高考数学二轮复习中难解答突破训练3

1. (2020·山东新高考质量测评联盟5月模拟)在①a＝3csinA－acosC，②(2a－b)sinA＋(2b－a)sinB＝2csinC这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．

已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝3且________. (1)求C；

(2)求△ABC周长的最大值． 解 (1)若选①，解答过程如下： 因为a＝3csinA－acosC， 所以sinA＝3sinCsinA－sinAcosC. 因为sinA≠0，所以3sinC－cosC＝1， π1

即sinC－＝. 62因为0ππ5ππππ

所以－因为(2a－b)sinA＋(2b－a)sinB＝2csinC，

所以(2a－b)a＋(2b－a)b＝2c2，即a2＋b2－c2＝ab， a2＋b2－c21π

所以cosC＝＝，又0π

. 3

在△ABC中，由余弦定理得a2＋b2－2abcosC＝3， 即a2＋b2－ab＝3，

所以(a＋b)2－3＝3ab≤错误!，

所以a＋b≤23，当且仅当a＝b时取等号， 所以a＋b＋c≤33，即△ABC周长的最大值为33.

2．在①a2n＋1－a2n＝3(an＞0)；②a2n－anan－1－3an－1－9＝0；③Sn＝n2－2n＋2这

三个条件中任选一个，补充在下面问题中．

已知：数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，________. (1)求数列{an}的通项公式；

(2)对大于1的自然数n，是否存在大于2的自然数m，使得a1，an，am成等比数列？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．

解 选①：

(1)由题意，a21＝1，a2n＋1－a2n＝3，

故数列{a2n}是以1为首项，3为公差的等差数列． ∴a2n＝1＋3(n－1)＝3n－2，n∈N*. ∵an＞0，

∴an＝3n－2，n∈N*.

(2)由题意，假设对大于1的自然数n，存在大于2的自然数m，使得a1，an，am成等比数列，则a1·am＝a2n，

即am＝3n－2. ∵am＝3m－2， ∴3m－2＝3n－2，

整理，得m＝错误!＝3错误!2＋错误!. ∵n>1且n为整数，∴n＝2时，mmin＝6，

即存在m使得a1，an，am成等比数列，且m的最小值为6. 选②：

(1)∵a2n－anan－1－3an－1－9＝0， ∴(an＋3)(an－3)－an－1(an＋3)＝0， 即(an＋3)(an－3－an－1)＝0， ∵a1＝1，∴an－an－1＝3，

∴{an}是首项为1，公差为3的等差数列， ∴an＝1＋3×(n－1)＝3n－2，n∈N*. (2)若a1，an，am成等比数列，则a2n＝a1·am，

44222

即(3n－2)2＝3m－2，整理得m＝3n2－4n＋2＝3n2－n＋＋＝3n－2＋.

39333∵n>1且n为整数，

∴n＝2时，mmin＝6，即存在m使得a1，an，am成等比数列，且m的最小值为6. 选③：

(1)∵Sn＝n2－2n＋2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－2n＋2－(n－1)2＋2(n－1)－2＝2n－3，

当n＝1时，a1＝1不满足上式， 1，n＝1，

∴an＝

2n－3，n≥2且n∈N*.

(2)若a1，an，am成等比数列，且n>1，m>1， 则a2n＝a1·am， 即(2n－3)2＝2m－3，

9333

整理得m＝2n2－6n＋6＝2n2－3n＋＋＝2n－2＋.

4222∵n>1且n为整数， ∴n＝3时，mmin＝6，

即存在m使得a1，an，am成等比数列，且m的最小值为6.

