹣
=1．
19．（9分）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC=BD，AC=FD．求证：AE=FB．
20．（10分）如图，已知△ABC的顶点都在图中方格的格点上．
（1）画出△ABC关于轴对称的△A′B′C′，并直接写出A′、B′、C′三点的坐标．
（2）在y轴上找一点P使得PA+PB最小，画出点P所在的位置（保留作图痕迹，不写画法）
21．（10分）先化简值代入求值．
+，然后从﹣1≤≤2的范围内选取一个合适的整数作为的
22．（10分）在2016年“双十一”期间，某快递公司计划租用甲、乙两种车辆快递货物，从货物量计算：若租用两种车辆合运，10天可以完成任务；若单独租用乙种车辆，完成任务的天数是单独租用甲种车辆完成任务天数的倍．
（1）求甲、乙两种车辆单独完成任务分别需要多少天？
（2）已知租用甲、乙两种车辆合运需租金65000元，甲种车辆每天的租金比乙种车辆每天的租金多1500元，试问：租甲和乙两种车辆、单独租甲种车辆、单独租乙种车辆这三种租车方案中，哪一种租金最少？请说明理由． 23．（15分）已知△ABC是等边三角形．
（1）射线BE是∠ABC的平分线，在图1中尺规作∠DAC=∠ABE，使AD与射线BE交于点D，且点D在边AC下方．
（2）在（1）的条件下，如图2连接DC，求证：DA+DC=DB．
（3）如图3，∠ADB=60°，若射线BE不是∠ABC的平分线．（2）中的结论是否依然成立？请说明理由．
24．（15分）阅读材料：把形a2+b+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．请根据阅读材料解决下列问题：
（1）填空：a2﹣4a+4= ．
（2）若a2+2a+b2﹣6b+10=0，求a+b的值．
（3）若a、b、c分别是△ABC的三边，且a2+4b2+c2﹣2ab﹣6b﹣2c+4=0，试判断△ABC的形状，并说明理由．
25．（15分）在平面直角坐标系中，已知点A（8，0），B（0，﹣8），连接AB．
（1）如图①，动点C在轴负半轴上，且AH⊥BC交BC于点H、交OB于点P，求证：△AOP≌△BOC；
（2）如图②，在（1）的条件下，连接OH，求证：2∠OHP=∠AHB；
（3）如图③，E为AB的中点，动点G在y轴上，连接GE，作EF⊥GE交轴于F，猜想GB，OB、AF三条线段之间的数量关系，并说明理由．
2017-2018学年广东省广州市海珠区八年级（上）期末数学试卷
参与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项正确； B、不是轴对称图形，故此选项错误； C、不是轴对称图形，故此选项错误； D、不是轴对称图形，故此选项错误； 故选：A．
2．（3分）用科学记数法表示0.000002017=（ ） A．20.17×10﹣5
B．2.017×10﹣6 C．2.017×10﹣7 D．0.2017×10﹣7
【解答】解：0.000002017=2.017×10﹣6， 故选：B．
3．（3分）以下列长度的线段为边，可以作一个三角形的是（ ） A．6cm，16cm，21cm B．8cm，16cm，30cm C．6cm，16cm，24cm D．8cm，16cm，24cm 【解答】解：A、∵6+16=22＞21， ∴6、16、21能组成三角形； B、∵8+16=24＜30，
∴8、16、30不能组成三角形； C、∵6+16=22＜24，
∴6、16、24不能组成三角形； D、∵8+16=24，
∴8、16、24不能组成三角形．
故选：A．
4．（3分）若△ABC有一个外角是锐角，则△ABC一定是（ ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 【解答】解：∵△ABC有一个外角为锐角， ∴与此外角相邻的内角的值为180°减去此外角， 故相邻的内角大于90度， 故△ABC是钝角三角形． 故选：A．
5．（3分）（2y）2的结果是（ ） A．6y B．4y2 C．5y D．5y2 【解答】解：（2y）2=4y2． 故选：B．
6．（3分）如果把分式
中的和y都扩大3倍，那么分式的值（ ）
C．扩大4倍
D．不变
A．扩大3倍 B．扩大9倍 【解答】解：把分式
中的和y都扩大3倍，
分子扩大了9倍，分母扩大了3倍， 分式的值扩大3倍， 故选：A．
7．（3分）计算43y÷2y正确的结果是（ ） A．2y B． y C．22 D． 2 【解答】解：43y÷2y=22， 故选：C．
8．（3分）如图所示，小李用直尺和圆规作∠CAB的平分线AD，则得出∠CAD=∠DAB的依据是（ ）
A．ASA B．AAS C．SSS D．SAS
【解答】解：由题意AF=AE，FD=ED，AD=AD， ∴△ADF≌△ADE（SSS）， ∴∠DAF=∠DAE， 故选：C．
