基本不等式题型归纳

【重点知识梳理】 1．基本不等式：abab 2（1）基本不等式成立的条件：a0，b0． （2）等号成立的条件：当且仅当ab时，等号成立．

2．几个重要的不等式：（1）ab2ab（a,bR）； （2）

（3）ab(3．算术平均数与几何平均数

设a0，b0，则a,b的算术平均数为术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知a0，b0，则

（1）如果积ab是定值p，那么当且仅当ab时，ab有最小值是2p．（简记：积定和最小）

22ba； 2（ab0）

abab2222； （4）2(ab)(ab)（a,bR）． )（a,bR）

2ab，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为两个正数的算2p2（2）如果和ab是定值p，那么当且仅当ab时，ab有最大值是．（简记：和定积最大）

4题型一览

1、已知a0，b0，且4ab1，则ab的最大值为_______，则2、已知x2y1，则24的最小值为_______

3、设0x3，则函数y4x(52x)的最大值为_______ 4、若x0，则x5、若x2 ，则xxy1的最小值为_______； ab44的最小值为_______；若x0，则x的最大值为_______ xx11的最小值为_______；若x2 ，则x的最大值为_______ x2x21(x2)在 xa处有最小值，则a_______ x2122ab（）的最小值为_______，此时a,b的值分别是_______ abab若函数f(x)x6、已知a,bR，且2ab2，则7、已知x0，y0，

212（x2y2xy或x2y2xy0），则x2y的最小值为_______ xy8、已知a0,b0，如果不等式

21m恒成立，那么m的最大值等于_______ ab2ab精选

9、几个分式的变形：

x21（1）若x0，则函数y的最小值是_______

xt24t1（2）已知 t0，则函数y 的最小值为_______

tx2+5x+15(x0)的最小值为_______ （3）函数y=x299x25x15(x2)2x29(x2)12(x2)17， 分析：变形得yx2x2x2x2x25x159(x0)的最小值为7 当且仅当(x2)，即x1时取等号， 故函数yx2x2a2b2（4）已知ba0，ab2，则的取值范围是_______

aba2b2(ab)22ab(ab)2444(ab)[(ba)]4 解：

ababababba（5）设f(x)2x（x0）， 则f(x)的最大值为_______； 2x4a23abb2（6）已知a0,b0，则2的最小值是_______ 2a2abb（7）已知a,b都是负实数，则

ab的最小值是_______ a2bababa22ab2b2ab1211解：， 222a2ba2baba3ab2ba3ab2b3baa2bab3223，222 baa2bab10、（1）已知非负实数x,y满足xy1，则

14的最小值为_______ x1y1分析：因为 xy1，所以 x1y13，即[(x1)(y1)]1， 因为非负实数x,y，所以 x10,y10， 所以

1311111()[(x1)(y1)] x1y1x1y1313y14(x1)1y14(x1)19][52](54)3 x1y13x1y133 [14当且仅当

y14(x1)14，即y12(x1)，x0,y1时取等号，所以 的最小值为3 x1y1x1y1精选

（2）已知实数x,y满足xy0，且xy211，则的最小值为_______ x3yxy2解：【法一】由题知11xy[(x3y)(xy)]，则(x3y)(xy)1 2221212(xy)x3y()[(x3y)(xy)]3()322 x3yxyx3yxyx3yxy【法二】令xyt，x3ys（t0,s0） 则x11(s3t)，y(st)， 441，可得st1， 2由xy则2121212ts()(st)3()322， x3yxyststst当且仅当s2t22时，等号成立 11、（1）已知x,y均为正实数，且xyxy3，则xy的最小值为_______

解：因为x,y均为正实数，所以xy2xy，xyxy3可化为xy2xy3，即

(xy3)(xy1)0，所以xy3,xy9,故当且仅当xy时，xy取得最小值9

（2）已知x,y均为正实数，x3yxy9，则x3y的最小值为_______ 解：因为x,y均为正实数，所以9x3yxyx3y2211x3y2x3yx3y()， 33212、（1）若正实数x,y满足xyxy1，则xy的最大值是_______

(xy)2解：由xyxy1，得1(xy)xy， (xy)1xy1，

42222解得232323xy，xy得最大值为 33322（2）设x,y为实数，若4xyxy1，则2xy的最大值是_______

2222解：由4xyxy1得14xyxy(2xy)3xy(2xy)2232xy 232xy251(2xy)2()(2xy)2

228则2102102xy 5513、若x,y(0,2]且xy2，使不等式a(2xy)(2x)(4y)恒成立，则实数a的取值范围为 A．a11 B．a2 C．a2 D．a 22精选

分析：由x,y(0,2]，xy2， 得a(2x)(4y)1022xy102．

2xy2xy2xy又2xy22xy4由，∴a1，选D． 214、 若a0,b0 ，且ab4 ，则下列不等式恒成立的是（ ） A．

1111 B．1 C．ab2 D．a2b28 ab2ab分析：因为a0，b0利用基本不等式有2abab4,ab2，当且仅当ab时等号成立，C错；由ab2得，立，D正确；

11，A错；a2b2(ab)22ab1688，当且仅当ab时，等号成ab411ab41，当且仅当ab时等号成立，B错；综上可知，选D． abab42215、设正实数x,y,z满足x3xy4yz0，则当

212xy取得最大值时，的最大值为

xyzzA．0 B．1 C．

229 D．3 422答案：由x3xy4yz0得zx3xy4y， 则

xyxy112z2y，当且仅当时等号成立，此时 x2y212x4yzx3xy4y32x4y3yxyx212212211122(2)1． xyz2yy2yyyyy16、（2013天津理14）设ab2，b0，则当a_____时，

1|a|取得最小值． 2|a|b解：因为ab2，所以1=ab 2ab1|a||a|ab|a|ab|a|a22+1， 2|a|b2|a|b4|a|4|a|b4|a|4|a|b4|a|当a0时，

a51|a|5+1=，； 4|a|42|a|b4a31|a|3+1=，，当且仅当b2a时等号成立． 4|a|42|a|b4当a0时，

因为b0，所以原式取最小值时b2a. 又ab2，所以a2时，原式取得最小值．

精选