初中数学思想方法

1、数形结合思想

“数”和“形”是数学教学中既有区别又有联系的两个对象。数形结合思想是将抽象的数量关系与直观的图形结合起来，通过“形”来直观地表达“数”，或是通过“数”来精确地确定“形”。在数学教学中，突出数形结合思想，将抽象的数量关系形象化，具有直观性强、易理解、易接受；将直观图形数量化，转化成数算，常会降低难度，并对知识的理解更加深刻明了，有利于学生从不同的侧面加深对问题的认识和理解，提供解决问题的方法，也有利于培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。

能运用代数、三角比知识通过数量关系的讨论去处理几何图形的问题；能运用几何、三角比知识通过对图形性质的研究去解决数量关系的问题。能将抽象的数学语言与直观的图形符号结合起来，把抽象思维与形象思维结合起来；会用代数的方法去研究几何问题，会根据图形的性质及几何知识去处理代数问题。

y2①已知二次函数

yaxbxc的图象如图所示，则

a___0,b___0,c____0,b24ac___0

0 x②如果关于x的方程2x23x5m0有且只有一个大于1的实数根，求m的取值范围。

y12③二次函数yaxbxc如图

2（1）试确定c的符号及a、b、b4ac的符号

0x（2）试确定a+b+c、a-b+c的符号 2、转化（化归）思想

“转化”的思想是一种最基本的数学思想。数学解题过程的实质就是转化过程，具体的说，就是把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”，把“抽象”转化为“具体”，把“复杂问题”转化为“简单问题”，把“高次”转化为“低次”，在不断的相互转化中使问题得到解决。

可运用联想类比实现转化、利用“换元”、“添线”、消元法，配方法，进行构造变形实现转化、数形结合，实现转化。一般转化为特殊，有些代数问题，通过构造图形，化抽象为具体，借助直观启发思维，转化为易解的几何问题。有些不易解决的几何题通过辅助线转化为代数三角的知识来证明，有些结构比较复杂的问题，可以简化题中某一条件，甚至暂时撇开不顾，先考虑一个简化的问题，这种简化题对于证明原题常常能起到引路的作用。把实际问题转化为数学问题。结合解题进行化归思想方法的训练的做法：a、化繁为简；b、化高维为低维；c、化抽象为具体；d、化非规范性问题为规范性问题；e、化数为形；f、化实际问题为数学问题；g、化综合为单一；h、化一般为特殊，有加减法的转化，乘除法的转化，乘方与开方的转化，添辅助线，设辅助元等等都是实现转化的具体手段。因此，首先要认识到常用的很多数学方法实质就是转化的方法 ①数轴上的点与实数的一一对应的关系。②平面上的点与有序实数对的一一对应的关系。③函数式与图像之间的关系。④线段（角）的和、差、倍、分等问题，充分利用数来反映形。 ⑤解三角形，求角度和边长，引入了三角函数，这是用代数方法解决何问题。⑥“圆”这一章中，贺的定义，点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系等都是化为数量关系来处理的。⑦统计初步中统计的第二种方法是绘制统计图表，用这些图表的反映数据的分情况，发展趋势

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等。实际上就是通过“形”来反映数据扮布情况，发展趋势等。实际上就是通过“形”来反映数的特征，这是数形结合思想在实际中的直接应用。 ①若a＜b＜0，则下列结论中正确的是（ ） （A）a＋b＜－a＋b＜a－b＜－a－b （B）a＋b＜a－b＜－a＋b＜－a－b （C）－a－b＜a－b＜－a＋b＜a＋b （D）－a－b＜a＋b＜－a＋b＜a－b

②已知O是△ABC的内心，OD⊥BC于D，且AB·AC＝2BD·DC。求证：∠A＝90°。 ③解方程：2x3x

④已知在平面直角坐标系内，O为坐标原点，A、B是x轴正半袖上的两点，点A在点B的左

2yaxbxc(a0)的图象经过点A、B，与y轴相交侧，如图。二次函数

于点C。

(1)a、c的符号之间有何关系?