9．（3分）如图，AD是△ABC的中线，点E是AD的中点，连接BE、CE，若△ABC的面积是8，则阴影部分的面积为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【解答】解：∵AD是△ABC的中线， ∴S△ABD=S△ACD=S△ABC， ∵点E是AD的中点，
∴S△ABE=S△ADE=S△ABD，S△CDE=S△CAE=S△ACD， ∵S△ABE=S△ABC，S△CDE=S△ABC， ∴S△ABE+S△CDE=S△ABC=×8=4； ∴阴影部分的面积为4， 故选：B．
10．（3分）如图，已知点P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°，PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm，如果点C是OB上一个动点，则PC的最小值为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
【解答】解：∵P是∠AOB角平分线上的一点，∠AOB=60°， ∴∠AOP=
AOB=30°，
∵PD⊥OA，M是OP的中点，DM=4cm， ∴OP=2DM=8， ∴PD=OP=4，
∵点C是OB上一个动点， ∴PC的最小值为P到OB距离， ∴PC的最小值=PD=4． 故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）如果10m=12，10n=3，那么10m+n= 36 ． 【解答】解：10m+n=10m•10n=12×3=36． 故答案为：36．
12．（3分）若一个多边形每个外角都是30°，则这个多边形的边数有 12 条． 【解答】解：多边形的外角的个数是360÷30=12，所以多边形的边数是12． 故答案为12．
13．（3分）已知分式
的值为零，那么的值是 1 ．
【解答】解：根据题意，得
2
﹣1=0且+1≠0，
解得=1． 故答案为1．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．若AB=5，AC=4，则△ADE的周长是 9 ．
【解答】解：∵在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O， ∴∠DBO=∠CBO，∠ECO=∠BCO， ∵DE∥BC，
∴∠DOB=∠CBO，∠EOC=∠BCO， ∴∠DBO=∠DOB，∠ECO=∠EOC， ∴OD=BD，OE=CE， ∵AB=5，AC=4，
∴△ADE的周长为：AD+DE+AE=AD+DO+EO+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC=5+4=9． 故答案为：9．
15．（3分）已知a2+b2=12，a﹣b=4，则ab= ﹣2 ． 【解答】解：∵a﹣b=4， ∴a2﹣2ab+b2=16， ∴12﹣2ab=16， 解得：ab=﹣2． 故答案为：﹣2．
16．（3分）对实数a、b，定义运算☆如下：a☆b=则计算：[2☆（﹣4）]☆1= 16 ． 【解答】解：由题意可得： [2☆（﹣4）]☆1 =2﹣4☆1 ==（=16．
☆1 ）﹣1
，例如：2☆3=2﹣3=，
故答案为：16．
三、解答题（本大题共9小题，共102分） 17．（8分）计算： （1）5a（2a﹣b） （2）
÷
．
【解答】解：（1）5a（2a﹣b） =10a2﹣5ab； （2）==
18．（10分）解下列问题 （1）因式分解：12b2﹣3 （2）解方程：
﹣
=1．
．
÷
•（+1）
【解答】解：（1）原式=3（4b2﹣1）=3（2b+1）（2b﹣1）； （2）去分母得：2+2+1﹣4=2﹣1， 解得：=1，
经检验=1是增根，分式方程无解．
19．（9分）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC=BD，AC=FD．求证：AE=FB．
【解答】证明：∵CE∥DF， ∴∠ACE=∠D， 在△ACE和△FDB中，
，
∴△ACE≌△FDB（SAS）， ∴AE=FB．
20．（10分）如图，已知△ABC的顶点都在图中方格的格点上．
（1）画出△ABC关于轴对称的△A′B′C′，并直接写出A′、B′、C′三点的坐标．
（2）在y轴上找一点P使得PA+PB最小，画出点P所在的位置（保留作图痕迹，不写画法）
【解答】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求，
A′（﹣2，﹣4）、B′（﹣4，﹣1）、C′（1，2）；
（2）如图，点P即为所求．
21．（10分）先化简值代入求值．
+
，然后从﹣1≤≤2的范围内选取一个合适的整数作为的
【解答】解：原式=﹣=﹣=，
由﹣1≤≤2，且为整数，得到=2时，原式=．
22．（10分）在2016年“双十一”期间，某快递公司计划租用甲、乙两种车辆快递货物，从货物量计算：若租用两种车辆合运，10天可以完成任务；若单独租用乙种车辆，完成任务的天数是单独租用甲种车辆完成任务天数的倍．
