正弦定理习题
姓名_______班级______
一、选择题
B，C所对边分别为a，b，c，1. 设△𝐴𝐵𝐶的内角A，若𝑎=3，𝑏=√3，𝐴=，则𝐵=( )
3A. 6
𝜋𝜋
B.
5𝜋6
C. 6或 6
𝜋5𝜋
D.
2𝜋3
∠𝐵=45°，2. 在△𝐴𝐵𝐶中，若∠𝐴=60°，则𝐴𝐶=( ) 𝐵𝐶=3√2，A. 4√3
B. 2√3 C. √3 D. √3
2
3. 在△𝐴𝐵𝐶中，已知𝑎=√3,𝑏=√2,𝐵=45°，则角A的值为( ) A. 60°或120° B. 120°
C. 60°
D. 30°或150°
4. 已知△𝐴𝐵𝐶的三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若𝑐=2𝑏cos𝐴，则此三角形必是( )
A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形
225. △𝐴𝐵𝐶的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若𝑐𝑜𝑠𝐶=√，3
𝑏𝑐𝑜𝑠𝐴+𝑎𝑐𝑜𝑠𝐵=2，则△𝐴𝐵𝐶的外接圆的面积为( ) A. 4𝜋 二、填空题
6. △𝐴𝐵𝐶的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知𝐶=60°，𝑏=√6，𝑐=3，则𝐴=______．
7.
B. 8𝜋 C. 9𝜋 D. 36𝜋
设𝛥𝐴𝐵𝐶的内角A，B，C的对边分别为a，b，𝑐.若𝑎=√3，sin 𝐵=，𝐶=6，则𝑏=_________．
2
1
𝜋
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答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，属于基础题．
由已知及正弦定理可求𝑠𝑖𝑛𝐵=
𝑏𝑠𝑖𝑛𝐴𝑎
=2，利用大边对大角可求B为锐角，利用特殊角的
1
三角函数值即可得解B的值．
【解答】
解：∵𝑎=3，𝑏=√3，𝐴=3， ∴由正弦定理可得：𝑠𝑖𝑛𝐵=∵𝑎>𝑏，
∴𝐵为锐角，𝐵=6．
故选A． 2.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题． 结合已知，根据正弦定理，𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑠𝑖𝑛𝐵可求AC． 【解答】
解：根据正弦定理，𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑠𝑖𝑛𝐵， 则𝐴𝐶=
𝐵𝐶⋅𝑠𝑖𝑛𝐵𝑠𝑖𝑛𝐴
𝐵𝐶
√2𝜋
𝑏𝑠𝑖𝑛𝐴𝑎
=
√3×23
√31
=， 2
𝜋
𝐵𝐶𝐴𝐶
𝐴𝐶
=
3√2×2√32=2√3，
故选：B． 3.【答案】A
【解析】【分析】
此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键． 由B的度数求出sinB的值，再由a与b的值，利用正弦定理求出sinA的值，根据a大于b，得到A大于B，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数． 【解答】
解：∵𝑎=√3，𝑏=√2，𝐵=45°， ∴由正弦定理𝑠𝑖𝑛𝐴=𝑠𝑖𝑛𝐵， 得：𝑠𝑖𝑛𝐴=
𝑎𝑠𝑖𝑛𝐵𝑏𝑎
𝑏
=
√3×2√2√2=
√3， 2
∵𝑏<𝑎，∴𝐵<𝐴，即45°<𝐴<180°， ∴𝐴=60°或120°． 故选：A． 4.【答案】B
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【解析】【分析】
本题考查三角形形状的判断，考查正弦定理的运用以及两角和与差的三角函数公式等内容，考查运算能力，属于基础题．
利用正弦定理、两角和与差的三角函数公式化简即可判断． 【解答】
解：∵𝑐=2𝑏cos𝐴， 由正弦定理，可得：， 即，
，
∴𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵−𝑠𝑖𝑛𝐵𝑐𝑜𝑠𝐴=0， 即，
∵𝐴、B是△𝐴𝐵𝐶的内角， ∴𝐴=𝐵，
故△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形， 故选B． 5.【答案】C
【解析】【解答】
解：∵𝑏𝑐𝑜𝑠𝐴+𝑎𝑐𝑜𝑠𝐵=2， ∴由余弦定理可得：𝑏×又∵𝑐𝑜𝑠𝐶=
𝑏2+𝑐2−𝑎2
2𝑏𝑐
+𝑎×
𝑎2+𝑐2−𝑏2
2𝑎𝑐
=2，整理解得：𝑐=2，
2√2，可得：𝑠𝑖𝑛𝐶3
=√1−cos2𝐶=3，
𝑐
2
13
1
∴设三角形的外接圆的半径为R，则2𝑅=𝑠𝑖𝑛𝐶=
=6，可得：𝑅=3，
∴△𝐴𝐵𝐶的外接圆的面积𝑆=𝜋𝑅2=9𝜋． 故选C． 【分析】
本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理，圆的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．由余弦定理化简已知等式可求c的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值，进而利用正弦定理可求三角形的外接圆的半径R的值，利用圆的面积公式即可计算得解．
6.【答案】75°
【解析】【分析】
本题考查了三角形的内角和以及正弦定理，属于基础题． 根据正弦定理和三角形的内角和计算即可． 【解答】
解：根据正弦定理可得𝑠𝑖𝑛𝐵=𝑠𝑖𝑛𝐶，𝐶=60°，𝑏=√6，𝑐=3， ∴𝑠𝑖𝑛𝐵=
√6×23
√3𝑏𝑐
=
√2， 2
∵𝑏<𝑐， ∴𝐵=45°，
∴𝐴=180°−𝐵−𝐶=180°−45°−60°=75°， 故答案为75°．
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7.【答案】1
【解析】【分析】
本题考查了正弦定理、三角形的内角和定理，熟练掌握定理是解本题的关键． 由𝑠𝑖𝑛𝐵=2，可得𝐵=6或𝐵=【解答】 解：∵𝑠𝑖𝑛𝐵=2， ∴𝐵=6或𝐵=
𝜋𝜋
5𝜋611
𝜋
5𝜋
，结合𝑎=√3，𝐶=6及正弦定理可求b． 6
𝜋
，
𝜋
2𝜋3
当𝐵=6时，𝑎=√3，𝐶=6，𝐴=
√3𝑏
2，
由正弦定理可得，sin2𝜋=1，则𝑏=1；
3当𝐵=
5𝜋
时，𝐶=6，与三角形的内角和为𝜋矛盾． 6
𝜋
故答案为：1．
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