3．如图，在直角梯形ABED中，AB∥DE，AB⊥BE，且AB＝2DE＝2BE，点C是AB的中点，现将△ACD沿CD折起，使点A到达点P的位置．

(1)求证：平面PBC⊥平面PEB；

(2)若PE与平面PBC所成的角为45°，求平面PDE与平面PBC所成锐二面角的余弦值．

解 (1)证明：∵AB∥DE，AB＝2DE，点C是AB的中点， ∴CB∥ED，CB＝ED，

∴四边形BCDE为平行四边形，∴CD∥EB， 又EB⊥AB，∴CD⊥AB，

∴CD⊥PC，CD⊥BC，又PC∩BC＝C， ∴CD⊥平面PBC， ∴EB⊥平面PBC，

又EB⊂平面PEB，∴平面PBC⊥平面PEB. (2)由(1)知EB⊥平面PBC，

∴∠EPB即为PE与平面PBC所成的角， ∴∠EPB＝45°，

∵EB⊥平面PBC，∴EB⊥PB， ∴△PBE为等腰直角三角形， ∴EB＝PB＝BC＝PC， 故△PBC为等边三角形，

取BC的中点O，连接PO，则PO⊥BC， ∵EB⊥平面PBC，又EB⊂平面BCDE， ∴平面BCDE⊥平面PBC，又PO⊂平面PBC， 平面BCDE∩平面PBC＝BC， ∴PO⊥平面BCDE，

以O为坐标原点，过点O与BE平行的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，OP所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图．

设BC＝2，则B(0,1,0)，E(2,1,0)，D(2，－1,0)， P(0,0，3)，

从而→DE＝(0,2,0)，→PE＝(2,1，－3)， 设平面PDE的一个法向量为m＝(x，y，z)，

m·→DE＝0，则由

→m·PE＝0，

2y＝0，

得

2x＋y－3z＝0，

令z＝2，得m＝(3，0,2)，

又平面PBC的一个法向量n＝(1,0,0)， m·n321

则cos〈m，n〉＝＝＝，

|m||n|77

21

∴平面PDE与平面PBC所成锐二面角的余弦值为.

7

4．近年来，我国大力发展新能源汽车工业，新能源汽车(含电动汽车)销量已跃居全球首位．某电动汽车厂新开发了一款电动汽车．并对该电动汽车的电池使用情况进行了测试，其中剩余电量y与行驶时间x (单位：小时)的测试数据如下表：

x y 1 2.77 2 2 3 1.92 4 1.36 5 1.12 6 1.09 7 0.74 8 0.68 9 0.53 10 0.45 (1)根据电池放电的特点，剩余电量y与行驶时间x之间满足经验关系式：y＝aebx，通过散点图可以发现y与x之间具有相关性．设w＝ln y，利用表格中的前8组数据求相关系数r，并判断是否有99%的把握认为x与w之间具有线性相关关系；(当相关系数r满足|r|>0.7时，则认为有99%的把握认为两个变量具有线性相关关系)

(2)利用x与w的相关性及表格中前8组数据求出y与x之间的回归方程；(结果保留两位小数)

(3)如果剩余电量不足0.8，电池就需要充电．从表格中的10组数据中随机选出8组，设X表示需要充电的数据组数，求X的分布列及数学期望．

附：

相关数据：42≈6.48，6≈2.45，1.70≈1.30，e1.17≈3.22. 表格中前8组数据的一些相关量：

8x＝36，∑8y＝11.68，∑8w＝2.18，∑8 (x－－2∑x)＝42， iiiii＝1i＝1i＝1i＝1

8－28－28－－8i∑＝1 (yi－y)＝3.61，i∑＝1 (wi－w)＝1.70，i∑＝1 (xi－x)(yi－y)＝－11.83，i∑＝1

(xi－－x)(wi－－w)＝－8.35，

相关公式：对于样本(vi，ui)(i＝1,2,3，…，n)，其回归直线u＝bv＋a的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为^b＝错误!，错误!＝错误!－错误! 错误!，

相关系数r＝错误!.

解 (1)由题意知，r＝错误!＝错误!≈－0.99.

因为|r|≈0.99>0.7，所以有99%的把握认为x与w之间具有线性相关关系． (2)对y＝aebx两边取对数得ln y＝ln a＋bx，

^ ，

设μ＝ln a，又w＝ln y，则^w ＝^b x＋μ^b ＝错误!＝错误!≈－0.20， 2.18易知－x＝4.5，－w＝≈0.27.

8

^ ＝－μw－^b －x≈0.27－(－0.20)×4.5＝1.17. 所以^w ＝－0.20x＋1.17.

所以所求的回归方程为^y ＝e－0.20x＋1.17， 即^y ＝3.22e－0.20x.

(3)10组数据中需要充电的数据组数为4组，X的所有可能取值为2,3,4. P(X＝2)＝

C24C662C34C568C44C461

＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝. C81015C81015C8103

所以X的分布列为

X P X的数学期望为E(X)＝2×

2 2 153 8 154 1 328116＋3×＋4×＝＝3.2. 151535