（1）求甲、乙两种车辆单独完成任务分别需要多少天？
（2）已知租用甲、乙两种车辆合运需租金65000元，甲种车辆每天的租金比乙种车辆每天的租金多1500元，试问：租甲和乙两种车辆、单独租甲种车辆、单独租乙种车辆这三种租车方案中，哪一种租金最少？请说明理由．
【解答】解：（1）设甲车单独完成任务需要天，则乙车单独完成任务需要2天， （
）×10=1
解得，=15 ∴2=30
即甲、乙两车单独完成任务分别需要15天，30天；
（2）设甲车的租金每天a元，则乙车的租金每天（a﹣1500）元， [a+（a﹣1500）]×10=65000 解得，a=4000 ∴a﹣1500=2500
当单独租甲车时，租金为：15×4000=60000， 当单独租乙车时，租金为：30×2500=75000， ∵60000＜65000＜75000， ∴单独租甲车租金最少．
23．（15分）已知△ABC是等边三角形．
（1）射线BE是∠ABC的平分线，在图1中尺规作∠DAC=∠ABE，使AD与射线BE交于点D，且点D在边AC下方．
（2）在（1）的条件下，如图2连接DC，求证：DA+DC=DB．
（3）如图3，∠ADB=60°，若射线BE不是∠ABC的平分线．（2）中的结论是否依然成立？请说明理由．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=∠BAC=60°， ∵BE是∠ABC的平分线， ∴∠ABE=30°，
当∠DAC=∠ABE时，∠BAD=90°，
∴过点A作AB的垂线交BE于D，则点D即为所求； （2）∵∠BAD=90°，∠ABE=30°， ∴DA=BD， 同理，DC=BD， ∴DA+DC=DB；
（3）（2）中的结论依然成立，
证明：在BD上取点F，是DF=DA，连接AF， ∵∠ADB=60°，
∴△ADF为等边三角形， ∴∠FAD=60°，FA=AD， ∴∠BAF=∠CAD， 在△BAF和△CAD中，
，
∴△BAF≌△CAD， ∴BF=CD，
∴BD=DF+BF=DA+DC．
24．（15分）阅读材料：把形a2+b+c的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=（a±b）2．请根据阅读材料解决下列问题：
（1）填空：a2﹣4a+4= （a﹣2）2 ． （2）若a2+2a+b2﹣6b+10=0，求a+b的值．
（3）若a、b、c分别是△ABC的三边，且a2+4b2+c2﹣2ab﹣6b﹣2c+4=0，试判断△ABC的形状，并说明理由．
【解答】解：（1）∵a2﹣4a+4=（a﹣2）2， 故答案为：（a﹣2）2； （2）∵a2+2a+b2﹣6b+10=0， ∴（a+1）2+（b﹣3）2=0， ∴a=﹣1，b=3， ∴a+b=2；
（3）△ABC为等边三角形．理由如下： ∵a2+4b2+c2﹣2ab﹣6b﹣2c+4=0， ∴（a﹣b）2+（c﹣1）2+3（b﹣1）2=0， ∴a﹣b=0，c﹣1=0，b﹣1=0 ∴a=b=c=1，
∴△ABC为等边三角形．
25．（15分）在平面直角坐标系中，已知点A（8，0），B（0，﹣8），连接AB．
（1）如图①，动点C在轴负半轴上，且AH⊥BC交BC于点H、交OB于点P，求证：△AOP≌△BOC；
（2）如图②，在（1）的条件下，连接OH，求证：2∠OHP=∠AHB；
（3）如图③，E为AB的中点，动点G在y轴上，连接GE，作EF⊥GE交轴于F，猜想GB，OB、AF三条线段之间的数量关系，并说明理由．
【解答】（1）证明：如图①中，
∵AH⊥BC即∠AHC=90°，∠COB=90° ∴∠HAC+∠ACH=∠OBC+∠OCB=90°， ∴∠HAC=∠OBC． 在△OAP与△OBC中，
，
∴△OAP≌△OBC（ASA），
（2）过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥HA于N点，如图②．
在四边形OMHN中，∠MON=360°﹣3×90°=90°， ∴∠COM=∠PON=90°﹣∠MOP． 在△COM与△PON中，
，
∴△COM≌△PON（AAS）， ∴OM=ON．
∵OM⊥CB，ON⊥HA， ∴HO平分∠CHA， ∴∠OHP=∠CHA=45°， ∵∠AHB=90°， ∴2∠OHP=∠AHB．
（3）结论：当点G在y轴的正半轴上时，BG﹣BO=AF． 当点G在线段OB上时，OB=BG+AF．
当点G在线段OB的延长线上时，AF=OB+BG．
当点G在y轴的正半轴上时，理由如下：连接OE，如图3．
∵∠AOB=90°，OA=OB，E为AB的中点， ∴OE⊥AB，∠BOE=∠AOE=45°，OE=EA=BE，
∴∠OAD=45°，∠GOE=90°+45°=135°， ∴∠EAF=135°=∠GOE． ∵GE⊥EF即∠GEF=90°， ∴∠OEG=∠AEF， 在△GOE与△FAE中，
，
∴△GOE≌△FAE， ∴OG=AF，
∴BG﹣BO=GO=AF， ∴BG﹣BO=AF．
其余两种情形证明方法类似．