(2)如果线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例中项，试证a、c互为倒数； (3)在(2)的条件下，如果b=－4，AB=43求a、c的值。

3、分类讨论思想

分类讨论思想是指对一个问题出现的情况进行全面分析思考，将其区分为不同种类，克服思维的片面性，防止漏解。即根据题目的要求，将条件分为不重复、不遗漏的几种情况，并逐一列出它们的解答。从整体上看，中学数学分代数、几何两大类，然后采用不同方法进行研究，就是分类思想的体现，从具体内容上看，初中数学中实数的分类、三角形的分类、方程的分类等等，学生要按不同的情况去对同一对象进行分类，掌握好分类的方法原则，形成分类的思想。

当面临的问题不宜用一种方法处理或同一种形式叙述时，就把问题按照一定的原则或标准分为若干类，然后逐类进行讨论，再把这几类的结论汇总，得出问题的答案，这种解决问题的思想方法就是分类讨论的思想方法。

分类讨论的思想方法的实质是把问题“分而治之，各个击破”。其一般规则及步骤是：（1）确定同一分类标准；（2）恰当地对全体对象进行分类，按照标准对分类做到“既不重复又不遗漏”；（3）逐类讨论，按一定的层次讨论，逐级进行；（4）综合概括小节，归纳得出结论。

1．解关于x的方程x2x2k(x22x)0

2．已知关于x的方程x2-(k+2)x+2k=0。 （1） 求证：无论k取何实数值，方程总有实数根； （2） 若等腰△ABC的一边长a=1,另两边长b, c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周

长。

3．已知AB为⊙O的直径，D为直径AB上一动点（D不与点A, B重合），过D作CD⊥AB交⊙O于C，过C作⊙O的切线PC，交⊙O的切线AM于P，连PB交CD于E。 （1） 请根据D点的不同位置画出符合题意的图形； （2） 猜想CE与DE的数量关系，并就D点的某一位置证明你的结论；

如果⊙O的半径为1，设点D与圆心O的距离为m，试求PC的长（可用m的代数式表示）。 4、方程思想

分析问题中的数量关系,寻找已知量与未知量之间的相等关系。通过适当设元, 利用已

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知条件、公式、定理中的已知结论来构造方程（组）,从而解决问题的一种思维方式。

方程思想是把问题中的量划分为已知量和未知量，并把这些量用字母表示（习惯上用x表示未知量），将问题中的条件，量与量的关系列为方程或不等式，通过解方程或不等式，或利用方程的性质，不等式的性质使问题得以解决。

1、牧场的青草,每天都生长一样快,牧场的全部青草可以供给10头牛吃20天,供给15头牛吃10天,那么供给25头牛可以吃几天?

2、四边形ABCD对角线相交于O点,且△ABC、△BCD、△CDA、△DAB的面积分别为5、9、10、6,求△OAB、△OBC、△OCD及△ODA的面积. 5、整体思想

整体思想注重问题的整体结构，将题中的某些元素或组合看成一个整体，从而化繁为简，化难为易。把问题放到整体结构中去考虑， 就可以开拓解题思路，优化解题过程。

从整体观点出发，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题思想方法。

化简：1/（a+2）（a+3）+1/（a+3）（a+4）+/1（a+4）（a+5）时按常规方法进行通分，显然最简公分母比较复杂，计算量较大。若从整体观察分式的特征，可逆用分式加减法法则及规律公式1/n（n+1）=1/n-1/（n+1），将原分式分离变形。

即原式=1/（a +2）-1/（a+3）+1/（a+3）-1/（a+4）+1/（a+4）-1/（a+5）=1/（a+2）-1/（a+5）=3/（a+2）（a+5） 6、一般到特殊和特殊到一般思想

在由几个简单的、个别的、特殊的情况去研究、探索、归纳出一般的规律、性质或公式，再由一般的规律、性质或公式去得出简单的、个别的、特殊的情况。如公式推导、图形性质等。

7、消元思想

解方程组的基本思想是消元，将多元逐步变为二元、一元方程来解决。 8、建模思想

所谓数学模型，是指用数学语言把实际问题概括地表述

实际问题 数学模型 出来的一种数学结构，把实际应用题中的等量关系构建在方

程组的模式，或其他模式。就是找到一种解决问题的数学方法。数学模型是对客观事物的空间形式和数量关系的一种反映。它可以是方程、函数或其他数学式子，也可以是一个几

实际问题的解 数学模型的解 何基本图形。利用数学模型解决问题的一般数学方法就是数

学模型方法。它的基本步骤如下图所示：

数学中的建模思想是解决数学实际问题用得最多的思想方法之一，初中数学中常用的数学模型有：方程模型，函数模型，几何模型，三角模型，不等式模型和统计模型等等。

设计一条隧道，要使高4米，宽4米的巨型

O y 载重车辆能单向通过，隧道上的纵断面是如图抛C x F 物线状的拱，拱宽是高的4倍，求拱宽可以取得

的最小整数值。（单位：米；5≈2.236）

A D E B 9、类比思想

所谓类比，就是两个对象都有某些相同的属性，并且其中一个对象还有另外的某些属性作为前提，进而判断出另一个对象也有这些属性的思维形式。一些数学问题的解决思路常常是相通的，类比思想可以教会学生由此及彼，灵活应用所学

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知识。例如正方体有12条棱，怎么算的呢？正方体由6个正方形封闭拼成，每个正方形4条边，共24条边，每两边重叠成一棱， 于是4×6÷2＝12（条）。那么小足球上有多少条短缝呢？ 先数清楚小足球由32块小皮缝成，其中黑的是五边 形有12块；白的是六边形有20块。总共有（5×12＋6×20）条边，两条边缝成一条短缝，于是有（5×12＋6× 20）÷2＝90（条）短缝。 把实际问题归结为数学问题去解决，类比思想能发挥独特的作用。 10、函数思想

辩证唯物主义认为，世界上一切事物都是处在运动、变化和发展的过程中，这就要求我们教学中重视函数的思想方法。函数所揭示的是两个变量之间的对应关系，通俗的讲就是一个量的变化引起了另一个量的变化。在数学中总是设法将这种对应关系用解析式表示出来，这样就能充分运用函数的知识、方法来解决有关的问题。虽然函数知识安排在初中后阶段学习，但函数思想已经渗透到七、八年级数学教材的各个内容之中。例如学习进行求代数式的值的时，通过强调解题的第一步“当……时”的依据，渗透函数的思想方法——字母每取一个值，代数式就有唯一确定的值。函数是将原来问题中的一些量转化为变量和常量，并把这些量用字母（习惯用x 、y）表示，把量与量的关系抽象概括为函数模型，用运动、变化和对应的观点，通过对函数模型的研究利用函数的性质，使问题获得解决。函数是数学最重要的概念之一。它是量的侧面反映着现实世界中运动、变化及相互联系、相互制约的关系。在初中阶段能利用解析式表示正、反比例函数、二次函数。在日常生活中，还存在着函数关系，它们多数是用图像表示的。

1．把一块边长为20cm的正方形铁皮，四角各截去边长为xcm的小正方形，再将它折成一个无盖盒子。求这个盒子的容积V关于自变量x的函数解析式，并说明x的取值范围。 2．在RtΔABC∠BAC=90º,AB=AC=2,点D在BC上运动（不能到达B、C），过D作∠ADE= 45º，DE交AC于E。设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量取值范围。问当ΔADE为等腰三角形时，求AE的长。 11、统计思想（如用样本估计总体的思想）

用样本估计总体是统计的基本思想，要通过抽样调查，初步感受抽样的必要性，并建立用样本估计总体的思想。 12、分解组合思想

能把在内容和形式上，和教材上的公式、定理所需要具备的条件不完全一样的数学问题，通过对问题的分解、拆割，或者合成、拼补等手段，将问题转化为符合公式、定理所要求的形式，并运用公式、定理来加以解决。

1、因式分解：

x22xyy2a22abb2 ；

2、将两块三角板如图放置，其中

CEDB90,A45,E30,ABDE6,求重叠部分的面积。

13、图形运动思想

初中图形运动包含平移、翻折和旋转，能通过实验、操作、观察和想象掌握运动的本质，在图形的运动中找到不变量，然后解决问题。

D把一张边长为2的正方形纸片ABCD折叠，使BB'A落在AD上（不和A、B重合），MN为折痕，设AB'＝a。求：（1）折起部分面积；（2）折痕MN的长。（用a的

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C代数式表示）

14、用字母表示数

会用字母表示数，进行式的运算和讨论一些数学问题。如会列方程解应用题，会用换元法，利用整体思想达到化简解题过程或解决问题的目的等。用字母表示数的思想是数学转化思想的具体体现。在代数第一册第一章“代数初步知识”中，主要体现了这种思想。例如： 设甲数为a，乙数为b，用代数式表示：（1）甲乙两数的和的2倍：2（a+b）(2)甲数的1/3与乙数的1/2差：1/3a-1/2b

A、一件工作，甲做a天能完成，乙做b天能完成，现在甲先做了c天（c﹤a），余下的工作由乙继续完成，乙需做几天可以完成全部工作？

B、已知x=43求

x46x32x218x23的值。

2x8x1515、换元思想

所谓换元思想，就是一个数学式子可其中的一部分看作一个整体，用一个中间变量去代换，从而达到简化式子的目的。

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